Аналоговая и цифровая фильтрация сигналов (110
..pdf
Это значит, что при подаче на ФНЧ с KF (ω) (5) дискретного сигнала sdis (t ) на его выходе сформируется сигнал sw(t ), спектр которого определится выражением
(6)
и этот спектр идентичен спектру SF (ω) восстанавливаемого сигнала s(t ). Отсюда вытекает, что сформированный на выходе ФНЧ временной сигнал sw(t ) со спектром SFDISW (ω) = SF (ω) идентичен исходному аналоговому сигналу: s(t ) = sw(t ).
Если Ωdis < 2Ωm ( t > π/ Ωm ), то соседние копии спектра SFdis (ω) перекрываются (рис. 6в) и накладываются друг на друга, так что на частот-
ном интервале −Ωm ≤ ω≤ Ωm спектр SFdis (ω) не будет идентичен спектру SF (ω) сигнала s(t ). Следовательно, спектр SFDISW (ω) на выходе ФНЧ, определяемый выражением (6), не будет совпадать со спектром SF (ω) и сформированный на выходе ФНЧ (5) сигнал sw(t ) не будет идентичен исходному аналоговому сигналу s(t ). Таким образом, если дискретизация аналогового сигнала не удовлетворяет условиям теоремы Котельникова ( t > π/ Ωm ), то восстановление аналогового сигнала s(t ) по дискретным
отсчетам без искажений невозможно.
Работа выполняется на ЭВМ с использованием программной среды
Maxima.
Задания на выполнение лабораторной работы № 2
Исследовать дискретное представление аналогового сигнала s(t ) и его восстановление по дискретным отсчетам; форма сигнала выбирается из табл. 1 в соответствии с номером вашего варианта.
Таблица 1
№ |
|
|
|
|
|
Сигнал |
|||||
варианта |
|
|
|
|
|
||||||
s(t) = s0 exp[−(t / t0)2 ],t0 = 0.01 |
|||||||||||
1 |
|||||||||||
2 |
s(t) = |
|
|
s0 |
|
|
,t0 = 0.004 |
||||
1 |
+cosh(t / t0) |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
s(t) = |
|
|
|
s0 |
|
|
, t0 = 0.013 |
|||
[1+exp(t / t0) |
2 |
2 |
|||||||||
|
|
|
] |
|
|||||||
|
s(t) = |
s0(1+ βt2 ) |
β = 0.83,t0 = 0.012 |
||||||||
4 |
|
, |
|||||||||
[1+ exp(t / t0)2 ]2 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
№ |
|
|
|
|
|
Сигнал |
|||||
21
варианта |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
s(t) |
= |
|
|
|
|
s0(1+ βt2 ) |
|
|
|
|
,t0 = 0.008, β |
=1.17 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|||||||||
|
|
|
|
[1+cosh(t / t0)] |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
6 |
s(t) = |
|
|
s0(1+ β | t |) |
|
|
, β = 0.74,t0 = 0.007 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
[1+cos(t / t0)] |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
7 |
|
s(t) = |
|
|
|
s0 |
|
|
|
|
|
|
, t0 = 0.011 |
|||||||
|
1+ |
|
|
|
|
|
2 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| sinh(t / t0) | |
|
||||||||||
8 |
s(t) = |
|
|
|
|
s0(1+ βt2 ) |
|
|
|
|
|
, β = 0.57, t0 |
= 0.01 |
|||||||
|
1+ | sinh(t / t0) | |
2 |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
s(t) = |
|
|
|
1+ | sinh(t / t0) |2 ,t0 = 0.0077 |
|||||||||||||||
10 |
s(t) = |
|
|
|
|
s0(1+ β | t |) |
|
|
|
|
,t0 = 0.0081, |
β = 2.87 |
||||||||
|
1+ | sinh(t / t0) |2 |
|
|
|||||||||||||||||
11 |
s(t) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
2s0 |
|
|
|
|
|
|
,t0 = 0.0123, |
a = 2.37 |
||
2+ |
| a |
t / t 0 |
−a |
−t / t 0 |
| |
2 |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
12 |
s(t) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
2s0 |
|
|
|
|
,t0 = 0.0053, |
a = 3.03 |
||||
2 +(at / t 0 |
+ a−t / t 0 ) |
|||||||||||||||||||
Задание 1
Для заданного сигнала s(t ) ввести в компьютер значения его параметров и его аналитическое выражение. Далее выполнить следующие пункты задания:
−вычислить длительность сигнала и построить графическую зависимость s(t );
−используя прямое преобразование Фурье, вычислить и представить на графике амплитудно-частотный спектр (АЧС) сигнала s(t );
−вычислить максимальную частоту в спектре сигнала s(t ). Исходя из
условия теоремы Котельникова, вычислить интервал дискретизации t ;
− получить графическое представление совокупности дискретных отсчетов sdis (t ) (1) аналогового сигнала s(t ). Убедиться в соответствии зна-
чений аналогового сигнала s(t ) в дискретных точках (t = −2 t,t = 0,t =3 t )
изначений дискретных отсчетов sdis (t ) в этих же точках;
−используя совокупность дискретных отсчетов sdis (t ) и вычисленные
значения Ωm , t , представитьаналоговыйсигнал s(t ) рядомКотельникова(2).
Задание 2
Рассмотреть возможность восстановления аналогового сигнала s(t ) по его дискретным отсчетам. Для этого выполнить следующие пункты задания:
22
−вычислить и представить на одном графике нормированные на свои максимальные значения амплитудные спектры исходного аналогового сигнала s(t ) и дискретного сигнала sdis (t );
−найти сигнал и его амплитудно-частотный спектр, если дискретный сигнал sdis (t ) пропустить через идеальный фильтр нижних частот с часто-
той среза, равной максимальной частоте в спектре сигнала s(t ). Решить аналогичную задачу в случае, если фильтр представляет собой обычный RC-фильтр нижних частот с той же частотой среза;
− получить графическое представление спектра дискретного сигнала для случая, когда интервал дискретизации t1 аналогового сигнала s(t ) в 1.5 раза больше максимального значения интервала дискретизации, определяемого теоремой Котельникова, т.е. t1 =1.5 t =1.5π/ Ωm ;
− показать, что при воздействии на идеальный ФНЧ с коэффициентом передачи (5) сигнала с интервалом дискретизации t1 =15. t выходной сигнал ФНЧ существенно отличается по форме от восстанавливаемого сигнала s(t ). Предложить способ уменьшения ошибки восстановления сигнала в этом случае.
Пример выполнения лабораторной работы № 2
|
Примервыполнениязадания 1 |
|
|
|
В качестве примера рассмотрим сигнал вида |
|
|
||
|
s0 |
|
|
|
s(t ) = |
|
, −∞ <t < ∞, s0 = 2.3, t |
0 |
= 0.014. |
[1 + (t / t0)2 ]2 |
||||
Вводим в компьютер исходные данные:
kill(all)$
numer:true$ ratprint:false$ s0:2.3$ t0:0.014$ K:128$ s(t):=s0/(1+(t/t0)^2)^2$
Вычислим граничные значения сигнала T1 и T2, задаваясь критерием, в соответствии с которым в этих точках значения сигнала s(t ) уменьшаются до значения 0.01 от максимального значения s(t ). Для вычисления верхней границы T 2 набираем:
T2:find_root(s(t)/s(0)-0.01, t, t0, 20*t0)$
23
Так как s(t ) − четная функция времени, то длительность сигнала T может быть найдена следующим образом: T2 = T1 , T = T2 – T1 .
Строим график s(t ). Для этого набираем:
tK:makelist(k*2*T2/K-T2,k,0,K-1)$ sK:map(s,tK),numer$ wxplot2d([discrete,tK,sK]);
Вычислим теперь амплитудно-частотный спектр (АЧС) | SF(ω) | сигнала s(t ). Для этого набираем:
N:K$ SF(w):=2*quad_qawo(s(t),t,0,T2,w,cos,'epsabs=1d-2)[1]$ SF0:SF(0),numer$
SFF(w):=SF(w)/SF0$ wN:makelist((n-N/2)/T2,n,0,N-1)$ SFN:makelist(SFF(wN[n+1]),n,0,N-1),numer$ wxplot2d([discrete,wN,SFN]);
24
Здесь на последнем рисунке для наглядности изображен нормированный на максимум амплитудно-частотный спектр исследуемого сигнала.
Для нахождения максимальной частоты Ωm в спектре сигнала s(t ) будем использовать критерий, в соответствии с которым в точке ω= Ωm значение модуля спектра | SF(Ωm ) | уменьшается до значения 0.01 от максимального значения |SF (0)| . Для вычисления Ωm набираем:
Wm:find_root(SF(w)/SF0-0.01, w, 1/T2, 50/T2); 491.9008154654611
Интервал дискретизации в соответствии с теоремой Котельникова
Dt:%pi/Wm;
0.0063866384336384
Для графического представления совокупности дискретных отсчетов sdis (t ) набираем:
vmin:ceiling(-T2/Dt)-1$ vmax:ceiling(T2/Dt)$ tKK:makelist(k2*Dt,k2,vmin,vmax)$ sKK:map(s,tKK),numer$ wxplot2d([[discrete,tK,sK],[discrete,tKK,sKK]], [style,[lines],[impulses,2,1]]);
25
Используя последний график, предложить процедуру расчета максимальной частоты Ωm в спектре сигнала s(t ). Показать, что это зна-
чение совпадает с ранее найденным.
Представим аналоговый сигнал s(t ) рядом Котельникова. С этой целью набираем:
sink(t):=(if abs(t)<0.0001 then 1 else sin(t)/t)$ SK(t1):=sum(s(k2*Dt)*sink(Wm*(t1-k2*Dt)), k2,vmin,vmax)$
SKK:map(SK,tK),numer$
Выведем на одном рисунке графические зависимости аналогового сигнала s(t ) и его представление sK(t) рядом Котельникова:
wxplot2d([SK(t1),[discrete,tK,sK]],[t1,-T2,T2]);
26
Убеждаемся в совпадении полученных графических зависимостей s(t ) и sK(t) и, следовательно, в возможности представления сигнала в произвольный момент времени рядом Котельникова.
Примервыполнениязадания 2
Обозначим SF (ω) − спектр аналогового сигнала s(t ); SFdis(ω) − спектр дискретного сигнала sdis (t ). Ограничимся представлением на графике слагаемых суммы из (4) при k = 0, ±1, ± 2 . Учтем, что частота дискретизации Ωdis связана с интервалом дискретизации соотношением Ωdis = 2π/ t . Тогда для вывода на экран графических зависимостей модулей этих спектров от частоты набираем:
Wdis:2*%pi/Dt$ SFdis(w):=(1/Dt)*sum(SF(w-kk*Wdis),kk,-2,2)$ SFdis0:SFdis(0),numer$ SFDis(w):=SFdis(w)/SFdis0$ wN3:makelist((nw-N/2)*3000.0/N,nw,0,N-1)$ SFD:map(SFDis,wN3),numer$ SF3:map(SFF,wN3),numer$
wxplot2d([[discrete,wN3,SF3],[discrete,wN3,SFD]]);
27
Здесь сплошной линией изображен нормированный амплитудночастотный спектр (АЧС) исходного аналогового сигнала s(t ), а пункти-
ром − три периода АЧС дискретного сигнала sdis (t ). Убеждаемся, что амплитудные спектры | SF(ω) | и | SFdis(ω) | на интервале час-
тот −Ωm ≤ ω≤ Ωm идентичны. Поэтому для однозначного восстановления аналогового сигнала s(t ) может быть использована часть спектра SFdis(ω)
(4) дискретного сигнала sdis (t ) (1), определенная в области частот
−Ωm ≤ ω≤ Ωm .
Рассмотрим теперь прохождение дискретного сигнала sdis (t ) через
идеальный фильтр нижних частот с частотой среза, равной максимальной частоте в спектре сигнала s(t ). Частотный коэффициент передачи такого фильтра (5) запишется следующим образом:
h(x):=(if x<=0 then 0 else 1)$ KF1(w):=(h(w+Wm)-h(w-Wm))$
Спектральную плотность сигнала на выходе любого фильтра можно найти как произведение спектральной плотности входного сигнала на коэффициент передачи фильтра.
Сравним теперь спектральные плотности сигналов на выходе двух фильтров, первый из которых является описанным выше идеальным фильтром нижних частот с частотным коэффициентом передачи (5). Второй фильтр представляет собой обычную RC-цепочку с такой же частотой среза,
равной Ωm (частоту среза будем определять по уровню 1/ 2 ≈0.707 от
максимума). Известно [1−3], что частотный коэффициент передачи такого фильтра может быть записан в виде
28
KF2(w,tau):=1/(1+%i*w*tau)$
Здесь tau − постоянная времени фильтра. Ее значение найдем по заданной частоте среза:
tau0:find_root(cabs(KF2(Wm,tau))-0.707, tau, 0, 10/Wm),numer;
0.0020335441905483
Для сравнения изобразим на одном рисунке амплитудно-частотные характеристики (АЧХ) двух исследуемых фильтров:
wxplot2d([KF1(w),cabs(KF2(w,tau0))],[w,-1500,1500], [y,-0.1,1.1]);
Изображаем на одном рисунке зависимости от частоты следующих функций: нормированный на максимум амплитудно-частотный спектр (АЧС) сигнала на выходе идеального ФНЧ (сплошная кривая), нормированный на максимум АЧС сигнала на выходе RC-фильтра (пунктир) и нормированный на максимум АЧС исходного аналогового сигнала (штриховая кривая):
SF_1(w):=SFDis(w)*KF1(w)$
SF_1d:map(SF_1,wN3),numer$ SF_2(w):=cabs(SFDis(w)*KF2(w,tau0))$ SF_2d:map(SF_2,wN3),numer$ wxplot2d([[discrete,wN3,SF_1d],[discrete,wN3,SF_2d], [discrete,wN3,SF3]]);
29
Из анализа этого рисунка следует, что точное восстановление аналогового сигнала из дискретного возможно при условии, что фильтр обладает идеальной прямоугольной частотной характеристикой. Если же форма ам- плитудно-частотной характеристики фильтра отличается от прямоугольной, то это приводит к искажению спектра восстанавливаемого сигнала.
Подтвердим вышесказанное, вычислив сами сигналы (как функции времени) на выходах рассматриваемых двух фильтров, используя формулы обратного преобразования Фурье. Для этого набираем:
ass:makelist(realpart(sum(SF3[n] *exp(%i*tK[k]*wN3[n]),n,1,N)),k,1,K)$ asw1:makelist(realpart(sum(SF_1d[n] *exp(%i*tK[k]*wN3[n]),n,1,N)),k,1,K)$ asw2:makelist(realpart(sum(SF_2d[n] *exp(%i*tK[k]*wN3[n]),n,1,N)),k,1,K)$
Тогда графические зависимости сигналов, нормированных на свои максимальные значения, примут вид:
wxplot2d([[discrete,tK,asw1],[discrete,tK,asw2],
[discrete,tK,ass]]);
30