Динамика материальной точки (90
..pdf
Дано: m; R = – μV; Vo, = 0;
Определить: x = x(t) – ?
Решение
Рассмотрим движение шара, примем его за материальную точку. Направим
ось Ох по движению точки (рисунок 10), |
начало отсчета совмещаем с начальным |
||
положением точки (точка О). Начальные условия движения имеют вид: |
|
||
при |
to = 0; |
xo = 0; Vo = 0 |
(41) |
Рисунок 10
Изобразим точку в произвольный момент времени и покажем действующие на неё силы: сила тяжести mg; сила сопротивления воздуха R направлена противоположно скорости.
Составим дифференциальное уравнение движения в проекции на ось Ох:
m&x& = mg − R
41
или
|
|
|
|
&& |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
mx = mg − μV |
|||||||||||||||
|
|
|
|
&& |
|
|
|
|
|
|
|
μ |
V |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
x = g − |
|
m |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
&& |
|
|
|
|
dV |
|
|
|
|
|
|
|
μ |
|||
= |
|
|
|
|
= g − |
|
|
V . |
||||||||
x |
|
dt |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
||||
Разделяем переменные |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dV |
|
= dt |
|||||||||
|
|
|
g − |
μ |
V |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
||||
и интегрируем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
dV |
|
|
= ∫dt . |
||||||||||
|
|
μ |
|
|||||||||||||
|
|
g − |
|
|
V |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
m
После интегрирования получим
|
m |
|
μ |
|
|
(42) |
|
− |
|
ln g − |
|
V |
= t +C1 |
||
μ |
m |
||||||
|
|
|
|
|
Постоянную интегрирования С1 находим по начальным условиям движения
(41) из уравнения (42):
|
|
|
|
|
− |
m |
ln g = C . |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
μ |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Тогда уравнение (42) принимает вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
μ |
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|||
− |
|
ln g − |
|
|
|
V |
= t − |
|
ln g |
||||||||||||
μ |
|
m |
μ |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
g − |
μ |
V |
|
|
||||||||||
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
ln |
|
|
|
|
|
|
m |
|
= −t |
|
||||||||
|
|
|
μ |
|
|
|
|
|
g |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
g − |
μ |
V |
|
|
μ |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
ln |
|
|
|
|
|
m |
|
|
= − |
t , |
|
||||||||
|
|
|
|
|
g |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
||||||
откуда получаем
42
|
g − |
μ |
V |
|
|
|
|
μ |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
= e− |
t . |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
g |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Выразим отсюда скорость |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
dx |
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
m |
ge− |
μ |
|||||||
V = |
= |
|
g − |
|
|
t . |
|||||||||||||||
m |
|||||||||||||||||||||
|
|
μ |
|
|
|||||||||||||||||
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
μ |
|
|
|
|
|
||||||
Разделяем переменные и интегрируем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
m |
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
− |
μ |
t |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
∫dx = ∫ |
|
|
|
g |
− |
|
|
|
ge |
|
m |
dt , |
|||||||||
μ |
|
|
μ |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Получим
|
m |
m 2 |
− |
μ |
t |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
||||||
х = |
|
gt + |
|
|
ge m |
+ C |
2 |
(43) |
||
|
|
|||||||||
|
μ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
μ |
|
|
|
|
|
|
||
Постоянную интегрирования С2 находим по начальным условиям движения
(41) из уравнения (43):
m |
2 |
|
|
|
|
m2 |
|
|||
0 = |
|
g + C |
2 |
C |
2 |
= − |
|
|
g |
|
|
|
2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
μ |
|
|||
|
μ |
|
|
|
|
|
|
|
||
Тогда уравнение (43) принимает вид
|
|
|
|
|
|
μ |
|
|||
х = |
m |
gt + |
m2 |
ge |
− |
|
t − |
m2 |
g |
|
m |
||||||||||
μ |
μ 2 |
μ 2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
или
|
m |
|
m |
2 |
|
− |
μ |
t |
|
|
|
х = |
gt − |
|
g 1 |
− e |
m |
– |
искомый закон движения шара. |
||||
μ |
μ 2 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
43
6 Литература, рекомендованная для изучения дисциплины
1 Сборник заданий для курсовых работ по теоретической механике: учебное пособие для студ. втузов /А.А. Яблонский [и др.]; под общ. ред. А.А. Яблонского. - 11-е изд., стер.-М.;Иитеграл-Пресс, 2010.-382 с.
2Тарг, С.М. Краткий курс теоретической механики: учеб. для втузов/С.М.Тарг.-15-е изд., стер.-М.:Высш. шк.,2010.- 416 с.
3Бутенин, Н.В. Курс теоретической механики: учебное пособие для для студ. вузов по техн. спец. В 2 т./ Н.В. Бутенин, Я.Л. Лунц, Д.Р. Меркин. 5-ое изд.,–
испр. СПб.:Лань, 1998. - Т.2 - 729 с.
4 Бать, М.И. Теоретическая механика в примерах и задачах: учеб. пособие для вузов: в 2 т. /М.И. Бать, Г.Ю. Джанелидзе, А.С. Кельзон.-9-е изд., перераб.-
М.:Наука, 1990. - Т.2 - 670 с.
Помимо указанных в списке, могут быть использованы любые учебники и пособия по теоретической механике.
44
Список использованных источников
1 Сборник заданий для курсовых работ по теоретической механике: учебное пособие для студ. втузов /А.А. Яблонский [и др.]; под общ. ред. А.А. Яблонского. - 11-е изд., стер.-М.:Иитеграл-Пресс, 2010.-382 с.
2 Бать, М.И. Теоретическая механика в примерах и задачах: учеб. пособие для вузов: в 2 т. /М.И. Бать, Г.Ю. Джанелидзе, А.С. Кельзон.-9-е изд., перераб.-
М.:Наука, 1990. - Т.1 - 670 с.
3 Сборник коротких задач по теоретической механике: учебное пособие для втузов / О.Э. Кепе [и др]; под ред. О.Э.Кепе. – М.: Высш. шк., 1989. – 368 с.
4 Попов, М.В. Теоретическая механика: Краткий курс: учебник для втузов /
М.В. Попов. – М.: Наука, 1986. – 336 с.
45