Методические указания к решению задач по курсу общей физики. Статистическая физика (96
.pdf
u +η u |
|
u +η u |
|
|
m 3 / 2 |
|
2 |
|
|
mu2 |
||||
N = N ∫ |
F (u)du = N ∫ |
4π |
|
|
|
u |
|
exp |
− |
|
du , (51) |
|||
|
|
|
|
|||||||||||
u −η u |
|
u −η u |
|
|
2πkT |
|
|
|
|
|
2kT |
|||
где N = NA – суммарное число молекул газа. Введем новую пере- |
||||||||||||||
менную x = |
|
u |
. Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1+η |
32 |
|
|
4x |
2 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
N = N |
x2 exp − |
|
dx . |
|
(52) |
||||||
|
|
|
2 |
|
π |
|
|
|||||||
|
|
|
1−η∫ |
π |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Вычисление интеграла можно существенно упростить, если учесть, что η= 0,1% =0,001 <<1. В этом случае подынтегральное
выражение можно разложить в ряд Тейлора в окрестности точки x =1, ограничившись первыми двумя членами разложения:
|
|
|
|
1+η |
32 |
−4 / π |
|
|
8 |
|
−4 / π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
N = N ∫ |
|
|
|
e |
|
+ |
2 − |
|
e |
|
|
( x −1) dx |
= |
|
|
|
|||||||||||||
|
π |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1−η |
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
32N |
−4 / π |
8 |
|
|
|
|
4 |
|
2 |
|
|
1+η |
|
|
64ηN |
|
−4 / π |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
= |
|
|
|
e |
|
|
|
|
−1 x + 1 |
− |
|
|
x |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
e |
|
. |
|||||
|
π |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
2 |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
1−η |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Учитывая числовые данные задачи, |
получаем |
|
N =1,09 1021 . |
|||||||||||||||||||||||||||
Заметим, что доля молекул, скорости которых лежат в интересующем нас интервале, оказывается очень небольшой:
NN = 64π2ηe−4 / π =1,82 10−3 = 0,182 % .
12. В атмосферном воздухе взвешена мелкодисперсная пыль с массой пылинок m =10−21 кг. Считая, что такую пыль можно рассматривать как идеальный газ, определите, на какой высоте ее концентрация уменьшается в η= 2 раза. Температура воздуха
T =300 К.
Если рассматривать пыль как идеальный газ, находящийся в поле тяготения Земли, то ее концентрация определена распределением Больцмана (38), где
EΠ (x, y, z) = EΠ (z) = mgz
21
– потенциальная энергия пылинки |
в поле тяготения Земли, |
|||
g = 9,81 м/с2 – ускорение свободного падения. Отсюда |
||||
|
n0 |
mgz |
||
η= |
|
= exp |
|
. |
n( z) |
|
|||
|
|
kT |
||
Окончательно, учитывая числовые данные задачи, получаем z = mgkT ln η= 0,29 м.
13. Оцените среднее значение вертикальной координаты молекул атмосферного воздуха в поле тяготения Земли. Считайте ускорение свободного падения g = 9,81 м/с2 и температуру воздуха
T =300 К не изменяющимися по высоте. Молярную массу воздуха считайте равной μ = 29 10−3 кг/моль.
В соответствии с (38) число dN молекул, находящихся в слое воздуха высоты dz с поперечным сечением S, равно
dN = n( x, y, z)Sdz = n exp − |
EΠ ( x, y, z) |
Sdz . |
(53) |
||||||
|
|
||||||||
|
0 |
|
|
kT |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|||
Учитывая, что потенциальная энергия молекулы в поле тяготе- |
|||||||||
ния Земли E |
(x, y, z) = E (z) = mgz , где |
m = |
μ |
– масса молеку- |
|||||
|
|||||||||
Π |
Π |
|
|
|
|
NA |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
лы, преобразуем (53) к виду |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dN (z) = n0 exp |
− |
mgz |
Sdz . |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
kT |
|
|
|
|||
Общее число молекул в цилиндрическом вертикальном столбе воздуха сечения S
+∞ |
n0 exp |
|
mgz |
|
|
n0 kTS |
|
n0 RTS |
|
|
N = ∫ |
− |
Sdz = |
= |
; |
||||||
|
mg |
μg |
||||||||
0 |
|
|
kT |
|
|
|
||||
среднее значение вертикальной координаты молекулы
22
|
+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ zdN (z) |
|
1 |
+∞ |
|
|
mgz |
|
kT |
|
RT |
|
|
|
|
0 |
|
∫ |
|
|
|
|
|
||||||
z = |
|
= |
|
zn0 exp |
− |
|
|
Sdz = |
|
= |
|
. |
(54) |
|
N |
N |
|
mg |
μg |
||||||||||
|
|
0 |
|
|
kT |
|
|
|
|
|||||
Учитывая числовые данные задачи, получаем 
z
=8,77 км.
Основная масса воздуха оказывается сосредоточенной в пределах относительно тонкого слоя вблизи поверхности Земли, так что наше допущение о постоянстве ускорения свободного падения оказывается вполне правомочным.
14. Моль идеального одноатомного газа находится в поле тяготения Земли в открытом бесконечно высоком сосуде, площадь поперечного сечения которого равна S. Какова молярная теплоемкость газа в этих условиях?
В соответствии с первым началом термодинамики сообщенная газу теплота δQ расходуется на увеличение его внутренней энер-
гии dU и совершение газом работы против внешних сил δA :
δQ = dU +δA , |
(55) |
где
dU = C νdT = |
3 |
νRdT . |
(56) |
|
|||
V |
2 |
|
|
|
|
|
|
Работа, совершенная газом против внешних сил, связана с из- |
|||
менением его потенциальной энергии в поле тяготения Земли: |
|
||
δA = Mgd z , |
|
(57) |
|
где M = μν – масса газа; 
z
– среднее значение вертикальной
координаты молекулы газа, определенное выражением (54) (см. решение примера 13). Учитывая (54), (56) и (57), из (55) получаем
δQ = CV νdT + νRdT = (CV + R) νdT ,
откуда по определению теплоемкости
C = νδdTQ = CV + R = CP .
23
Задачи для самостоятельного решения
15. В сосуде находится газообразный гелий. Известно, что скоростям молекул u1 = 200 м/с и u2 =1000 м/с соответствуют одина-
ковые значения функции распределения F (u) . Какова наиболее вероятная скорость молекул uвер ? Ответ:
uвер = |
u2 |
−u2 |
ln |
u |
2 |
=879 м/с. |
2 |
1 |
|
||||
|
2 |
u1 |
||||
|
|
|
|
|||
16.При какой температуре газовой смеси, состоящей из гелия
иводорода, наиболее вероятные скорости молекул будут отличаться на u = 500 м/с? Ответ:
|
|
T = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
μ1μ2 ( u)2 |
|
=350 К. |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
2(μ1 +μ2 −2 |
μ1μ2 )R |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
17. Идеальный газ с молярной массой μ имеет температуру T. |
||||||||||||||||||||||||||||
Определите ux , |
|
|
ux |
|
|
, дисперсию Dux |
|
проекции скорости ux , а |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
также отношение |
|
|
|
Du |
|
|
x |
. Ответ: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
ux |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
u |
|
= 0 ; |
|
|
u |
|
|
|
|
= |
|
2RT |
; |
D = |
|
RT |
; |
|
Dux |
= |
π |
. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
πμ |
|
vx |
μ |
|
|
ux |
|
|
2 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
18. Идеальный газ с молярной массой μ имеет температуру T.
Определите среднее значение обратной скорости 
u1
. Найдите отношение 1/1/ uu
. Ответ:
1 |
= |
2μ |
, |
|
1/ u |
= |
4 |
. |
u |
πRT |
1/ u |
|
|||||
|
|
|
π |
|||||
24
19. В сосуде находится идеальный газ, имеющий температуру T и давление P. В стенке сосуда имеется небольшое отверстие площадью S. Какое число молекул покидает сосуд в единицу времени? Молярная масса газа равна μ. Ответ:
dN |
= |
1 |
nS |
|
ux |
|
= |
PSNA |
. |
|
|
||||||||
dt |
2 |
|
|
2πμRT |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
20. Внутри равномерно вращающейся центрифуги с радиусом r = 0,5 м находится газообразный гелий. Определите относитель-
ную разность концентраций газа у стенки центрифуги и на ее оси, если центрифуга вращается с частотой f = 50 с-1, а температура
системы T =300 К. Влиянием поля тяготения Земли на пространственное распределение газа пренебречь. Ответ:
n = exp 4π2μf 2 r2 −1 = 2,0 10−2 = 2,0% . n0 2RT
21. Определите относительное уменьшение концентрации углекислого газа на высоте h =100 м над поверхностью Земли при температуре T =300 К. Ответ:
n |
=1 −exp |
− |
μgh |
≈ |
μgh |
=1,73 % . |
n |
|
|
RT |
|
RT |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
22. Один моль идеального газа находится в закрытом сосуде, представляющем собой вертикальную трубку сечением S и длиной L. Исследуйте зависимость концентрации молекул от вертикальной координаты z. Молярная масса газа равна μ. Ответ:
n(z) = |
|
μgNA |
|
|||
|
|
μgL |
|
|||
|
||||||
|
RTS exp |
|
|
−1 |
||
|
|
|||||
|
|
|
RT |
|
||
μg (L − z) exp .
RT
25
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
|
|
|
|
ПРИЛОЖЕНИЕ |
|||
|
Таблица производных |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||
Функция |
Производная |
Функция |
Производная |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
xn |
nxn−1 |
ln x |
|
1 |
|
|
|
|
x |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
||
exp x |
exp x |
a |
x |
x |
ln a |
|
|
|
|
|
a |
|
|||
Определенные интегралы:
+∞
∫ xne− px dx = n! p−(n+1) , если Re p > 0 ;
0
|
|
|
|
1, |
|
n = 0; |
||
|
|
|
|
|
π |
|
||
+∞ |
|
|
|
|
|
|||
∫ |
n |
e |
−x |
|
|
|
|
, n =1/ 2; |
|
|
|
||||||
x |
|
dx = 2 |
|
|
||||
01, n =1;
2, n = 2;
|
|
|
|
|
|
π |
, |
n = |
0; |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
2 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
1 |
, n =1; |
|
|||
+∞ |
|
|
|
|
|
|
|||
n |
e |
−x2 |
2 |
|
|||||
∫ |
x |
|
dx = |
|
π |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
, |
n = |
2; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
4 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, n = 3; |
|
|||
|
|
|
|
|
2 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+∞
∫ xn exp(−px2 − qx)dx =(−1)n
−∞
π ∂n |
q2 |
, если Re p >0. |
|||||
|
|
|
|
exp |
|
|
|
p ∂q |
n |
|
|||||
|
|
4 p |
|
||||
26
СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1.Глаголев К.В., Морозов А.Н. Физическая термодинамика: Учеб. пособие. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2004. 272 с.
2.Иродов И.Е. Задачи по общей физике: Учеб. пособие. М.: Изд-во БИНОМ, 1998. 448 с.
3.Иродов И.Е. Задачи по общей физике: Учеб. пособие. М.:
Высш. шк., 1991. 175 с.
27
|
ОГЛАВЛЕНИЕ |
|
1. |
Основные положения статистической физики ............................ |
3 |
2. |
Основное уравнение кинетической теории газов ......................... |
5 |
3. |
Распределения Максвелла и Больцмана .................................... |
14 |
Приложение ...................................................................................... |
26 |
|
Список рекомендуемой литературы ............................................... |
27 |
|
28