Аналоговая и цифровая фильтрация сигналов (110
..pdf
Для проверки найдем эти же характеристики, используя программу MC6. Для этого в соответствии с рис. 3 в окне редактирования рисуем цепи A и B, а далее, используя режим AC в меню Analysis, выводим на экран АЧХ и ФЧХ соответствующих цепей. Для примера ниже приведены графики АЧХ и ФЧХ цепи A, рассчитанные в среде MC6:
Сравните графики АЧХ и ФЧХ цепей A и B, полученные в средах Maxima и MC6, и определите, совпадают они или нет. Сделайте соответствующие выводы. По графикам АЧХ цепей A и B, полученным как с помощью программы Maxima, так и с помощью MC6, определить ширину полосы пропускания этих цепей (по уровню –3dB).
11
Для того чтобы найти спектральную плотность мощности процесса ξ(t) (рис.1), воспользуемся соотношением (6), а также тем, что на вход цепи A подается белый шум. Для этого в среде Maxima набираем
N0:1$ Wksi(omega):=(N0/2)*(abs(KA(omega)))^2$ wxplot2d(Wksi(omega),[omega,-100,100])$
Видим, что спектральная плотность мощности процесса при прохождении через линейную цепь изменяется в соответствии с формой амплитуд- но-частотной характеристики цепи.
Определим далее корреляционную функцию процесса ξ(t) (рис.1). Для этого воспользуемся выражениями (2). Верхний бесконечный предел во втором интеграле заменим на некоторое конечное число, учитывая следующее соображение. Пусть Ωmax − частота, при которой значение спектральной плотности мощности уменьшается в 100 раз по сравнению с ее максимальным значением. Эту величину и можно принять в качестве верхнего предела интеграла. Используя для графика функции W ξ(ω) процедуру решения нелинейных уравнений, находим Ωmax :
Omax:find_root(Wksi(omega)-0.01*Wksi(0),omega,0, 500); 99.49874371066201
Теперь можем вычислить функцию корреляции процесса ξ(t) :
Kksi(tau):=(1/%pi)*quad_qawo(Wksi(om),om,0, Omax,tau,cos,'epsrel=1d-2)[1]$ tauL:makelist(j/60,j,-30,30)$ KksiL:map(Kksi,tauL),numer$ wxplot2d([discrete,tauL,KksiL])$
12
Перейдем теперь к расчету спектральной плотности мощности процесса η(t) . Время задержки по условию T = 0.2 [с]. Учитывая, что η(t) = ξ(t) +ξ(t −T ) , определим вначале корреляционную функцию процесса η(t) . Нетрудно показать, что эта корреляционная функция равна (показать самостоятельно) Kη(τ) = 2Kξ(τ) + Kξ(τ−T ) + Kξ(τ+T ) . Вычисляя прямое преобразование Фурье от этой функции с учетом свойств преобразования Фурье, окончательно получаем следующее выражение для спектральной плотности мощности процесса
η(t) : W η(ω) = 2W ξ(ω)[1+cos(ωT )].
В среде Maxima вычисление корреляционной функции и спектральной плотности мощности процесса η(t) выглядит так:
T:0.2$ Keta(tau):=2*Kksi(tau)+Kksi(tau-T) +Kksi(tau+T)$
KetaL:map(Keta,tauL),numer$ wxplot2d([discrete,tauL,KetaL])$
13
Weta(omega):=2*Wksi(omega)*(1+cos(omega*T))$ omegaL:makelist(j*2,j,-50,50)$ WetaL:map(Weta,omegaL),numer$ wxplot2d([discrete,omegaL,WetaL])$
Меняя величину параметра T , проследить, как при этом будет меняться форма спектральной плотности мощности процесса η(t) .
Перейдем далее к определению спектральной плотности мощности процесса y(t) на выходе цепи B (рис.1). Очевидно, для этого достаточно воспользоваться соотношением (6).
В результате график спектральной плотности мощности процесса y(t) можно построить следующим образом:
14
Wy(omega):=Weta(omega)*(cabs(KB(omega)))^2$ omegaLy:makelist(j,j,-45,45)$ WyL:map(Wy,omegaLy),numer$ wxplot2d([discrete,omegaLy,WyL])$
Самостоятельно проанализировать изменения статистических характеристик случайного процесса n(t) при последовательном прохождении через линейные цепи (рис.1). Сделать выводы. Уменьшив сопротивление R1 в два раза, проанализировать, как изменяются при этом характеристики про-
цессов ξ(t), η(t) и y(t) .
Примервыполнениязадания 2
Рассмотрим в качестве детерминированного сигнал вида s(t) = 1/(1 + cosh (t/t0)). Причем параметр t0 может принимать два значения:
t01 =10−3 [с] и t02 =5 10−4 [с]. Зарисуем график этого сигнала для перечисленных значений параметра t0 :
kill(all)$
numer:true$ ratprint:false$ t0L:[1d-3,0.5d-3]$ s(t,t0):=1/(1+cosh(t/t0))$
wxplot2d([s(t,t0L[1]),s(t,t0L[2])],[t,-0.01,0.01])$
15
Нетрудно заметить, что при уменьшении параметра t0 длительность сигнала уменьшается.
Энергию сигнала будем вычислять следующим образом. Учтем, что сигнал s(t) имеет по оси времени бесконечную протяженность и, следова-
∞
тельно, точно осуществить вычисление энергии по формуле E = ∫ s2 (t)dt
−∞
численными методами невозможно. Поэтому, учитывая четность и монотонный характер сигнала s(t) , находим такое значение момента времени T, при котором доля энергии сигнала на интервале [T / 2;T ] составляет малую часть ε =TOL энергии сигнала, вычисленную на интервале [0;T ] . Набираем:
E1(t1,t2,t0):=2*quad_qag((s(x,t0))^2,x,t1,t2,0,'epsrel =1d-8)[1]$ TOL:1d-5$ T0(t0):=find_root(E1(TT/2,TT,t0)/E1(0,TT,t0)-TOL, TT, t0, 20*t0)$ T0m:map(T0,t0L),numer;
В результате получаем следующие значения моментов окончания сигнала для двух значений параметра t0 :
[0.013301237077746,0.0066506185388731]
Следовательно, энергия сигнала s(t) для разных значений параметра t0 определится как
[6.6666666665548874*10^-4 ,3.3333333332774437*10^-4]
Перейдем теперь к определению импульсной характеристики согласованного фильтра. В соответствии с формулой (7) импульсная характеристика согласованного фильтра определяется формой сигнала s(t) . Параметр T0 в (7) обычно выбирают равным моменту окончания входного сигнала. В
16
нашем случае параметр T0 для двух значений t0 определен выше. Констан-
ту c в (7) положим равной 1. Следовательно, импульсная характеристика согласованного фильтра определится оператором
h(t,TT0,t0):=s(TT0-t,t0),numer$
Тогда оператор вычисления детерминированной составляющей сигнала на выходе согласованного фильтра в соответствии с интегралом свертки запишется в виде
ys(t,TT0,t0):=quad_qag(s(x,t0)*h(t-x,TT0,t0),x, - TT0,t,0,'epsrel=1d-2)[1]$
Выводим на экран зависимости выходного сигнала от времени для двух значений параметра t0 :
tL:makelist(k*5d-4,k,0,50)$ ys1:makelist(ys(tL[k],T0m[1],t0L[1]),k,1,51),numer$ ys2:makelist(ys(tL[k],T0m[2],t0L[2]),k,1,51),numer$ wxplot2d([[discrete,tL,ys1],[discrete,tL,ys2]], [y,0,0.001]);
С помощью процедуры extremal_subset находим точки на графике, соответствующие максимальным значениям сигнала ys(t) при заданных t0 : ysf1(t):=ys(t,T0m[1],t0L[1]),numer$ ysf2(t):=ys(t,T0m[2],t0L[2]),numer$
tLs:setify(tL)$
extremal_subset (tLs, ysf1, max),numer; extremal_subset (tLs, ysf2, max),numer; {0.0135} {0.0065}
17
Сравнить координаты этих точек с величинами T 0m и Em ( m =1,2 ), рассчитанными ранее. Сделать соответствующие выводы.
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 2 Дискретное представление аналоговых сигналов
иих восстановление по дискретным отсчетам
1.Дискретное представление аналоговых сигналов
Всвязи с интенсивным развитием цифровых методов передачи, приема и обработки аналоговых сигналов s(t ) возникает необходимость их
представления в дискретной или цифровой формах, например, совокупностью дискретных отсчетов sdis (t ) (рис. 5):
∞ |
|
sdis (t ) = ∑s(m t )δ(t − m t ), |
(1) |
m=−∞ |
|
где t − интервал дискретизации (интервал времени между соседними отсчетами); s(m t ) − значения функции s(t ) в моменты времени m t ; δ(x ) − дельта-функция.
(t) |
0 |
Рис. 5 |
Дискретное представление реализуется на основе теоремы Котельни-
кова:
если наибольшая частота в спектре аналогового сигнала s(t ) не превышает значения Ωm = 2πfm , то сигнал s(t ) во все
моменты времени определяется последовательностью своих дискретных отсчетов (1), взятых через интервал времени
t =1/ 2 fm = π/ Ωm .
Аналоговый сигнал s(t ) может быть определен с помощью совокуп-
ности дискретных отсчетов s(m
∞
s(t) = ∑ s(v
v =−∞
t ) рядом Котельникова |
|
|||
|
sin Ωm (t −v |
t) |
|
|
t) |
|
|
. |
(2) |
|
|
|||
|
Ωm (t −v t) |
|
||
18
Реально используемые сигналы s(t ) имеют конечную длительность T . Спектры таких сигналов имеют теоретически бесконечную протяженность, т.е. Ωm → ∞. Однако такие сигналы могут быть представлены рядом
Котельникова (2) приближенно, если при определении Ωm отбросить «хвосты» функций спектров, начиная с ω= Ωm . При этом количественные критерии, на основе которых производится ограничение протяженности спектра частотой Ωm , могут быть различными − по доле отбрасываемой с «хвостами» энергии сигнала относительно полной энергии, по величине спектра на частоте ω= Ωm относительно максимального значения и др. Для сигна-
лов конечной длительности число дискретных отсчетов N в (1) конечно и равно
N = entr[ T t]+1, |
(3) |
где entr[x ] − целая часть x.
2. Восстановление аналогового сигнала по совокупности дискретных отсчетов
Теоретически восстановление аналогового сигнала по совокупности дискретных отсчетов реализуется рядом Котельникова (2).
Возможность аппаратурного восстановления аналогового сигнала по дискретным отсчетам нетрудно понять, используя спектральное представление дискретного сигнала sdis (t ) (1). Известно [1, 2, 5], что спектр
SFdis (ω) совокупности отсчетов sdis (t ) (1) определяется выражением
SF |
(ω) = |
1 |
∞ SF |
ω − kΩ |
, |
(4) |
|
|
|||||||
dis |
|
|
∑ |
( |
|
dis ) |
|
|
|
t k =−∞ |
|
|
|
|
|
где Ωdis = 2π
t − частота дискретизации аналогового сигнала; SF (ω) − спектр аналогового сигнала s(t ), т.е. SF (ω) = F[s(t )].
Из выражения (4) следует, что слагаемые суммы при k = ±1, ± 2,...
представляют собой копии спектра SF (ω), смещенные по оси частот вправо и влево на величину kΩdis .
В зависимости от соотношения между величинами Ωdis и 2Ωm спектр SFdis (ω) (4) имеет различный характер (рис. 6а, б, в).
19
Если t ≤ π/ Ωm (т.е. интервал дискретизации аналогового сигнала s(t ) выбирается в соответствии с условиями теоремы Котельникова), то Ωdis ≥ 2Ωm и соседние копии спектра SFdis (ω) в (4) сигнала s(t ) не перекрываются; при t = π/ Ωm (Ωdis = 2Ωm ) соседние копии примыкают друг
к другу (рис. 6а); при t < π/ Ωm (Ωdis > 2Ωm ) соседние копии спектра SFdis (ω) разделены между собой конечными интервалами протяженностью
| Ωdis −2Ωm |, на которых значения спектра равны нулю (рис. 6б). Отсутствие перекрытия соседних копий спектра SF(ω −kΩdis ),k = 0, ±1...
позволяет выделить без искажений нулевую (k = 0) копию спектра SFdis (ω)
из суммы в правой части (4) с помощью идеального фильтра нижних частот (ФНЧ), имеющего частотный коэффициент передачи
1,| ω|≤ Ωm , |
(5) |
|
KF(ω) = |
ω|> Ωm . |
|
0,| |
|
|
20