Моделирование процессов с нелинейностями гистерезисного типа (110

2.2Покажите, что NC((1; 0)) = f( 1; 2) : 1 > 0; 2 2 Rg.

2.3Покажите, что NC((x; 0)) = f(0; 2) : 2 2 Rg для любого x 2 (0; 1).

2.4Покажите, что 0 2 NC(x).

2.5Покажите, что Nfxg(x) = H.

2.6Пусть выпуклое замкнутое множество C содержит хотя бы одну внутреннюю точку x. Тогда NC(x) = f0g.

2.7 Докажите, что y = proj(x; C) , y 2 C и hy x; y ci 6 0 8c 2 C.

2.8Докажите, что y = proj(x; C) , y 2 C и x y 2 NC(y).

2.9Докажите, что proj(x; C) = x , x 2 C.

2.10Рассмотрите примеры, показывающие, что выпуклость и замкнутость множества C важны для существования и единственности проекции.

2.11Докажите справедливость неравенства треугольника для хаусдорфова расстояния, т.е. что h(C1; C2) 6 h(C1; C3) + h(C3; C2), где C1,

C2, C3 выпуклые замкнутые множества в H (ГП).

2.12Найдите расстояние h(C1; C2) между двумя произвольными шарами

C1 = Br1 (a1) и C2 = Br2 (a2).

11

§3. Опорные функции

Пусть задано замкнутое выпуклое множество F H, где H

гильбертово пространство.

Опорной функцией множества F называется скалярная функция

( ; F ), определяемая условием

где 2 H. Множество F также считается одним из аргументов функции

( ; F ). Приведем несколько примеров нахождения опорных функций.

Пример 3.1 Пусть множество F состоит из единственной точки, т.е.

F = ffg. Тогда очевидно, что

( ; ffg) = hf; i:

Пример 3.2. Вычислим опорную функцию единичного шара с центром в начале координат. Если F = B1(0), то sup в определении опорной

Пример 3.3. Вычислим опорную функцию квадрата F на плоскости

R2, заданного условием

F = fx 2 R2 : jx1j 6 1; jx2j 6 1g:

Если вектор = ( 1; 2) принадлежит первому квадранту на плоскости

R2, т.е. 1 > 0; 2 > 0, то sup в определении опорной функции достигается на векторе f0 = (1; 1). Таким образом,

( ; F ) = hf0; i = 1 + 2:

12

Рассмотрим некоторые свойства опорных функций.

1. Опорная функция ( ; F ) положительно однородна, т.е.

( ; F ) = ( ; F )

для любого элемента 2 H и любого числа > 0. В частности,

(0; F ) = 0.

Доказательство этого свойства непосредственно следует из опреде-

ления опорной функции. Действительно, справедливы равенства

2. Для любых 1; 2 2 H опорная функция удовлетворяет неравенству

( 1 + 2; F ) 6 ( 1; F ) + ( 2; F ):

Доказательство этого свойства также выводится непосредственно из определения опорной функции. Действительно, имеем

3. Опорная функция является выпуклой.

Напомним, что функция f называется выпуклой, если для любых двух точек x1; x2 и любого числа 0 6 6 1 выполняется неравенство

f( x1 + (1 )x2) 6 f(x1) + (1 )f(x2):

13

F + G равняется сумме двух опорных функций ( ; F ) и ( ; G), т.е.

( ; F + G) = ( ; F ) + ( ; G):

Доказательство. По определению суммы двух множеств имеем

F + G = fx = f + g : f 2 F; g 2 Gg:

Теперь воспользуемся определением опорной функции. Имеем

= ( ; F ) + ( ; G):

Пусть теперь A матрица размером n n, а F Rn. Образ AF

множества F при линейном преобразовании A определяется формулой

AF = fx 2 Rn : x = AF; f 2 F g:

Посмотрим, как выражается опорная функция образа множества F при линейном преобразовании.

5. Пусть A матрица размером n n. Тогда

( ; AF ) = (A ; F );

где A матрица, сопряженная с матрицей A.

Доказательство этого свойства непосредственно следует из определения опорной функции и образа множества. Действительно,

14

6. Пусть F 2 Rn, а произвольное число. Тогда

( ; F ) = ( ; F ):

Доказательство непосредственно следует из определения опорной функции.

Следствие.Опорная функция ( ; F ) положительно однородна по аргументу F , т.е.

( ; F ) = ( ; F )

для любого числа > 0

Для доказательства достаточно воспользоваться свойством 1.

7. Пусть G; F H. Если выполняется включение G F , то для любого элемента 2 H справедливо неравенство

( ; G) 6 ( ; F ):

Доказательство непосредственно следует из определения опорной функции. Действительно, имеем

hf; i 6 ( ; F ):

Докажите в качестве упражнения!

Пример 3.4. Вычислим опорную функцию произвольного шара

Br(a) в пространстве Rn. Заметим, что шар Br(a) можно представить в

виде

Br(a) = fag + rB1(0):

15

Опорные функции множества fag и единичного шара B1(0) уже ранее мы вычисляли. Используя свойство 4 и следствие свойства 6, получаем

( ; Br(a); ) = ( ; fag+rS1(0)) = ( ; fag)+r ( ; B1(0)) = ha; i+rk k:

Пример 3.5. Вычислим опорную функцию произвольного прямоугольника G на плоскости R2 со сторонами, параллельными осям координат. Пусть этот прямоугольник задан в виде

G = fx 2 R2 : jx1j 6 x1 6 b1; a2 6 x2 6 b2g:

Получим прямоугольник G из квадрата

F = fx 2 R2 : jx1j 6 1; jx2j 6 1g;

данного в примере 3, при помощи соответствующего сдвига и линейного преобразования (растяжения). Тогда справедливо равенство

Задачи

3.1 Найдите опорную функцию n-мерного куба

F= fx 2 Rn : jxij 6 1; i = 1; : : : ; ng:

3.2Найдите опорную функцию произвольного n-мерного параллелепипеда G с ребрами, параллельными осям координат,

G = fx 2 Rn : ai 6 xi 6 bi; i = 1; : : : ; ng:

16

3.3Найдите опорную функцию множества F , заданного на плоскости формулой

F= fx 2 R2 : jx1 + x2j 6 1; jx1 x2j 6 1g:

3.4Найдите опорную функцию эллипса, заданного на плоскости R2

уравнением

3.6 Найдите опорную функцию множества

3.7Найдите опорную функцию множества F = B2(0; 2) [ B2(0; 2):

3.8Найдите опорную функцию n - мерного эллипсоида

n xi 2

X

F = fx 2 Rn : 6 1g: ai

i=1

3.9 Найдите опорную функцию объединения двух множеств F [ G.

3.10 Восстановите множество F 2 R2 по его опорной функции ( ; F ) =

j 1 2j.

17

§4. Sweeping процессы

Рассмотрим так называемые ”sweeping” процессы, играющие важную роль в динамике, квазистатике, упругопластичности и позволяющие моделировать нелинейности гистерезисного типа. В качестве примера такого процесса рассмотрим большое кольцо, содержащее внутри шарик. В момент времени t = 0 кольцо начинает двигаться. В зависимости от движения кольца шарик либо стоит на месте (пока он не коснулся кольца), либо двигается, оставаясь в кольце. В последнем случае скорость шарика должна быть направлена внутрь кольца, чтобы шарик оставался внутри кольца.

Обозначим через u(t) положение шарика в момент времени t, C(t)

положение кольца в момент времени t. Заметим, что значение u в

момент времени t число (а в общем случае, элемент гильбертова пространства), а значение C в момент времени t множество. В начальный момент времени u(0) 2 C(0). Для всех t 2 [0; T ] должно выполняться u(t) 2 C(t). При этом для скорости u0(t) для почти всех t 2 [0; T ] должно быть u0(t) 2 NC(t)(u(t)), где N конус нормалей к множеству C(t) в

точке u(t).

Заметим, что если u(t) внутренняя точка C(t), то NC(t)(u(t)) = f0g, и следовательно, u0(t) = 0, т.е. шарик не двигается. Иначе скорость будет иметь направление внутрь кольца.

Исследуем вопрос о разрешимости задачи

u0(t) 2 NC(t)(u(t)) при п.в. t 2 [0; T ];

(3)

u(0) = u0 2 C(0):

Как и ранее, через H будем обозначать гильбертово пространство. Функцию u: [0; T ] ! H будем называть решением (3), если

18

1)u(0) = u0;

2)u(t) 2 C(t) для всех t 2 [0; T ];

3)u(t) дифференцируема для почти всех t 2 (0; T );

4)u0(t) 2 NC(t)(u(t)) для почти всех t 2 (0; T ).

Теорема 6. Пусть отображение t 7!C(t) удовлетворяет условию Липшица, т.е. для хаусдорфова расстояния верно неравенство

dH(C(t); C(s)) 6 L jt sj;

t; s 2 [0; T ], где число L > 0.

При этом C(t) H непустое замкнутое выпуклое множе-

ство для всех t 2 [0; T ]. Пусть u0 2 C(0). Тогда существует решение u: [0; T ] ! H задачи (3), которое будет удовлетворять условию Лип-

шица с константой L. В частности, ju0(t)j 6 L для п.в. t 2 (0; T ).

Доказательство. В основе исследования многих свойств ”sweeping”

процессов лежит следующая дискретизационная схема.

Зафиксируем n 2 N и выберем разбиение по времени 0 = tn0 < tn1 <

1

: : : < tnN = T , где (tni+1 tni ) 6 n, 0 6 i 6 N 1. Определим un : [0; T ] ! H

следующим образом. Пусть un0 = u0, uni+1 = proj(uni ; C(tni+1)) 2 C(tni+1),

Найдем подпоследовательность un(t) (для простоты оставим индекс n), которая будет сходиться к решению задачи u(t) (слабая поточечная сходимость). Докажем для этого ограниченность un по норме и вариации,

19

т.е. что kun(t)k 6 M1, Var(un) 6 M2 для всех t 2 [0; T ] и n 2 N. Заметим, что т.к. uni 2 C(tni ), то

Из (5) получаем, что kuni+1k 6 kuni k + L(tni+1 tni ), и по индукции легко доказать, что kuni k 6 ku0k + L tni . Воспользовавшись (4) и (5) получим, что

kun(t)k 6 kuni k + Lkuni+1 uni k 6 ku0k + L tni + L(tni+1 tni ) =

= ku0k + L tni+1 6 ku0k + L T = M1:

Таким образом, можно считать, что un(t) ! u(t) слабо в H для

n!1

всех t 2 [0; T ]. Покажем, что u(t) решение (3). Сначала заметим, что un(0) = u0. Тогда u(0) = u0. Покажем, что функция u(t) удовлетворяет условию Липшица. Тогда u(t) (см. упражнение) будет являться функцией ограниченной вариации, и следовательно для п.в. t 2 [0; T ] существует u0(t). Зафиксируем произвольные t; s 2 [0; T ]. Тогда

j 1

X

kun(t) un(s)k 6 kun(t) un(tnj )k+ kun(tnk+1) un(tnk)k+kun(tnj+1) un(s)k 6

k=i+1

n

X

6 L jt tnj j + L jtnk+1 tnkj + L jtnj+1 sj 6 L jt sj:

k=i+1

слабо

Так как un(t) un(s) ! u(t) u(s), то

n!1

ku(t) u(s)k 6 lim kun(t) un(s)k 6 L jt sj:

n!1

20