Основы экономической динамики (110

где ρ — доля валовых инвестиций в ВВП;

насколько должен быть увеличен ВВП для увеличения валовых инвестиций на единицу.

Таким образом, в широком смысле мультипликатор — усилительное линейное статическое звено, в узком смысле — сам коэффициент усиления.

Акселератор — дифференцирующее звено нулевого порядка, выход которого пропорционален скорости входа.

Например, инвестиции могут быть выражены через скорость изменения ВВП следующим образом:

I = rdYdt ,

где r — коэффициент акселерации, т.е. прирост потребности в инвестициях при увеличении ВВП на единицу.

При дискретности времени ∆t или ∆t = 1 (один год) то же уравнение выглядит следующим образом:

It t = r t (Yt − Yt− t ), It = r (Yt − Yt−1 ) .

Инерционное звено задается дифференциальным уравнением первого порядка

Уравнение (2.2) можно привести к стандартному виду путем деления его на a0.

11

Инерционное звено описывает процесс «отработки» заданного входного воздействия x(t) (значок «~» опустим), таким образом, что скорость «отработки» пропорциональна разности между входом и выходом:

Пример 2.1. Рассмотрим модель освоения введенных производственных мощностей. Обозначим через х (х = const) введенную производственную мощность, а через y(t) — фактическое производство на базе этой мощности в момент t (фактическое использование мощности, y(t) < x). Сделав предположение, что прирост производства пропорционален недоиспользованной мощности:

y = y(x - y) t ,

приходим к уравнению инерционного звена:

Общее решение однородного уравнения имеет вид:

Подставив его в (2.5), получим:

(Tλ + 1) y = 0 ,

но у ≠0, поэтому приходим к характеристическому уравнению (относительно X):

Поскольку частным решением неоднородного уравнения (2.4) является y = x , то общее решение этого уравнения примет вид:

y = x + Ce− Tt .

Константу С находим из начального условия

y (0) = x + C = y0 , C = y0 − x ,

12

поэтому окончательно имеем y (t ) = x + (t0 − x)e− Tt .

Переходный процесс освоения производственных мощностей, описываемый этим решением, завершается выходом на заданный размер мощности

lim y (t ) = x .

t→∞

Общая картина переходного процесса показана на рис. 1. 4.

y

x

поэтому y (t ) = x (1− e−1 ) , т.е. постоянную времени Т можно определить как длину промежутка времени, в течение которого переходный процесс проходит основную часть (2/3) своего пути от 0 до х.

Пример 2.2. Модель установления равновесной цены. В модели рассматривается рынок одного товара, время считается непрерывным, спрос d и предложение s линейно зависят от цены:

d = a − bp , s = α + β p , a > 0, b > p, α > 0, β > 0, a > α .

Основное предположение модели состоит в том, что изменение цены пропорционально превышению спроса над предложением:

13

p = γ (d − s) t , γ > 0 ,

т.е. в случае действительного превышения спроса над предложением цена возрастает, в противном случае — падает.

Из основного предположения модели вытекает следующее дифференциальное уравнение для цены:

т.е. процесс описывается уравнением инерционного звена с

где pE — равновесная цена (точка пересечения прямых спроса и предложения). Таким образом, цена как выход инерционного звена ведет себя так, как это показано на рис. 1.4.

В модели Кейнса предполагается, что ВВП y(t + 1) в следующем году равен совокупному спросу предыдущего (текущего) года, а совокупный спрос, состоящий из спроса на потребительские (С) и инвестиционные (I) товары, зависит только от ВВП текущего года:

y (t + 1) = C y (t ) + I (t ) .

При линейной зависимости спроса на потребительские товары от ВВП и примерном постоянстве спроса на инвестиционные товары приходим к соотношению

где C — минимальный объем фонда потребления; с(0< с < 1) — склонность к потреблению.

Соотношение, действующее при дискретности времени в один год, примет форму:

где (1 - с) — склонность к накоплению.

14

Последнее уравнение имеет равновесное (стационарное) решение

yE = C + I .

1− c

Если в начальный момент спрос на инвестиционные товары изменился с величины I0 до I ( I > I0), то в экономике будет происходить переходный

3. Передаточная функция

Понятие передаточной функции динамического элемента связано с операторным методом решения дифференциального уравнения. Суть метода состоит в сведении решения дифференциального уравнения к решению алгебраического уравнения. В основе метода - переход от первоначальных функций времени x(t), y(t) к их образам X(s), Y(s) — преобразованиям Лапласа этих функций. Напомним определение преобразования Лапласа для некоторой функции :

15

Образ производной можно найти по образу функции: поэтому

В табл. 1.1 приведены преобразования Лапласа некоторых функций. Таблица 1.1. Преобразования Лапласа типовых функций

16

с отрицательным дискриминантом, составленным из коэффициентов в левой части уравнения (4.1).

Колебательное звено описывает циклические процессы в экономике. Пример 4.1. Однономенклатурная система управления запасами может быть рассмотрена как колебательное звено. Пусть x(t) и x(t) — фактические интенсивности расхода и поступления товара в систему управления запасами в момент t. Поскольку интенсивность расхода заранее неизвестна, то всегда будет образовываться запас y(t) (если y(t) > 0, то это действительно запас, если y(t)<0, то это дефицит). Изменение запаса следующим обра-

зом связано с интенсивностями расхода и поставок:

Управлять интенсивностью поставок можно только по известному значению запаса y(t) (ведь интенсивность расхода неизвестна).

Имеется два варианта управления:

1) изменение поставок пропорционально (с обратным знаком) величине запаса (при положительном запасе интенсивность поставок уменьшается, при отрицательном — увеличивается):

x = −a0 y t , a0 > 0 .

2) изменение интенсивности поставок пропорционально (с обратным знаком) как запасу, так и скорости его изменения:

(при положительном запасе интенсивность поставок уменьшается, при отрицательном — увеличивается, при положительной скорости роста запаса интенсивность поставок уменьшается, при отрицательной — увеличивается).

18

Первый случай. Взяв производную от обеих частей (4.2) и подста-

том d = −4a0 < 0 . Характеристическое уравнение имеет вид (подставляем в однородное уравнение y = Ceλt ): λ 2 + a0 = 0 . Его корни взаимно сопряженные мнимые: λ1 = i a0 , λ2 = −i a0 .

Пусть на вход системы, находившейся в начальный момент в состоянии равновесия х = 0, у = 0, у'(0) = 0, начали поступать заявки на товар с интенсивностью x(t) =x = const.

Или алгебраически:

Производная от функции Хэвисайда равна обобщенной функции Дирака, которая принимает бесконечно большое значение в точке t = 0 , равна

∞

где Y (s) = e− st y (t )dt — преобразование Лапласа выхода y(t);

0

∞

− x = e− st (− xδ (t ))dt — преобразование Лапласа от правой части (4.5), по-

0

∞

скольку e− stδ (t )dt = 1.

0

Из (4.5) находим преобразование Лапласа выхода y(t):

И, наконец, по табл. 1.1 восстанавливаем выход: v (t ) = ωx sin ωt .

Таким образом, в первом случае при постоянной интенсивности расхода х запас y(t) будет испытывать незатухающие гармонические колебания

с амплитудой ωx (рис. 1.5).

При таких незатухающих колебаниях промежутки, когда имеется действительный запас y(t) > 0, будут чередоваться с промежутками дефицита y(t) < 0, что крайне отрицательно скажется на финансовом положении организации, отвечающей за систему управления запасами. Для того чтобы система управления запасами снова вошла в состояние равновесия, необходимо учитывать не только величину запаса y(t), но и скорость его изменения, как это и предусмотрено во втором случае.

20