Основы экономической динамики (110
..pdf
форме динамического межотраслевого баланса достаточно, характеристического уравнения
B−1 (E − A) − λ E = 0
имели отрицательные действительные части.
Например, при n = 1 соотношение (7.9) принимает вид:
чтобы корни
(7.9)
1− a − λ = 0 , b
где a - доля промежуточного продукта в валовом выпуске; b - приростная
фондоемкость валового выпуска, поэтому λ = 1− a > 0 , т.е. экономика неус- b
тойчива и может, вообще говоря, неограниченно наращивать валовой выпуск.
Подобная картина имеет место и при n > 1, поэтому в модели баланса обязательно присутствуют ограничивающие факторы, которые действуют в реальной экономике. Это прежде всего ограниченные трудовые ресурсы. Если известна траектория трудовых ресурсов L(t) , то текущий выпуск ограничен:
lx(t) ≤ L(t) ,
где l = (l1,...,ln ) - вектор-строка отраслевых трудоемкостей.
Кроме того, другим ограничивающим фактором являются природные ресурсы, добыча и вовлечение которых в производственный оборот по мере исчерпания наиболее экономически эффективной их части становятся все более затруднительными и менее эффективными.
8. Нелинейные динамические системы
Нелинейной называется система, имеющая в своем составе хотя бы один нелинейный элемент.
41
Метод анализа нелинейной системы зависит от вида нелинейности. Существует два основных подхода к анализу нелинейных систем:
1)линеаризация системы (если это возможно) и последующее использование описанных выше методов исследования линейных динамических систем;
2)если линеаризация невозможна, то прямое решение нелинейных уравнений динамической системы (быть может, аналитическое решение, но, как правило, численное интегрирование на ЭВМ).
Рассмотрим уравнение нелинейного динамического элемента
F( y, y ,..., y |
|
, y |
|
, x, x ,..., x |
|
) = 0. |
(8.1) |
′ |
(n−1) |
|
(n) |
′ |
(m) |
|
|
Данное уравнение целесообразно разрешить (если это возможно) относительно старшей производной:
y |
|
= f ( y, y ,..., y |
|
, x, x ,..., x |
|
), |
(8.2) |
|
(n) |
′ |
(n−1) |
′ |
(m) |
|
|
а затем перейти к системе дифференциальных уравнений относительно пе-
ременных y1, …, yn: (8.3)
y |
= y, y |
= y(i) ,i = 1,..., n −1, |
|
||||
1 |
i+ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
dy1 |
= y2 , |
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
… |
|
|
|
|
|
|
|
dyn−1 |
= y |
, |
|
|
||
|
|
dt |
|
n |
|
, |
|
dyn−1 = f ( y ,..., y |
, x, x′,..., x(m) ) |
|
|||||
dt |
|
1 |
n |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
||
Далее необходимо получить аналитическое или численное решение |
|||||||
уравнения (8.2) либо системы уравнений (8.3).
Система уравнений (8.3) является частным случаем общей системы нелинейных уравнений (вход и его производные можно считать известными функциями времени), которая может служить описанием любой динамической нелинейной многосвязной системы
42
dyi = fi ( y1,..., yn ,t),i = 1,..., n . |
(8.4) |
dt |
|
Метод линеаризации рассмотрим на примере нелинейной модели |
|
Кейнса как нелинейного динамического звена первого порядка: |
|
dy = f ( y, I ) , |
(8.5) |
dt |
|
т.е. скорость роста ВВП является функцией ВВП и инвестиций. В линейном случае
f ( y, I ) = C − (1− c) y + I.
Поскольку y(y > 0) — ВВП, а x = 1(1 > 0) — инвестиции, то из экономических соображений следует, что
∂f < 0, ∂f > 0, ∂y ∂I
т.е. с увеличением ВВП скорость его роста замедляется, а с увеличением инвестиций — возрастает. Пусть при t = 0 инвестиции были равны I0 и система находилась в некотором равновесном состоянии ( y0 , I0 ) , первая компонента которого определяется из уравнения (инвестиции I0 считаются известными)
f ( y0 , I0 ) = 0 .
При увеличении инвестиций с I0 до I = I0 + I система будет удовлетворять уравнению
∂y = f ( y, I ), y(0) = y0 .
∂t
Представим ВВП в виде суммы постоянной и переменной частей: y(t) = y0 +η (t),η (t) > 0,η (0) = 0.
Переменная часть |
|
удовлетворяет уравнению |
|
|
dη |
= f ( y0 +η , I0 + I ),η (0) = 0. |
(8.6) |
|
dt |
|
|
Если приращение инвестиций сравнительно мало, то при эволютор- |
|||
ном характере функции |
f ( y, I ) переменная часть η (t) также сравнительно |
||
|
|
43 |
|
мала. Поэтому правую часть (8.6) можно разложить в окрестности точки ( y0 , I0 ) , в ряд Тейлора, отбросив члены второго и более высоких порядков:
dη |
= |
∂f |
( y0 , I0 )η + |
∂f |
( y0 , I0 ) I,η (0) = 0. |
|
dt |
∂y |
∂I |
||||
|
|
|
После перенесения члена, содержащего η , в левую часть и деления обеих частей на ∂∂fy ( y0 , I0 ) получаем уравнение инерционного звена:
T |
dη |
+η = α I,η (0) = 0. |
(8.7) |
|
dt |
||||
|
|
|
где T1 = − ∂∂fy ( y0 , I0 ) – обобщенная предельная склонность к сбережению в на-
чальном состоянии;
|
∂f |
( y0 |
, I0 ) |
||
α = − |
∂I |
||||
|
|
> 0. |
|||
|
|
|
|||
|
∂f |
( y0 , I0 ) |
|||
|
∂y |
||||
|
|
|
|
||
Из (8.7) вытекает, что переменная часть ВВП будет вести себя следующим образом:
− 1
η (t) = α I (1− e T ).
При этом новое равновесное состояние ВВП
|
∂f |
( y0 |
, I0 ) |
||
yE = lim y(t) = y0 + α I = y0 − |
∂I |
||||
|
|
I. |
|||
|
|
|
|||
t→∞ |
∂f |
( y0 , I0 ) |
|||
|
∂y |
||||
|
|
|
|
||
44
Вопросы и задания
1.Что такое динамический элемент и динамическая система?
2.Почему экономика является динамической системой?
3.В чем сходство и различие понятий: «мультипликатор», «акселератор», «инерционное звено», «колебательное звено»? Где эти понятия используются в экономике?
4.Что такое импульсная функция? Какова импульсная функция инерционного звена?
5.Что такое переходная функция? Какова переходная функция инерционного звена?
6.Какова переходная функция колебательного звена?
7. |
Как |
|
|
среагирует |
экономика |
в |
форме |
упрощенной |
модели |
Кейнса |
|||||||
|
1 |
|
|
dy |
+ y = c + I на увеличение ежегодных инвестиций с I0 |
до I = I |
0 + I |
|
Ка- |
||||||||
1− c |
dt |
|
|||||||||||||||
|
|
|
1+ c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
ков экономический смысл коэффициентов дан ной модели? |
|
|
|
|
|||||||||||||
8. |
Как |
|
|
среагирует |
экономика |
в |
форме |
модели |
Самуэльсона—Хикса |
||||||||
|
1 |
|
|
d 2 y |
|
+ 1− r dy + y = c + I |
на увеличение ежегодных |
инвестиций |
с I |
|
до |
||||||
1− c |
|
|
|
0 |
|||||||||||||
dt2 |
1− c dt |
1+ c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
I = I0 + |
I |
Каков экономический смысл коэффициентов данной модели? |
|
|
||||||||||||
9. Как изменится реакция экономики в форме динамической модели Кейнса на изменение величины ежегодных инвестиций с I0 до F = I0 + F при введении мультипликатора в контур обратной связи с данной моделью?
10. Как изменится реакция экономики в форме динамической модели Кейнса на изменение величины ежегодных инвестиций с I0 до I = I0 + I при введении акселератора в контур обратной связи с этой моделью?
11.Что такое передаточная функция?
12.Каковы передаточные функции мультипликатора, акселератора, упрощенной модели Кейнса, модели Самуэльсона—Хикса?
45
14.В каких соотношениях находятся импульсная и переходная функции с передаточной функцией?
15.Какая линейная динамическая система является устойчивой?
16.Устойчива ли экономика в форме упрощенной модели Кейнса?
17.Устойчива ли экономика в форме модели Самуэльсона—Хикса?
18.Что такое многосвязная динамическая система?
19.Можно ли говорить о передаточной функции нелинейной системы?
46
Библиографический список
1.Занг В.Б. Синергетическая экономика / В.Б. Занг. – М. : Мир, 1999. – 335 с.
2.Мулен Э. Кооперативное принятие решений : аксиомы и модели / Э. Му-
лен. – М. : Мир, 1991. – 464 с.
3.Харрис Л. Денежная теория / Л. Харрис. – М. : Прогресс, 1990. – 728 с.
4.Колемаев В.А. Экономико-математическое моделирование. Моделирование макроэкономических процессов и систем : учебник для студентов вузов, обучающихся по специальности 061800 «Математические методы в экономике» / В.А. Колемаев. – М. : ЮНИТИ-ДАНА, 2005. – 295 с.
5.Колемаев В.А. Математические модели макроэкономики / В.А. Колема-
ев. – М. : ГАУ, 1996. – 265 с.
6.Колемаев В.А. Трехсекторная модель экономики / В.А. Колемаев // Сборник трудов Международной академии информатизации. Секция АПК. – М. :
КОПИЯ-ПРИНТ, 1997. – С. 335–345.
7.Колемаев В.А. Моделирование сбалансированного экономического роста / В.А. Колемаев // Вестник университета. – № 3. – М. : ГУ У, 2000. –
С. 41–48.
8.Колемаев В.А. Условия возникновения и самоподдержания инфляции / В.А. Колемаев // Сборник трудов Международной академии информатизации. Секция АПК. – М. : КОПИЯ-ПРИНТ, 1998. – С. 45–57.
9.Колемаев В.А. Моделирование инфляции и налогообложения с помощью трехсекторной модели экономики / В.А. Колемаев // Вестник университета.
– М. : ГУУ, 1999. – С. 52–66.
47
Учебное издание
ОСНОВЫ ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ДИНАМИКИ
Учебно-методическое пособие для вузов
Составители:
Бахтина Жанна Игоревна, Зверева Маргарита Борисовна, Каменский Михаил Игоревич
Издано в авторской редакции
Подписано в печать 15.12.2016. Формат 60×84/16 Уч.-изд. л. 1,5. Усл. п. л. 2,7. Тираж 25 экз. Заказ 976
Издательский дом ВГУ 394018, г. Воронеж, пл. Ленина, 10
Отпечатано в типографии Издательского дома ВГУ 394018, г. Воронеж, ул. Пушкинская, 3
48