Введение в теорию вероятностей (110

При этом сумма относительных частот в таблице должна быть равна единице, а сумма частот – объему выборки m.

4) На основании полученных данных строим гистограмму, откладывая по оси ординат относительную частоту ni / m попадания величины в каждый интервал, а по оси абсцисс – значения случайной величины исходной выборки:

Чтобы гистограмма была информативной, она должна иметь один максимум, быть симметричной и не иметь интервалов с частотой равной нулю.

5) Полученная гистограмма является симметричной и имеет максимум в интервале pH 3,55÷3,63, т.е. вероятнее всего истинное значение pH раствора неизвестного вещества принадлежит данному интервалу значений.

Теоремы сложения и умножения вероятностей

Основной задачей теории вероятностей является вычисление вероятностей сложных событий на основании вероятностей более простых событий.

Теорема 1. Вероятность появления в испытании хотя бы одного из двух случайных событий A1 и А2 равна сумме вероятностей событий A1 и А2 за вычетом вероятности их одновременного появления:

11

Доказательство:

1)Пусть A1, А2 – совместные случайные события.

2)Составим полную группу несовместных случайных событий с участием

событий A1 и А2: A1A2 , A1 A2 , A1A2 , A1 A2 . Пусть количества равновоз-

можных событий, благоприятных событиям A1A2 , A1 A2 , A1A2 , A1 A2 , равны соответственно n1, n2, n3, n4, а их общее количество m = n1 + n2 + n3 +

+ n4. Тогда вероятности соответствующих событий равны P(A1A2) = nm1 ,

P(A1A2) = nm2 , P(A1A2) = nm3 , P(A1A2) = nm4 .

3) Заметим, что событию A1 благоприятны n1 + n2 событий (когда реализу-

что и требовалось доказать.

6) Если случайные события A1, А2 несовместные, то событие A1 A2 , состоящее в одновременном появлении A1, А2, является невозможным, и его

вероятность равна нулю P(A1A2) = 0 . Формула для расчета вероятности

В общем виде теорема для расчета вероятности появления в испытании хотя бы одного из группы случайных событий A1, А2, ... Аk для попарно совместных (13) и попарно несовместных (14) событий имеет вид:

12

i =1

Следствие 1. Если попарно несовместные события A1, А2, ... Аk образуют полную группу, то появление в испытании хотя бы одного есть достоверное событие и, следовательно, сумма их вероятностей равна единице P(A1) +

+ P(А2) + ... + P(Аk) = 1.

Понятие условной вероятности является одним из основных инструментов теории вероятностей. Условной вероятностью события A называют вероятность события А, найденную в предположении, что событие B уже наступило. Здесь не вводятся новые понятия, но необходимы новые обозначения, которые указывали бы, какое частное подмножество рассматривается. Наиболее широко употребляется символ PB(A), который следует читать: «вероятность события А при условии, что произошло событие В».

Пример 1. В урне три куба и пять шаров. Какова вероятность извлечь из урны куб, если при предыдущем извлечении появился шар.

Решение.

1)Пусть событие А – вынут куб, событие B – вынут шар.

2)Элементарное событие: извлечение фигуры из урны. Такие элементарные события образуют полную группу равновозможных несовместных событий.

3) Общее количество возможных исходов после извлечения шара m = 3 + + 5 –1 = 7.

4)Число благоприятных событию А исходов n = 3 (число кубов в урне).

5)В соответствии с формулой (6) вероятность события А при условии, что произошло событие В равна PB(A) = 3/7.

Теорема 2. Вероятность одновременного появления в испытании двух случайных событий A1 и А2 равна произведению вероятности первого события A1 и условной вероятности второго А2, найденной в предположении, что событие A1 уже наступило:

Доказательство:

1)Пусть A1, А2 – совместные зависимые случайные события.

2)Составим полную группу несовместных случайных событий с участием

событий A1 и А2: A1A2 , A1 A2 , A1A2 , A1 A2 . Пусть количества равновозможных событий, благоприятных событиям A1A2 , A1 A2 , A1A2 , A1 A2 , равны соответственно n1, n2, n3, n4, а их общее количество m = n1 + n2 + n3 + n4.

13

3) Событию A1 благоприятны n1 + n2 событий (когда реализуются события

A1A2 , A1 A2 ), поэтому P(A1) = n1 + n2 . m

4) Найдем условную вероятность PA1 (A2) события A2. Если известно, что

событие А1 уже произошло, значит реализовалось одно из n1 + n2 событий. Следовательно, число всех возможных событий сокращается до n1 + n2. Из них событию A2 благоприятны n1 событий (когда реализуются событие

6) Если случайные события A1, А2 независимые, то появление события A1 не влияет на вероятность появления события А2, поэтому PA1 (A2) = P(A2) .

Формула для расчета вероятности произведения двух независимых совместных случайных событий принимает вид:

В общем виде теорема для расчета вероятности одновременного появления в испытании нескольких случайных событий A1, А2, ... Аk для зависимых (17) и независимых (18) событий выражается формулой, в которой вероятность каждого следующего по порядку события вычисляется при условии, что в рассматриваемом опыте произошли все предыдущие события:

Пример 2. Допустим, что из m фигур n1 – пирамиды, а n2 – красные. Какова вероятность, что наугад выбранная фигура – пирамида красного цвета? Решение.

1) Пусть событие А – выбрана пирамида, событие B – фигура красная, тогда событие АВ – выбрана пирамида красного цвета. А, В – совместные, независимые случайные события.

14

2)Элементарное событие: выбор одной фигуры и проверка ее цвета. Тогда элементарные события образуют полную группу равновозможных несовместных событий.

3)Общее количество возможных исходов события А m.

4)Число благоприятных событию А исходов n1 (число пирамид).

5)Общее количество возможных исходов события В m.

6)Число благоприятных событию В исходов n2 (число красных фигур).

7)В соответствии с формулой (6) вероятности событий A, В соответственно

равны P(A) = n1/m, PА(В) = n2 / m.

8) В соответствии с формулой (16) вероятность события AВ равна

P(AB) = nm1 nm2 = nm1n22 .

Пример 3. Какова вероятность, что наугад выбранная карта из полной колоды в 36 карт окажется королем или буби?

Решение.

1)Пусть событие А – выбран король, событие B – выбрана карта бубновой масти, тогда событие АВ – выбран бубновый король, а событие А + В – карта оказалось одной из бубей или одной из королей, в том числе бубновым королем. А, В – совместные, независимые случайные события.

2)Элементарное событие: выбор одной карты и проверка ее масти. Тогда элементарные события образуют полную группу равновозможных несовместных событий.

3)Общее количество возможных исходов события А m = 36.

4)Число благоприятных событию А исходов n = 4 (число королей).

5)Общее количество возможных исходов события В m = 36.

6)Число благоприятных событию В исходов n = 9 (число бубей).

7)В соответствии с формулой (6) вероятности событий A, В соответственно равны P(A) = 1/9, PА(В) = 1/4.

8)В соответствии с формулами (11), (16) вероятность искомого события

A + В равна P(A +B) = 14 + 19 − 14 19 = 13.

Пример 4. Вероятность ошибки при измерении некоторой физикохимической величины равна 0,4. Произведены три независимых измерения. Какова вероятность, что только в одном ошибка?

Решение.

1) Пусть событие А – измерение с ошибкой, событие A – измерение без

ошибки. В одном испытании А, A – противоположные случайные события,

в независимых испытаниях А, A – независимые случайные события.

15

2) Событие С – из трех независимых измерений одно с ошибкой. Тогда искомое событие C = AAA + AAA + AAA , где событие AAA – из трех независимых измерений в 1-м есть ошибка, во 2-м и 3-м – нет; AAA – из трех не-

2-м – нет. Очевидно, что событие С реализуется, если реализуется хотя бы одно из несовместных событий AAA , AAA , AAA .

3) Тогда в соответствии с формулами (12) и (16) вероятность события С равна

P(C) = P(AAA +AAA +AAA) = P(AAA) + P(AAA) + P(AAA) =

=P(A)P(A)P(A) + P(A)P(A)P(A) + P(A)P(A)P(A) =

=0,4(1 −0,4)(1 −0,4) +(1 −0,4)0,4(1 −0,4) +(1 −0,4)(1 −0,4)0,4 = 0,432. .

Пример 5. В читальном зале 6 учебников по «Теории вероятностей», из них 4

впереплете. Библиотекарь взял наудачу 2 учебника. Найти вероятность, что

1)оба в переплете; 2) один в переплете; 3) оба без переплета?

Решение.

1) Пусть события А, A – 1-й учебник в переплете и без переплета соответственно, события В, B – 2-й учебник в переплете и без переплета соответственно. A,A ; B,B – противоположные случайные события. A,B; A,B;

A,B; A, B – зависимые случайные события.

2) Событие С1 – два, взятых наудачу, учебника в переплете, С2 – один из двух учебников, взятых наудачу в переплете, С3 – два учебника взятых нау-

дачу, без переплета. Тогда искомые события C1 = AB , C2 = AB + AB ,

C3 = AB , где событие A B – из двух учебников, взятых наудачу, 1-й в пе-

реплете, 2-й – нет; AB – из двух учебников, взятых наудачу, 2-й в переплете, 1-й – нет. Поясним, что событие С3 реализуется, если реализуется хотя бы

одно из несовместных событий AB,AB .

3) Тогда в соответствии с формулами (12) и (15) вероятности событий С1, С2, С3 соответственно равны:

P(C1) = P(AB) = P(A)PA(B),

P(C2) = P(AB + AB) = P(A)PA(B) + P(A)PA(B), P(C3) = P(AB) = P(A)PA(B).

Далее найдем вероятности P(A), P(A), PA(B), PA(B), PA(B), PA(B).

16

4) Общее количество возможных исходов события А m = 6; число благоприятных событию А исходов n = 4; вероятность события A в соответствии с

формулой (6) равна P(A) = 2/3; вероятность противоположного события A

соответственно равна P( A ) = 1–2/3 = 1/3.

5) Общее количество возможных исходов события В, если событие А произошло, m = 6 – 1 = 5; число благоприятных исходов событию В, если событие А произошло, n = 4 – 1 = 3; вероятность события В, если событие А произошло, в соответствии с формулой (6) равна PА(В) = 3/5; вероятность про-

6) Общее количество возможных исходов события В, если событие A произошло, m = 6 – 1 = 5; число благоприятных исходов событию В, если собы-

тие A произошло, n = 4; вероятность события В, если событие A произошло, в соответствии с формулой (6) равна PA(B) = 4/5; вероятность противо-

= 1 – 4/5 = 1/5.

7) Таким образом, вероятности искомых событий:

P(C1) = 23 53 = 25,

P(C2) = 23 25 + 13 45 = 158 , P(C3) = 13 15 = 151 .

Формула полной вероятности

Формула полной вероятности позволяет выразить вероятность сложного события А через вероятности составляющих его более простых событий Н1, H2, … Hk. Данная формула используется в испытаниях, не сводящихся к группе равновозможных несовместных событий.

Теорема 1. Пусть для реализации случайного события А необходимо появление одного из полной группы несовместных событий Н1, H2, … Hk. Тогда вероятность появления события А выражается формулой полной вероятности:

k

P(A) = ∑P(Hi)PHi (A) . (19)

i=1

Доказательство:

17

1) Известно, что случайное событие А может наступить, при условии появления одного из событий Н1, H2, … Hk, которые образуют полную группу несовместных случайных событий с известными вероятностями P(Н1), P(H2), … P(Hk).

2)Если событие А – достоверное, то события Н1A, H2A, … HkA образуют полную группу несовместных случайных событий Н1A + H2A + … + HkA = = A.

3)Тогда вероятность случайного события А при условии, что одно из собы-

тий Н1, H2, … Hk произошло с учетом теорем сложения и умножения вероятностей определяется следующим образом:

P(A) = P(H1A + H2A + ... + HkA) = P(H1A) + P(H2A) + ... + P(HkA) =

= P(H1)PH1 (A) + P(H2)PH2 (A) + ...+ P(Hk)PH k (A) , что и требовалось доказать.

4) В частном случае равновозможных событий полной группы P(Н1) = P(H2) = =… = P(Hk) = 1/k формула полной вероятности упрощается:

Пример 1. Имеются три одинаковых по виду ящика. В первом находятся две белые мыши и одна серая, во втором – три белые и одна серая, в третьем – две белые и две серые мыши. Какова вероятность того, что из наугад выбранного ящика будет извлечена белая мышь?

Решение.

1)Пусть события Н1, H2, H3 – выбор соответственно 1-го, 2-го, 3-го ящика, событие А – извлечение белой мыши. Н1, H2, H3 – несовместные равновозможные события, образующие полную группу. Поясним, что для реализации

события А необходимо появление одного из событий Н1, H2, H3. Тогда А, Н1; А, Н2; А, Н3 – совместные, зависимые случайные события.

2)Вероятности равновозможных событий полной группы Н1, H2, H3 в соответствии с формулой (6) равны P(Н1) = P(H2) = P(H3) = 1/3.

3)Тогда вероятность искомого события A, при условии появления одного

из событий Н1, H2, H3, в соответствии с формулой (20) равна

Далее найдем вероятности PH1 (A), PH 2 (A), PH3 (A).

4) Общее количество возможных исходов события А, если событие Н1 произошло, m = 3; число благоприятных исходов событию А, если событие Н1 произошло, n = 2; вероятность события А, если событие Н1 произошло, в со-

ответствии с формулой (6) равна PH1 (A) = 2/3.

5) Общее количество возможных исходов события А, если событие Н2 произошло, m = 4; число благоприятных исходов событию А, если событие Н2

18

произошло, n = 3; вероятность события А, если событие Н2 произошло, в соответствии с формулой (6) равна PH 2 (A) = 3/4.

6) Общее количество возможных исходов события А, если событие Н3 произошло, m = 4; число благоприятных исходов событию А, если событие Н3 произошло, n = 2; вероятность события А, если событие Н3 произошло, в со-

ответствии с формулой (6) равна PH3 (A) = 2/4.

Пример 2. При отклонении от нормального режима работы прибора сигнализатор С-1 срабатывает с вероятностью 0,8, а сигнализатор С-2 срабатывает с вероятностью 1. Вероятности того, что прибор снабжен сигнализатором С-1 или С-2 равны соответственно 0,6 и 0,4. Какова вероятность, что сигнализатор прибора сработает при поломке?

Решение.

1)Пусть события Н1, H2 – прибор снабжен сигнализатором С-1 и С-2 соответственно, событие А – получен сигнал о поломке. Н1, H2 – образуют полную группу несовместных событий. Для реализации события А необходимо

появление одного из событий Н1, H2. Тогда А, Н1; А, Н2 – совместные, зависимые случайные события.

2)Таким образом, вероятность искомого события A, при условии появления

одного из событий Н1, H2 в соответствии с формулой (19) равна

P(A) = P(H1 )PH1 (A) + P(H2 )PH2 (A) = 0,6 0,8 + 0,4 1 = 0,88.

Формула Байеса

Пусть для реализации случайного события А необходимо появление одного из полной группы несовместных событий Н1, H2, … Hk. Пусть до испытания известны априорные вероятности событий P(Н1), P(H2), … P(Hk) и

соответствующие условные вероятности PH1 (A), PH2 (A),... PHk (A) события

А. В общем случае условные вероятности PH1 (A), PH2 (A),... PHk (A) , которые

события Н1, H2, … Hk сообщают событию А, различны. Допустим, что при выполнении комплекса условий в результате испытания произошло событие А, вероятность которого была Р(А) > 0, но неизвестно, появление какого события из полной группы Н1, H2, … Hk предшествовало событию А. Можно утверждать что, если событие А наступило, то вероятности PA(H1), PA(H2), ... PA(Hk ) событий Н1, H2, … Hk отличны от априорных значений P(Н1), P(H2), … P(Hk). Очевидно, что должны возрасти вероятности тех событий, которые сообщили большие вероятности событию А.

19

Теорема 1. Пусть для реализации случайного события А необходимо появление одного из полной группы несовместных событий Н1, H2, … Hk. Если событие А наступило, то переоценить вероятность событий Н1, H2, … Hk можно с помощью формулы Байеса:

Доказательство:

8) Известно, что в испытании реализовалась пара совместных зависимых событий HiA. Тогда согласно теореме умножения вероятностей:

P(Hi A) = P(Hi )PHi (A) = P(A)PA(Hi ) .

9) Так как случайное событие А может наступить, при условии появления одного несовместных событий из полной группы Н1, H2, … Hk, то вероятность события А определяется по формуле полной вероятности:

k

i.

i=1

10)Таким образом, получим:P(A) = ∑P(Hi)PH (A)

что и требовалось доказать.

11) В частном случае равновозможных событий полной группы P(Н1) = = P(H2) = … = P(Hk) = 1/k формула Байеса упрощается:

Согласно данной формуле, если априорные вероятности событий Н1, H2, … Hk были равны, то после того, как стало известно, что событие А случилось, вероятности событий Н1, H2, … Hk становятся пропорциональны тем вероятностям, которые они сообщали событию А.

При анализе результатов физико-химического эксперимента формулу Байеса используют для вычисления апостериорных вероятностей гипотез после проведения опыта с учетом полученной в испытании информации о событии А. В этом случае, в формуле (15): Hi – исходная гипотеза об услови-

ях реализации события А, P(Hi) – вероятность гипотезы Hi, PHi (A) – условная вероятность события А при условии, что справедлива гипотеза Hi, PA(Hi) – условная вероятность гипотезы Hi при условии, что событие А произошло.

20