Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Владимирский государственный университет им. Столетовых

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Выполнение типового расчета по теории вероятностей (120

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.11.2022

Размер:

683.73 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 42 3 4 > Следующая >>>

P H0	120	0,264;	P H1	225	0,494;
	455			455
P H2	100	0,22;	P H3	10	0,022.
	455			455

Найдем условные		вероятности		P А	Hi . Ясно, что

P А H0 0. Далее P А H1 0,9. Для поиска остальных услов-

ных вероятностей воспользуемся формулой сложения вероятно-

стей для независимых событий:

P Аi 1 1 P Ai .

Эта формула дает

P А H2 1 1 0,9 2 0,99; P А H3 1 1 0,9 3 0,999.

Окончательно получаем

P A 0 0,264 0,9 0,494 0,99 0,22

0,999 0,022 0,684378 0,68.

Пример 7. Из урны, содержащей четыре белых и шесть черных шаров, последовательно наугад извлекают пять шаров (вы-

борка с возвращением). Случайная величина — число белых ша-

ров в выборке. Для случайной величины найти: 1) распределение вероятностей; 2) функцию распределения и построить ее график;

3)вероятность попадания случайной величины в интервал (1; 5);

4)математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение.

Решение. Так как выборка осуществляется с возвращением,

вероятность извлечь белый шар остается постоянной (р 0,4) и не зависит от результатов предыдущих испытаний. Таким образом,

случайная величина — число успехов в схеме Бернулли с числом испытаний п 5 и вероятностью успеха р 0,4. Для схемы Бернулли имеем pk P k Cnk pk 1 p n k , k 0, ..., n. В нашем случае

p0 P 0 C50 (0,4)0 0,6 5 0,07776;

p1 P 1 C51 (0,4)1 0,6 4 0,2592;

p2 P 2 C52 (0,4)2 0,6 3 0,3456;

p3 P 3 C53 (0,4)3 0,6 2 0,2304;

p4 P 4 C54 (0,4)4 0,6 1 0,0768;

p5 P 5 C55 (0,4)5 0,6 0 0,01024.

Таким образом, закон распределения случайной величины задается таблицей

xk	0	1	2	3	4	5
pk	0,07776	0,2592	0,3456	0,2304	0,0768	0,01024
Функция распределения кусочно постоянна:
				0,	x 0,
				0,07776,	0 x 1,
					1 x 2,
				0,33696,	1 x 2,
	F x P x				2 x 3,
	F x P x		pk 0,68256,		2 x 3,
			k x	0,91296,	3 x 4,
					4 x 5,
				0,98976,	4 x 5,
					x 5.
				1,	x 5.

На рис. 5 представлен ее график.

Вероятность попадания случайной величины в интервал вычисляется по формуле

P a; b F (b) F (a 0) F (b)	lim F (x).
	x a 0
12

Следовательно,

P 1; 5 F (5) F(1 ) F (5) F(2)

0,98976 0,33696 0,6528.

Рис. 5. График функции распределения

Найдем числовые характеристики случайной величины . Математическое ожидание

Μ xk pk 0 0,07776 1 0,2592 2 0,3456

3 0,2304 4 0,0768 5 0,01024 2.

Дисперсия

D xk M 2 xk2 pk M 2

0 0,07776 1 0,2592 4 0,3456 9 0,2304

16 0,0768 25 0,01024 4 1,2.

Среднее квадратичное отклонение

1,2 1,1.

Пример 8. Непрерывная случайная величина распределена по закону Рэлея с плотностью f (x) 22 xe 2 x2 , x 0. Для случайной величины с параметром 0,5 найти: 1) ее функцию распределения F(x) и построить графики функции распределения F(x) и плотности распределения вероятностей f (x); 2) вероятность попадания случайной величины в интервал 0,5;1,5 ; 4) ма-

тематическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение.

Решение. Исходя из определения плотности распределения случайной величины запишем

F(x) f (t)dt

0,		x 0,
x	1	1 t2
	2	t e 4 dt, x 0,
0	2

0,	x 0,

		1 2	x 0.
1 e		4x ,	x 0.

Графики функции распределения и плотности изображены на рис. 6.

Рис. 6. Функция распределения и плотность случайной величины

Найдем вероятность попадания в интервал случайной величи-

ны 0,5;1,5 :

P 0,5;1,5 F 1,5 F(0,5) e 0,5625 e 0,0625 0,37.

При подсчете числовых характеристик случайной величины


удобно			использовать гамма-функцию										Эйлера						Г t 1e t dt,
обладающую свойствами:																				0
обладающую свойствами:
					Г 1 ;					Г 1 1;							1			.
					Г 1 ;					Г 1 1;					Г					.
																	2
Найдем математическое ожидание :
												x	2	e		x2
						M x f x dx												dx
																4
																4
											0	2
											0
							1			3		1			1
						2t 2 e t dt				3		1	Г		1					.
						2t 2 e t dt			2Г	2		2	Г							.
					0					2		2			2
					0
Здесь в интеграле использована замена																переменной t x4 / 4.
Аналогично найдем дисперсию :

D					x M 2 f x dx x2 f x dx M 2

			3		x2
	x			e		dx 4te t dt 4Г 2 4Г 1 4 .
	x				4
					4
0		2					0
0							0
Среднее квадратичное отклонение
									D		4 0,93.
Пример 9. Плотность распределения вероятностей случайной
величины имеет вид								f (x)		kx,	x [0;1,5],								Случайная вели-
величины имеет вид								f (x)			x [0;1,5].								Случайная вели-
										0,	x [0;1,5].
чина связана с							функциональной					зависимостью 42 7.
Найти: 1) константу k;								2) математическое ожидание и дисперсию

случайной величины , используя плотность распределения вероятностей случайной величины ; 3) функцию распределения и

плотность распределения вероятностей случайной величины и построить их графики; 4) математическое ожидание и дисперсию случайной величины , используя найденную плотность распределения вероятностей.

Решение. Константу k найдем из условия нормировки

f x dx 1. Получим

							x dx				1,5					9k
				f			x dx			kxdx						9k		1.
											0					8
											0
	Следовательно, k						8 .
							9
	Для вычисления математического ожидания случайной ве-
личины воспользуемся												формулой										M M g

	g x f x dx. Получим

			1,5						8				8				7						1,5			5
			1,5																				1,5
	M 4 x					2		7		xdx					4					x	2						.
	M 4 x							7		xdx				x						x							.
			0						9				9				2						0			2
	Дисперсия		0						9				9				2						0			2
	Дисперсия
												x f x dx M 2
	D D g g 2											x f x dx M 2

						1,5				7 2 8 xdx 25
				4x2						7 2 8 xdx 25
							0					9					4
							0
		8	16	x	6			56	x	4		49	x	2	1,5			25						27	.
		8	16		6			56		4		49		2	1,5			25						27
		9						4				2							4					4
		9	6					4				2			0				4					4
															0

Найдем функцию распределения случайной величины :

	0,			x 0,			0,							x 0,
x	x	8							4		2
F x f t dt			t dt,	0 x 1,5,						x			, 0	x 1,5,
		9							9
	0													x 1,5.
			x 1,5,				1,
	1,
Далее ищем функцию распределения случайной величины :
F x P x		P 4		2	7 x			2				x 7
						P
													4

	0,													x 7;
					x 7			x			7
					x 7			x			7
	P					x						,		7 x 2,
	P			4		x			4			,		7 x 2,
				4					4
													x 2,
	1,												x 2,
	0,													x 7,
					x 7					x	7
					x 7					x	7
	F					F								, 7 x	2,
	F			4		F					4			, 7 x	2,
				4							4
														x 2,
	1,													x 2,
0,						x 7,						0,			x 7,
												0,			x 7,
	x 7	2
4													1
4													1	x 7 ,
			0,			7 x 2,									7 x 2,
	4		0,			7 x 2,							9		7 x 2,
9	4												9		x 2,
						x 2,						1,			x 2,
1,						x 2,
По определению плотности распределения случайной величи-
ны имеем
									1	,		x 7;2 ,
			f	x		F x			9	,		x 7;2 ,
			f	x		F x			9
												x 7;2 .

							0,
															17

Таким образом, случайная величина имеет равномерное распределение на отрезке 7;2 . Графики ее плотности и функции распределения изображены на рис. 7.

Рис. 7. Функция распределения и плотность случайной величины

Найдем числовые характеристики случайной величины , используя ее плотность распределения. Для математического ожидания получим

M	x f x dx	2	x	1 dx		x2	2	5 .

					18
				9				2
		7					7

Аналогично, находим дисперсию случайной величины :

D	x2	f x dx M 2	2	x2 1 dx	25	x3	2	25	27 .

					4	27		4
				9					4
			7				7

Убеждаемся в том, что результаты подсчета числовых характеристик различными способами совпадают.

xi			yj
xi	–1	0		2	4
	–1	0		2	4
1	0,1	0		0,15	0,05
3	0,15	0,15		0	0,1
5	0,2	0		0,1	0

Пример 10. Дана система двух дискретных случайных величин , , закон распределения которой задан таблицей. Найти:

1) законы распределения случайных величин и ; 2) математические ожидания и дисперсии случайных величин и ; 3) коэффи-

циент	корреляции r ; 4) условные распределения		P xi	y3 ,
циент	корреляции r ; 4) условные распределения		P xi	y3 ,
P y j	x3 .
P y j	x3 .
Решение. Найдем законы распределения случайных величин
и . Пусть pij P xi , y j , i 1,2,3 y 1, 2, 3, 4. Тогда
	pi P xi pij ;	p j P y j pij .
	j	i

Простые вычисления дают законы распределения случайных ве-

личин и .

Сведем полученные вероятности в таблицы:

хi	1	3	5
p	0,3	0,4	0,3
i

y j	–1	0	2	4
p j	0,45	0,15	0,25	0,15

Найдем числовые характеристики случайных величин:

M xi pi 1 0,3 3 0,4 5 0,3 3;

M y j pj 1 0,45 0 0,15 2 0,25 4 0,15 0,65;

D xi2 pi M 2	1 0,3 9 0,4 25 0,3 9 2,4;
i

D y2j p j M 2

1 0,45 0 0,15 4 0,25 16 0,15 0,4225 1,9775.

Для подсчета коэффициента корреляции случайных величини сначала найдем их ковариацию:

cov , M M M

xi y j pij M M

1 1 0,1 1 2 0,15 1 4 0,05 3 1 0,15 3 4 0,1

5 1 0,2 5 2 0,1 3 0,65 0,7.

Коэффициент корреляции
,	cov ,	0,7	0,23.
	D D	2,4 1,9775

Далее найдем условные законы распределения по формулам

P xi	y3	p		P y j		x3	p3 j

		i3	;					.
		p					p

		3			3

Сведем полученные вероятности в таблицы:

xi		1	3	5
P xi	y3	0,6	0	0,4
P xi	y3	0,6	0	0,4

y j		–1	0	2	4
P y j	x3	2/3	0	1/3	0
P y j	x3	2/3	0	1/3	0

Пример 11. Дана система двух непрерывных случайных величин ( , ) с совместной плотностью распределения f (x, y)

C, (x, y) D,

	0, (x, y) D.	Область D ограничена кривыми х 1, у 0, у
	0, (x, y) D.

2х2 (рис. 8).

Найти: 1) совместную плотность распределения f (x, y),

предварительно построив область D; 2) плотности вероятности случайных величин и ; 3) математические ожидания и дисперсии случайных величин и ; 4) коэффициент корреляции r ;

5) условные плотности распределения f x		y и	f y		x ; 6) ус-

ловные математические ожидания M y , M x , уравнения линий регрессии и построить их графики.

<<< < Предыдущая 12 / 42 3 4 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]