Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Владимирский государственный университет им. Столетовых

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Методические указания к решению задач по курсу общей физики. Статистическая физика (96

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.11.2022

Размер:

263.71 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 32 3 > Следующая >>>

3. В некотором политропическом процессе теплоемкость некоторого идеального газа с жесткими двухатомными молекулами C = 2R . Как изменится в этом процессе частота f ударов молекул о стенку, если его объем увеличился в η= 2 раза?

Столкновения молекул со стенкой сопровождаются передачей импульса, в результате которой стенка испытывает силу давления со стороны газа. Эта сила пропорциональна частоте f ударов мо-

лекул о стенку и среднему изменению импульса молекуы p

при ударах. Среднее изменение импульса молекулы

пропорционально среднему значению модуля импульса

mu= mu , где m – масса молекулы. Тогда давление P f mu . Таким образом, получаем

f2 mu2

откуда

(19)

Как

следует из примера

средняя скорость

u uкв =

= u2

T . Тогда (19) можно привести к виду

(20)

Уравнение политропического процесса в термодинамических координатах P и V будет выглядеть так:

PV n = const,	(21)
а в термодинамических координатах V и T – так:
TV n−1 = const,	(22)

где показатель политропы n связан с теплоемкостью идеального газа C выражением

n =	C −CP	.	(23)

	C −C
	V

В соответствии с (5) и (6) молярные теплоемкости идеального газа с двухатомными жесткими молекулами при постоянном объе-

ме и постоянном давлении равны: CV = 2i R , CP = i +2 2 R , где i = 5 .

Тогда из (23) получим

n =

2C −(i + 2) R

= 3 .

(24)

2C −iR

Из (21) и (22) следует

PV n = PV n , или

= η−n ;

(25)

1 1

TV n−1

=T V n−1 , или

n−1

= ηn−1 .

(26)

1 1

2 2

С учетом (25) и (26) выражение (20) приводит к следующему результату:

f2	=	P2		T1	= η−	n+1	=	1	.
						2
f		P		T				4

1		1	2

Задачи для самостоятельного решения

4. Определите отношение средних квадратичных скоростей поступательного движения молекул азота и кислорода в атмосфер-

ном воздухе. Молярная масса азота μ1 = 28 10−3 кг/моль, молярная


масса кислорода μ2 = 32 10−3			кг/моль. Ответ:
	uкв1		=	μ2	=1,07 .

	u	кв2		μ
				1
5. Определите молярную массу и число степеней свободы моле-
кул идеального газа, если				его	удельная теплоемкость cV =

= 742 Дж/(кг К) , а показатель адиабаты γ =1,4. Ответ:

i =	2	= 5 ; μ =	iR	= 28 10−3 кг/моль.
i =	γ −1	= 5 ; μ =	2c	= 28 10−3 кг/моль.
	γ −1		2c
			V
6. Определите показатель адиабаты γ для газовой смеси, сос-
тоящей из ν1 =1 моль гелия и ν2				= 2 моль кислорода. Считается,

что двухатомные молекулы кислорода являются абсолютно жест-

кими. Ответ:

γ =	(i1 +	2) ν1		+(i2		+ 2) ν2	=	19	≈1, 46 .
		i	ν +i		ν	2		13

		1	1	2
7. Азот массой M =14				г находится				в сосуде под тяжелым
поршнем при температуре T =300 К. Какое количество теплоты
Q следует сообщить азоту,					чтобы средняя квадратичная ско-

рость движения его молекул возросла на η=10 % ? Молярная мас-

са азота μ = 2810−3	кг/моль. Трение между поршнем и стенками
сосуда отсутствует. Ответ:
	i		M	2
Q =		+1		RT (2η+ η ) = 916	Дж.
Q =	2	+1	μ	RT (2η+ η ) = 916	Дж.
	2		μ

8. Как изменится частота ударов о стенку молекул метана, если его объем адиабатически уменьшить в η=10 раз? Молекулы мета-

на считать жесткими. Ответ:

f2	= η	γ+1	=107 / 6 ≈14,7 .
		2
f

1

3. РАСПРЕДЕЛЕНИЯ МАКСВЕЛЛА И БОЛЬЦМАНА

Из-за невозможности описания индивидуального поведения частиц в макроскопических системах в статистической физике приходится использовать аппарат теории вероятностей.

Если известна вероятность dP(a) того, что значение физической величины a, характеризующее отдельную молекулу, находится в интервале (a; a + da) , то число молекул dN с такими значениями величины a определяется выражением

dN = NdP(a) = Nf (a) da ,			(27)
где функция f (a) имеет смысл плотности вероятности:
f (a) =	dP(a)	.	(28)

	da

Ее также называют функцией распределения вероятностей по величине a, или просто функцией распределения.

Вероятность того, что значение величины a оказывается лежащим в интервале от a1 до a2 , равна

a
P = ∫2	f (a)da .	(29)
a1

Если интегрирование в (29) осуществить по всей области возможных значений величины a, то будет получена вероятность достоверного события

+∞
∫ f (a)da =1.	(30)

−∞

Иными словами, функция распределения нормирована на единицу. Зная функцию распределения f (a) , можно вычислить среднее

значение любой величины Φ, зависящей от a:

+∞
Φ = ∫ Φ(a) f (a) da .	(31)

−∞

Интегрирование в (31) осуществляется по всей области определения величины a.

Функцию распределения молекул газа по скоростям называют распределением Максвелла. В частности, распределение молекул газа по значениям проекции скорости ux имеет вид

			m 1/ 2			mux2
		f (ux ) =		exp	−		,	(32)
		f (ux ) =		exp	−	2kT	,	(32)
			2πkT			2kT
где m =	μ	– масса молекулы.
где m =		– масса молекулы.
	NA

Функция распределения молекул по скоростям (32) определяет, какое число dn(ux ) молекул газа из общего числа n его молекул в

единице объема имеет при данной температуре проекции скорости на ось 0x , заключенные в интервале от ux до ux + dux :

dn(ux ) = nf (ux )dux .

(33)

График этой функции приведен на рис. 1. Площадь заштрихованного участка соответствует вероятности того, что молекула обладает проекцией скорости, значение которой лежит в интервале от u1x до u2 x .

Рис. 1. Распределение Максвелла f (νx )

На практике во многих интересных случаях вместо функции распределения (32) бывает удобнее использовать функцию распределения по модулю скорости

F (u) = 4πu	2	m 3 / 2		−	mu2
			exp			.	(34)

		2πkT			2kT

График этой функции приведен на рис. 2.

Рис. 2. Распределение Максвелла по абсолютным значениям скоростей

Функция распределения молекул по скоростям (34) определяет, какое число dn(u) молекул газа из общего числа n его молекул в

единице объема имеет при данной температуре скорости, заключенные в интервале от u до u + du :

dn(u) = nF (u) du.

(35)

Максимум F (u) соответствует наиболее вероятной скорости мо-

лекул uвер .

Используя (31) и (34), можно определить среднюю скорость

молекулы

среднюю

квадратичную

скорость

молекулы

uкв = u2

+∞

8kT

8RT

= ∫ uF(u)du =

;

(36)

πμ

πm

+∞

1/ 2

3kT

3RT

uкв =

= ∫ u2 F(u)du

(37)

Функция распределения молекул по скоростям была получена Дж.К. Максвеллом для равновесного состояния идеального газа. В дальнейшем в работах Дж.У. Гиббса было показано, что выражения (32) и (34) сохраняют справедливость не только для идеального газа, но и для многих других макроскопических систем.

Концентрация молекул n в общем случае оказывается функцией координат и времени: n = n( x, y, z,t ). Концентрация идеального газа, находящегося в равновесном состоянии во внешнем силовом поле, была исследована Л. Больцманом. Зависимость n( x, y, z) в

этом случае называют распределением Больцмана. Оно может быть записано в виде

			E	Π (	x, y, z	)
n( x, y, z) = n0 exp	−			Π (		)		,	(38)
n( x, y, z) = n0 exp	−				kT			,	(38)
					kT
где n0 – концентрация молекул		в		начале			координат;		EΠ =

= EΠ ( x, y, z) – потенциальная энергия взаимодействия молекулы с внешним полем. Начало координат (или нулевое значение потенциальной энергии) выбирается так, что EΠ ( x, y, z) x=y=z=0 = 0 .

Состояние молекулы, рассматриваемой как классическая точечная частица, в шестимерном фазовом пространстве определяется пространственными координатами x, y, z и проекциями скорости ux , uy , uz . Пространственные координаты и проекции

скорости для идеального газа в отсутствие сил, зависящих от скорости, можно считать статистически независимыми величинами. Число частиц dn , имеющих проекции скорости ux , uy , uz , лежа-

щие в интервалах [ux ;ux + dux ] , uy ;uy + duy , [uz ;uz + duz ] соответственно, в единице объема равно:

		dn = n( x, y, z) f (ux ) f (uy ) f (uz ) .					(39)
Учитывая (32) и (38), можно переписать (39) в виде
	m 3/ 2				EΚ (ux ,uy ,uz ) + EΠ ( x, y, z)
dn = n0			exp	−		,	(40)
					kT
	2πkT

где EΚ (ux ,uy ,uz ) = 12 m(ux2 +uy2 +uz2 ) – кинетическая энергия посту-

пательного движения молекулы.

Выражение (40) описывает распределение, называемое распределением Максвелла – Больцмана.

Если кинетическая энергия частицы зависит только от ее скорости u , а потенциальная – только от радиус-вектора r , то функция распределения в общем случае имеет вид

f (r ,u ) =

−

Κ (

)

+ E

Π (

)

(41)

exp

Здесь Θ – постоянная, определяемая условием нормировки (30),

		EΚ (u ) + EΠ (r )
Θ = ∫∫ exp	−
Θ = ∫∫ exp	−	kT
V Vv		kT

dVdVv , (42)

где V – объем, занимаемый системой в координатном пространстве, Vv – объем, занимаемый системой в пространстве скоростей.

Примеры решения задач

9. Определите наиболее вероятное значение скорости поступательного движения молекул азота при температуре t =17 °C . Счи-

тайте азот идеальным газом.

Распределение молекул идеального газа по скоростям в равновесном состоянии описывается функцией (34), т. е.

		F (u) = 4πu	2	m 3 / 2			mu2
					exp −			,
					exp −			,
				2πkT			2kT
где m =	μ	– масса молекулы.
где m =		– масса молекулы.
	NA
Наиболее вероятное значение скорости поступательного движе-
ния молекул соответствует максимуму						F(u) . Необходимым усло-

вием экстремума гладкой непрерывной функции во внутренних точках ее области определения является условие

				dF(u)			= 0 .
							= 0 .
					du
Дифференцируя F(u) , получаем
	dF (u)		m 3/ 2						mu2
		=8π				u exp		−		1	−
	du	=8π				u exp		−		1	−
	du		2πkT						2kT

mu2

. (43) 2kT

Максимум F(u) соответствует наиболее вероятной скорости молекул

uвер =	2kT	=	2RT	.	(44)
	m
			μ

Учитывая числовые данные задачи, находим uвер = 422 м/с.

10. Дисперсией DA случайной величины A называют среднее значение квадрата отклонения этой величины от ее среднего значения A :

DA = ( A − A )2 .

(45)

Квадратный корень из дисперсии определяет «разброс» значений случайной величины относительно ее среднего значения. Найдите дисперсию модуля скорости поступательного движения молекул идеального газа Du , считая, что распределение молекул по

скоростям описывается распределением Максвелла (34). Каково

отношение