Моделирование процессов с нелинейностями гистерезисного типа (110

n

n

n

Значит, из утверждения б) леммы 1 следует, что u(t) 2 C(t) для всех

t 2 [0; T ].

Остается доказать, что u0(t) 2 NC(t)(u(t)), т.е. для любых c 2 C(t)

выполнено h u0(t); c u(t)i 6 0.

Зафиксируем произвольный c

C(tn

). Поскольку un

= proj(un; C(tn

)),

то по определению проекции,

b2

i+1

i+1

i

i+1

huin+1

uin; uin+1

c

6 0:

(7)

Из (4), (5) получаем, что

bi

L

kun(t) uin+1k = kun(t) un(tin+1)k 6 L(tin+1 t)

6

; t 2 [tin; tin+1]:

n

Поскольку C(t)

C(tin+1) +

L(tin+1 t)(0)

C(tin+1) +

L(0) для t 2

B

B

[tn; tn ], то из (7) и (5) получим, что

n

i

i+1

huin+1 uin; un(t) ci = huin+1 uin; uin+1 ci+huin+1 uin; un(t) uin+1+c ci 6

b

6 n (ti+1 bti )

(8)

2L2

n

n

для t 2 [tin; tin+1] и c 2 C(t).

u0

n

n

Если

t

2

(tn; tn )

, то

(t) = (ui+1

ui )

, тогда из (8) следует, что

i

i+1

n

(tn

tn)

u0

2L2

i+1

i

(t); u

(t)

c

t

(tn; tn

)

c

C(t)

h

n

i 6 n

, где

2

и

2

.

n

i

i+1

При этом,

u0

(t)

=

kuin+1 uink

L(tin+1 tin)

= L; t

(tn; tn

):

k

k

(tin+1 tin) 6 (tin+1 tin)

2

n

i i+1

0

0

u

непрерывна, то u

(t) = u

t

u0

(s)ds, t

[0; T ].

+

Так как

n абсолютно

t

[0; T ]

и

zn

H

0

R0

n

2

Для фиксированного 0 2

2

определим

'(t) =

8 z : 0 6 t 6 t0;

< 0 :

t0 < t 6 T:

:

t0

t0

hun(t0); zi = hu0; zi + hZ0

un0 (t)dt; zi = hu0; zi + Z0

hun0

(t); zidt =

T

T

t0

= hu0; zi+Z0

hun0

(t); '(t)idt ! hu0; zi+Z0

hv (t); '(t)idt = hu0+Z0

v (t)dt; zi:

посколькуt

последнее верно для произвольного z 2 H, то u(t) = u0 +

R0

( )

ds

,

t

2u0(t) =.

v (t)

t (0; T )

u0

u0

v

s

[0; T ]

Значит,

для п.в.

2

. В частности, n ! в

L1. Тогда

T

(

( )

( ))

T

(

n( )

( ))

Z0

6 n!1 Z0

u t

; C t dt

lim

u0 t

; C t dt:

0

0

T

(

( )

(

T

Z0

)) 6 n!1 Z0

(v

n

v t

; C

t

dt

lim

(t); C(t))dt:

Заметим, что

T

h

( )

( )i

=

2(k

(

)k

k

0k

) 6 n!1

2

k

k

k

0k

Z0

n

u0

t

; u t

dt

1

u

T

2

u

2

lim

1

(

u

(T )

2

u

2) =

= n!1

2(k

n(

)k

k

n(0)k

T

n( )

n( )i

) = n!1 Z0

h

lim

1

u

T

2

u

2

lim

u0

t

; u

t

dt:

Тогда

T

L2T

Z0

( ( un0 (t); C(t)) + hun0 (t); un(t)i)dt

6

2

:

n

Следовательно, переходя к пределу, получим

T

Z0

( ( u0(t); C(t)) + hu0(t); u(t)i)dt 6 0:

Замечание. Заметим, что решение (3) не обязано быть дифферен-

цируемо в каждой точке t 2 (0; T ). Рассмотрим H = R1,

C(t) = 8

[t; 1] :

0 6 t 6 2;

>

1

[1

t; 1] :

1

t

1

<

6

6

2

и

.

>

0

2

:

2

C(t)

u

= 0

C(0) = [0; 1]

Тогда решение

u0(t)

N (u(t)) имеет вид

u(t) = 8 t : 0 6 t 6 2;

>

1

1

: 1

t

1

<

6

6

и

2

2

>

:

u0(t) = 8 1 : 0 6 t < 2;

>

1

0 :

1

< t

6

1

2

2

<

1

и следовательно,

u0(t)

:

; 0] для всех

NC(>t)(u(t)), т.к. N[t;1](t) = (

1

1

1

t 2

[0;

] и N[1 t;1]

(

) = f0g для всех t 2

(

; 1]. При этом dH(C(t); C(s)) =

2

2

2

jt sj для t; s 2 [0;

1

] и t; s 2

1

; 1]. Причем, выполняется условие Лип-

[

2

2

шица

0; 2

; s 2

2; 1

dH(C(t); C(s)) = jt (1 s)j 6 jt sj; t 2

:

1

1