Оценочный расчет величины пьезоэффекта
Оценим порядок величины пьезоэффекта. Вырежем пластину из кварца, поперек оси Х, и подвергнем одностороннему растяжению вдоль этой оси.
Пусть в этом случае механическое напряжение , тогда
Воспользуемся представлением вектора электрического смещения в виде:
.
Вектор поляризованности можно записать так:
,
где: - поляризованность, обусловленная появлением электрического поля;
- поляризованность, обусловленная механическим напряжением (пьезоэффект).
Пусть диэлектрическая проницаемость (в целом тензорная величина) будет изотропной тогда
Из уравнения Пуассона , где- свободный объемный заряд.
В диэлектрике =0, тогда, а это значит,
тогда для нашего случая .
Отсюда
Для кварца =4,5 , тогда
Пусть толщина пластинки h=0,5cм, тогда разность потенциалов на гранях кристалла
Оценим величину деформации кварца при обратном пьезоэффекте.
Кристалл меняет форму при приложении к нему электрического поля
где: - компоненты тензора относительной деформации;
- компоненты вектора напряженности электрического вектора;
- пьезомодули.
Порядок величин при
h=0,5cм
Обратный пьезоэлектрический эффект не следует смешивать с явлением электрострикции, т. е. с деформацией диэлектрика под действием электрического поля. При электрострикции между деформацией и полем существует квадратичная зависимость, а при пьезоэффекте - линейная. Кроме того, электрострикция возникает у диэлектрика любой структуры и происходит даже в жидкостях и газах, в то время, как пьезоэлектрический эффект наблюдается только в твёрдых диэлектриках, главным образом, кристаллических.
ПРИЛОЖЕНИЕ 2
Статистическая обработка экспериментальных данных
Как правило, эксперимент проводится для того, чтобы подтвердить или отвергнуть какую-либо теоретическую зависимость между опытными величинами. Если характер функциональной зависимости подтверждается опытом, возникает необходимость подобрать такие коэффициенты в уравнении этой связи, которые в наилучшей степени соответствуют опытным данным. Эти задачи решаются стандартными методами корреляционного и регрессионного анализа*. Здесь же кратко рассмотрим процедуру обработки данных и приведем основные термины и формулы.
Пусть между двумя опытными величинами х иутеоретически ожидается линейная зависимость вида:
,
называемая уравнением линейной регрессии. Коэффициенты А0иА1 называют коэффициентами регрессии. Для проверки линейной связи междухиупо опытным данным вычисляют коэффициент корреляции
и связанный с ним параметр
.
Здесь n - число экспериментальных точек.и- результатыi- го измерения (координатыi -й экспериментальной точки на графике),и- средние значения координат, определяемые формулами
;
Значения rлежат в пределах – 1< r<1 . Большим значениям |r | соответствует более строгая линейность, при |r| = 1 зависимость абсолютно линейна, приr= 0 линейная связь отсутствует. Приr> 0 уувеличивается с ростомх, приr< 0 - уменьшается.
С помощью параметра Топределяют вероятность соблюдения линейной зависимости. ЕслиТ>tP,v- коэффициента Стьюдента для доверительной вероятностиРи числа степеней свободы, то зависимость имеет место с вероятностью большей или равнойР.
Число экспериментальных точек nдолжно быть не меньше 3, иначе вопрос о линейности теряет смысл. Регрессионная зависимость признается существующей, еслиР ≈ 1 (обычно, еслиР> 0,9...0,999).
Для проведения наилучшей прямой через экспериментальные точки вычисляют коэффициенты регрессии
;.
Эта прямая соответствует уравнению линейной регрессии. Она проходит через точку с координатами ,и характеризуется тем, что сумма квадратов отклонений экспериментальных точек от этой прямой минимальна.
Все расчеты могут проводиться в лаборатории по стандартной программе ЭВМ. В ЭВМ вводят количество экспериментальных точек nи их координатыи.
_______________________________________________________________________________
* Еркович С.П. Применение регрессионного и корреляционного анализа для исследования зависимостей в физическом практикуме. – М.: Изд-во МГТУ, 1994. - 13 с.
ПРИЛОЖЕНИЕ 3
Примеры практического применения пьезоэффекта
А) Прямой пьезоэффект: - датчики давления.
Пьезокерамические датчики давления преобразуют механическую силу или движение в пропорциональный электрический сигнал, то есть, основаны на прямом пьезоэффекте.
В условиях активного внедрения компьютерной техники эти датчики являются незаменимыми устройствами, позволяющими согласовывать механические системы с электронными системами контроля и управления.
Выделяются два основных типа пьезокерамических датчиков: осевые (механическая сила действует вдоль оси поляризации, мода ij = 33) и гибкие (сила действует перпендикулярно оси поляризации (мода ij = 31)).
В осевых датчиках используют пьезоэлементы различных форм: диски, кольца, цилиндры и пластины. В качестве примеров использования таких датчиков можно привести датчики ускорения (акселерометры), датчики давления, датчики детонации, датчики разрушения, пьезомикрофоны и т. п.
Б) Обратный пьезоэффект: - преобразователи электрических сигналов в механическое перемещение
- УЗ излучатель
- пьезодинамик
- дефектоскоп
Простейший датчик давления.
1 – металлизированная поверхность
2 – пьезокристалл.
Пьезоэффект: , гдеd– пьезомодуль,F– внешняя сила.
Из схемы датчика видно, что это плоский конденсатор, тогда , где,
U– разность потенциалов на гранях кристалла.
Пусть справедлив закон Гуде для упругой деформации кристалла ,
где Е – модуль Юнга кристалла, откуда .
Имеем соотношения:
.
С другой стороны из закона Гука
К представляет собой коэффициент чувствительности
В реальном датчике волна сжатия будет распространяться в течение времени ,
где а – скорость звука в пьезокристалле. Тогда - временное разрешение датчиком импульсного воздействия.
При будет наблюдаться искажение показаний датчика отраженной волной давления. Необходимо акустическую волну отвести от пьезокристалла и погасить(рассеять).
Первый способ.
Использовать конический хвостовик 2 , из материала, имеющего близкий импеданс к импедансупьезокристалла 1.
Импеданс , где- плотность вещества, т.е., тогда на границе раздела сред будет наблюдаться минимально отраженная акустическая волна. В хвостовике наблюдается многократные отражения, что увеличиваетвремя работы датчика.
Второй способ.
Использование гибкого хвостовика (требования к хвостовику: ) из большого количества проволочек, что сильно гасит и рассеивает акустическую волну.
Метод повышения чувствительности датчика:
Первый метод– использование многослойных пьезоэлементов. Это приводит к повышению габаритов конструкции.
Второй метод.
Уменьшение внутреннего выходного сопротивления путем параллельного соединения пьезокристаллов и удобства конструкции.
Датчик импульсной силы
Датчик постоянной силы
1 – генератор переменного тока
2 – индикатор Uсилы
3 – пьезокристалл
4 – упоры
Акселерометр (виброметр)
1 – инертный элемент
2 – пьезокристалл
3 – опора
4 – металлизированное покрытие
Пьезомикрофон
1 – пьезокристалл
2 – обойма
3 – акустическая волна