Введение в теорию вероятностей (110

Пример 1. Партия деталей изготовлена тремя рабочими, причем первый рабочий изготовил 25 % всех деталей, второй – 35 %, третий – 40 %. В продукции первого рабочего брак составляет 5 %, в продукции второго – 4 %, в продукции третьего – 2 %. Случайно выбранная для контроля деталь оказалась бракованной. Какова вероятность того, что она изготовлена вторым рабочим?

Решение.

1) Пусть события Н1, H2, H3 – деталь изготовлена соответственно 1-м, 2-м, 3-м рабочим, событие А – выбранная деталь бракованная. Н1, H2, H3 – несовместные равновозможные события, образующие полную группу. Для реализации события А необходимо появление одного из событий Н1, H2, H3. Тогда А, Н1; А, Н2; А, Н3 – совместные, зависимые случайные события.

2) По условию Р(Н1) = 0,25, Р(H2) = 0,35, Р(H3) = 0,40, PH1 (A) = 0,05, PH2 (A) = = 0,04, PH3 (A) = 0,02.

3) Вероятность события H2 с учетом, что событие А произошло, в соответствии с формулой Байеса (21) равна

Задачник

Задача 1. В урне 10 шаров: 3 красных, 5 синих и 2 белых. Какова вероятность вынуть цветной шар, если вынимается один шар?

Решение. Cобытие А – выбор цветного шара. Общее количество возможных исходов m = 10. Число благоприятных событию А исходов n = 3 + 5 = 8 (выбран красный или синий шар). Тогда по формуле (6) Р(А) = 0,8.

Задача 2. Сто первокурсников, среди которых шесть медалистов, компьютерная программа распределяет в шесть групп. Для каждого студента вероятность оказаться в любой из групп одинакова. Найти вероятность того, что в шести группах окажутся по одному медалисту.

Решение. Событие А – 6 медалистов оказались в разных группах. Нет необходимости учитывать порядок размещения студентов, поэтому по формуле

(9) число всех возможных вариантов размещения 100 студентов по 6 груп-

размещения 6 медалистов по 6 группам n = 1, то число вариантов размещения 100 студентов по 6 группам, при которых медалисты окажутся в разных группах, определяется числом вариантов размещения остальных 94 студен-

21

Задача 3. В корзине 3 синих и 3 черных ручки. Из урны дважды вынимают по одной ручке, не возвращая их обратно. Найдите вероятность появления во втором испытании синей ручки, если в первом испытании была извлечена черная.

Решение. Событие А – извлечение синей ручки. Событие В – извлечение черной ручки. Общее количество возможных исходов после извлечения первой ручки m = 3 + 3 – 1 = 5. Число исходов благоприятных событию А, если в первом испытании извлечена черная ручка n = 3 (число синих ручек в корзине). Тогда по формуле (6) РВ(А) = 3/5.

Задача 4. Вероятность выживания одной клетки в течение 20 минут равна 0,7. В пробирке с благоприятными для существования этих клеток условиями находятся только что разделившиеся две клетки. Какова вероятность того, что через 20 минут они будут жизнеспособны? Считать, что между клетками нет внутривидовой конкуренции.

Решение. Событие А – первая клетка через 20 минут жизнеспособна, событие В – вторая клетка через 20 минут жизнеспособна, событие АВ – обе клетки через 20 минут жизнеспособны. Так как между клетками нет внутривидовой конкуренции, то события А и В независимые. Тогда по формуле

(16) Р(АВ) = 0,7 · 0,7 = 0,49.

Задача 5. Ученик ищет формулу в трех учебниках. Вероятность того, что он найдет ее в первом учебнике, равна 0,9, во втором – 0,1, в третьем – 0,2. Найти вероятность того, что ученик найдет формулу в одной наудачу взятой книге.

Решение. Событие А – ученик нашел формулу в одной наудачу взятой книге. События У1, У2, У3 – выбор 1-го, 2-го, 3-го учебника, равновероятны и образуют полную группу, т.е. Р(У1) = Р(У2) = Р(У3) = 1/3. Условные вероятности того, что в извлеченном наудачу учебнике есть искомая формула, равны РУ1(А) = 0,6; РУ2(А) = 0,1; РУ3(А) = 0,3. Тогда по формуле полной вероятно-

сти (20): P(A) = 13 (0,9 + 0,1+ 0,2) = 0,4.

Задача 6. Имеется 4 прибора. Вероятность инструментальной ошибки для 1-го, 2-го, 3-го, 4-го прибора равна соответственно 0,05; 0,01; 0,015; 0,025. Найти вероятность того, что в измерении на выбранном наугад приборе не будет инструментальной ошибки.

Решение. Событие А – в измерении на выбранном наугад приборе нет инструментальной ошибки. События П1, П2, П3, П4 – выбор 1-го, 2-го, 3-го, 4-го прибора, равновероятны и образуют полную группу, т.е. Р(П1) = Р(П2) =

22

Р(П3) = Р(П4) = 1/4. Условные вероятности того, что в измерении на выбранном наугад приборе нет инструментальной ошибки, равны РК1(А) = 1 –

– 0,05 = 0,95; РК2(А) = 1 – 0,01 = 0,99; РК3(А) = 1 – 0,015 = 0,985; РК4(А) = 1 –

– 1,025 = 0,975. Тогда по формуле полной вероятности (20): P(A) = 14 (0,95 +0,99 +0,985+0,975) = 0,975.

Задача 7. На химическом факультете 60 % сотрудников – мужчины и 40 % – женщины. Профессора среди мужчин встречаются в два раза чаще, чем среди женщин. Какова вероятность того, что наугад выбранный сотрудник имеет звание «профессор»?

Решение. Событие А – наугад выбранный сотрудник – профессор. Вероятность, что наугад выбран сотрудник мужчина – Р(М) = 0,6, что женщина – Р(Ж) = 0,4. Вероятность наличия ученого звания «профессор» у мужчины – РМ(С) = 2/3, у женщины – РЖ(С) = 1/3. Тогда по формуле полной вероятности

(19): P(A) = 106 23 + 104 13 = 0,53.

Задача 8. Для участия в студенческих спортивных соревнованиях выделено из 1-й группы – 4, из 2-й – 6, из 3-й – 5 человек. Вероятность, что студенты 1, 2, 3 группы попадут в сборную, равна соответственно 0,9; 0,7; 0,8. Наугад выбранный студент не попал в сборную. Какова вероятность, что студент относился к 1-й группе?

Решение. Событие А – наугад выбранный студент не попал в сборную. Вероятности, что студент учится в 1-й, 2-й, 3-й группе, равны Р(Г1) = 4/15, Р(Г2) = 6/15, Р(Г3) = 5/15. Условные вероятности того, что студент выбран из 1-й, 2-й, 3-й группы и не попал в сборную, равны РГ1(А) = 1 – 0,9 = 0,1,

РГ2(А) = 1 – 0,7 = 0,3, РГ3(А) = 1 – 0,8 = 0,2. Тогда по формуле Байеса (21):

3 статьи в год. Первая группа представляет 5 % обзорных статей, вторая – 2 % обзорных статей. В последнем выпуске журнала опубликован обзор одной из групп. Какая группа вероятнее всего представила обзор?

Решение. Событие А – опубликован обзор одной из групп. Вероятности, что статью представили 1-я, 2-я группа, равны Р(Г1) = 1/4, Р(Г2) = 3/4. Условные вероятности того, что 1-я, 2-я группы представили обзорную статью, равны

всего обзор был представлен 2-й группой.

23

Список рекомендуемой литературы

Основная литература:

1.Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика : учебное пособие для студ. вузов / В.Е. Гмурман. — Изд. 11-е, стер. — М. : Высш.

шк., 2005. — 478, [1] с. : ил., табл.

2.Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике : учебное пособие для студ. вузов / В.Е. Гмурман. — 11-е изд., перераб. — М. : Высш. образование, 2006. — 403, [1] с. : ил., табл.

3.Вентцель Е.С. Теория вероятностей : учебник для студ. вузов / Е.С. Вентцель. — 5-е изд., стер. — М. : Высш. шк., 1998. — 575 с. : ил.

4.Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения : в 2-х т. / В. Феллер ; пер. Ю.В. Прохорова ; с предисл. А.Н. Колмогорова. — М. :

Мир, 1984. — Т. 1. — 528 с. : ил.

5.http://chemstat.com.ru/lections/

Дополнительная литература:

1.Андронов А.М. Теория вероятностей и математическая статистика : учебник для вузов / А.М. Андронов, Е.А. Копытов, Л.Я. Гринглаз. — СПб. и

др. : Питер, 2004. — 460 с. : ил., табл.

2.Бочаров П.П. Теория вероятностей : Математическая статистика : учебное пособие / П.П. Бочаров, А.В. Печинкин. — М. : Гардарика, 1998. —

326с. : ил., табл.

24

Учебное издание

ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Методические указания к семинарским занятиям

Составители: Бобрешова Ольга Владимировна,

Паршина Анна Валерьевна, Полуместная Ксения Андреевна

Редактор Валынкина И. Г.

Подписано в печ. 30.05.2011. Формат 60×84/16.

Усл. печ. л. 1,4. Тираж 150 экз. Заказ 1321.

Издательско-полиграфический центр Воронежского государственного университета.

394000, г. Воронеж, пл. им. Ленина, 10. Тел. (факс): +7 (473) 259-80-26 http://www.ppc.vsu.ru; e-mail: pp_center@ppc.vsu.ru

Отпечатано в типографии Издательско-полиграфического центра Воронежского государственного университета.

394000, г. Воронеж, ул. Пушкинская, 3. Тел. +7 (473) 220-41-33

25