lektsia_2_kurs_ITF
.pdfx |
|
Myz |
, y |
Mxz |
, z |
|
|
Mxy |
, |
|
|
|
|
|
|
||||||
c |
|
m |
|
c |
m |
c |
|
m |
||
где m (x, y,z)dv, |
Myz |
x (x, y,z)dv , |
|
|
Mxz y (x, y,z)dv , |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Mxy z (x, y,z)dv.
Отсюда в случае однородного тела, т.е. при (x,y,z) |
1, получим |
||||
xc 1v |
xdv, |
yc 1v |
ydv, |
zc 1v |
zdv. |
|
|
|
|
|
|
Пример. Найти центр тяжести однородного полушара
:x2 y2 z2 R2, z 0.
Решение. В силу симметрии заключаем, что xc 0, yc 0. Далее
имеем: V 2 R3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 R |
|
|
2 |
|
|
|
R4 |
|
|||
Mxy zdv |
|
|
|
|
rcos r |
|
|
... |
|
. |
||||
|
|
|
sin drd d |
4 |
||||||||||
|
|
0 |
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R4 |
|
2 R3 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Следовательно, zc |
|
|
: |
|
|
|
|
R. |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
3 |
|
8 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Перейдем к |
|
вычислению моментов |
инерции |
тела относительно |
координатных осей. Так как квадраты расстояний от точки M(x,y,z) до осей
Ox, Oy, Oz соответственно равны y2 z2, x2 z2, |
x2 y2, то получим |
следующие формулы: |
|
x (y2 z2) (x,y,z)dv,
y (x2 z2) (x,y,z)dv,
z (x2 y2) (x,y,z)dv.
Аналогично плоскому случаю интегралы
41
xy xy (x,y,z)dv,
yz yz (x,y,z)dv,
zx zx (x,y,z)dv,
называются центробежными моментами инерции. Для полярного момента инерции формула имеет вид:
0 (x2 y2 z2) (x,y,z)dv
Следовательно 2 0 x y z .
Пример: Для однородного шара x2 y2 z2 R2 найти x .
Решение.
x (y2 z2)dv r2 sin2 sin2 r2 cos2 r2 sin drd d ...
415R5 .
КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. ЗАДАЧИ, ПРИВОДЯЩИЕ К КРИВОЛИНЕЙНЫМ ИНТЕГРАЛАМ
Задача о массе материальной линии. Пусть вдоль некоторой гладкой кривой AB распределена масса с переменной линейной плотностью(M), где M - любая точка кривой AB ( (M) - предел средней плотности распределения вещества на бесконечно малой дуге, содержащей точку M ). Требуется определить массу m дуги AB.
Для решения задачи, раздробим дугу AB на n произвольных частей, предполагая, что на каждой из них плотность постоянна и равна (Nk ) для k -ой части, где Nk - одна из точек этой части, безразлично какая. Тогда масса k -ой части приближенно равна mk (Nk ) lk , (k 1,2,...,n), а масса всей
дуги приближенно равна m n (Nk ) lk , где lk - длина k -ой части. В
k 1
42
пределе при 0 ( max k ) получим точное значение массы всей дуги
AB, т.е. m lim n (Nk ) lk .
0 k 1
Задача, о площади цилиндрической поверхности. Пусть в плоскости xOy дана некоторая гладкая кривая AB и на этой кривой определена непрерывная функция
|
f (M) f (x,y) 0. |
Непрерывность |
f (M) вдоль кривой AB означает, что в любой точке M0 |
этой кривой |
lim f (M) f (M0), где M также точка этой кривой. Тогда |
M M0 |
точки пространства (x,y, f (x,y)) в совокупности составят некоторую кривую, лежащую на цилиндрический поверхности, для которой кривая AB - направляющая, а образующая перпендикулярна к плоскости xOy. Требуется определить площадь части поверхности, которая ограничена сверху кривой z f (x,y), снизу кривой AB, а с боков прямыми AA и BB .
Произвольным образом |
разобьем дугу |
AB на |
n |
частей точками |
|
A M0,M1,M2,...,Mn B. Из |
каждой |
точки дробления |
Mk (k 1,2,...,n 1) |
||
проведем перпендикуляры к плоскости |
xOy высотой |
f (Mk ). В результате |
|||
вся цилиндрическая поверхность разобьется на n полосок. |
|
||||
Каждую такую полоску заменим прямоугольником с основанием lk , |
|||||
где lk - длина дуги Mk 1Mk (k 1,2,...,n), и |
высотой, |
равной значению |
43
функции f (Nk ), где Nk - одна из точек дуги Mk 1Mk , безразлично какая. На рисунке в целях его упрощения в качестве такой точки взята точка Mk 1. Тогда площадь k -й полоски будет приближенно равна:
Sk f (Nk ) lk ,
а площадь всей поверхности AA'BB': S n f (Nk ) lk .
k 1
При 0 в пределе получим точное значение искомой площади:
|
|
|
|
|
|
|
S lim |
n f (Nk ) lk . |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
0 k 1 |
|
|
|
|
|||
|
|
Задача о работе силы. Пусть материальная точка под действием силы |
||||||||||||
|
|
перемещается вдоль непрерывной плоской кривой |
AB в направлении от |
|||||||||||
F |
||||||||||||||
A к B. Сила |
|
предполагается переменной, |
зависящей от положения точки |
|||||||||||
F |
||||||||||||||
на кривой |
AB. |
Вычислим работу силы |
|
, |
затраченную на перемещение |
|||||||||
F |
||||||||||||||
точки из |
A в |
точку B. |
С этой |
целью разобьем |
произвольно точками |
|||||||||
A M0,M1,M2,...,Mn B |
дугу |
AB |
на |
n |
частичных |
дуг |
||||||||
M0M1, M1M2,...,Mn 1Mn , с длинами |
l1, l2,..., ln . |
|
|
|
Наибольшую из длин lk (k 1,2,...,n) |
обозначим . Ввиду малости |
|||||
lk можно приближенно принять, что: |
|
|||||
а) вектор силы |
|
|
сохраняет на дуге |
Mk 1Mk постоянное значение, |
||
F |
||||||
равное |
|
(Nk ), где Nk |
- одна из точек элемента Mk 1Mk , безразлично какая в |
|||
F |
целях его упрощения в качестве такой точки взята точка Mk 1;
44
б) дуга Mk 1Mk может быть заменена хордой Mk 1Mk , стягивающей
|
|
|
|
|
|
|
_________ |
|
|
концы этого элемента. Вектор Mk 1Mk |
равен приращению радиус-вектора |
||||||||
r |
(Mk ): |
rk |
r |
(Mk ) |
r |
(Mk 1) |
( |
rk (xk xk 1,yk yk 1)). Тогда на элементе |
дуги Mk 1Mk работа сила F приближенно равна F(Nk ) rk .
Пусть вектор F(M) имеем проекции P(M), Q(M) на
соответствующие оси. Тогда работа силы |
|
|
вдоль всей дуги AB |
будет |
|||||
F |
|||||||||
приближенно равна n |
|
(Nk ) |
rk или |
|
|
|
|
||
F |
|
|
|
|
|||||
k 1 |
|
|
|
|
|||||
|
|
n P(Nk ) xk Q(Nk ) yk , |
(1) |
||||||
|
|
k 1 |
|
|
|
|
|||
где xk xk xk 1, yk yk yk 1. |
|
|
|
|
|||||
Перейдя в сумме (1) к пределу |
|
при 0, получим |
точное |
||||||
выражение работы силы |
|
вдоль всей дуги AB: |
|
||||||
F |
|
||||||||
|
lim n P Nk xk Q Nk yk . |
(2) |
|||||||
|
0 k 1 |
|
|
|
|
ОПРЕДЕЛЕНИЕ КРИВОЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛОВ И ИХ СВОЙСТВА
Из рассмотренных выше двух задач видно, что хотя они имеют различный смысл, но математический аппарат для их решения один и тот же. В этих двух задачах получаем выражение одного и того же вида:
|
|
lim n f (Nk ) lk . |
(3) |
|
|
0 k 1 |
|
Определение. Если существует предел (3) не зависящий от способа |
|||
деления дуги |
AB на частичные дуги и выбора точек |
Nk , то он называется |
|
криволинейным интегралом первого рода от функции |
f (M) по дуге ABи |
||
обозначается |
f (M)dl или |
f (x,y)dl . |
|
|
AB |
AB |
|
45
Дуга AB называется путем интегрирования, точка A - начальной, а точка B - конечной точками интегрирования.
Сумма n f (Nk ) lk называется интегральной суммой.
k 1
Рассмотренные первые две задачи показывают:
а) криволинейный интеграл первого рода при f (M) 0 ( f (M)на дуге AB непрерывен) численно равен площади участка цилиндрической поверхности с образующей, параллельной оси Oz. Снизу этот участок ограничен дугой AB, а с верху - кривой, изображающей подынтегральную
функцию |
z f (M). В |
этом |
состоит геометрический смысл интеграла |
|||
первого рода. |
|
|
|
|
|
|
б) |
криволинейный |
интеграл |
(M)dl |
( (M)-линейная |
плотность) |
|
|
|
|
|
AB |
|
|
равен массе m материальной |
дуги |
AB. В |
этом состоит его |
физический |
смысл. Отсюда следует, что интеграл dl численно равен длине дуги AB.
AB
Хотя криволинейный интеграл первого рода непосредственно сводится к определенному интегралу, между этими понятиями есть и следующее различие: в выражении (3) величины lk обязательно положительны, независимо от того, какую точку кривой AB считать начальной, а какую конечной. Поэтому
f (M)dl f (x,y)dl .
AB BA
Решение задачи о работе силы сводится к вычислению предела вида
(2). К вычислению подобного рода пределов приводят и другие задачи. Поэтому будем рассматривать выражение
lim n |
P Nk xk Q Nk yk , |
(4) |
0 k 1 |
|
|
(здесь P(M), Q(M)- проекции вектор – функции a(M), определенной на дуге AB, на оси координат).
46
Определение. Если существует предел (4), не зависящий от способа деления дуги AB на частичные дуги и выбора точек Nk , то он называется
криволинейным интегралом |
второго |
рода от |
векторной функции |
|||||
|
|
|
|
|
adr |
или Pdx Qdy. |
||
a(M) P(M)i |
Q(M)j по дуге AB и обозначается |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
AB |
AB |
Сумма |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
n |
P Nk xk |
Q Nk yk |
|
(5) |
|
|
|
|
k 1 |
|
|
|
|
называется интегральной суммой.
Физическое истолкование криволинейного интеграла второго рода, например, как следует из рассмотренной задачи в предыдущем пункте - это работа силы a(M) вдоль дуги AB.
Если Q(x,y) 0 |
(P(x,y) 0), то интеграл второго рода имеет вид: |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
P(x,y)dx, |
|
|
|
(6) |
|
|
Q(x,y)dy |
|||
|
AB |
AB |
|
|
иназывается криволинейным интегралом по координате x (y).
Вотличие от криволинейного интеграла первого рода криволинейный интеграл второго рода зависит от того, в каком направлении от A к B или от B к A пробегает кривая AB (кратко L), и меняет знак при изменении направления обхода кривой.
Вслучае, когда L - замкнутая кривая, т.е. когда точка B совпадает с A, из двух возможных направлений обхода замкнутого контура L условимся
называть положительным, то при котором область, лежащая внутри этого контура, остается слева по отношению к точке, совершающей обход. Противоположное направление обхода контура L условимся называть отрицательным.
Криволинейный интеграл второго рода по замкнутому контуру L, пробегаемому в положительном направлении, часто обозначают символом:
P(x,y)dx Q(x,y)dy
L
47
Имеет место следующая зависимость между криволинейными интегралами первого и второго рода:
a(M)dr a (M)dl ,
AB AB
где (M) - единичный вектор касательной к дуге AB в точке M и соответствующий направлению дуги от A к B:
a (M) a(M) cos a^ - проекция вектора a(M) на эту касательную.
Так же как в случае определенных интегралов двух родов устанавливаются следующие три свойства, общие криволинейным интегралам первого и второго рода:
1)постоянный множитель можно выносить за знак криволинейного интеграла;
2)криволинейный интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен такой же сумме криволинейных интегралов от слагаемых;
3)если путь интегрирования разбит на конечное число частей, то криволинейный интеграл по всему пути равен сумме криволинейных интегралов по всем его частям.
Заметим, что кривая AB может быть и замкнутой. Справедливо и еще одно свойство, общее для обоих криволинейных интегралов:
4)криволинейный интеграл вдоль замкнутого контура не зависит от выбора начальной точки на этом контуре.
ВЫЧИСЛЕНИЕ КРИВОЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛОВ
Пусть гладкая |
дуга AB задана параметрически уравнениями |
x x(t), y y(t) ( t |
) и функции f (x,y), P(x,y), Q(x,y) определены и |
непрерывны на этой дуге.
Для вычисления криволинейного интеграла первого рода имеем формулу:
|
|
|
|
|
f (x,y)dl f x(t),y(t) |
x'2 (t) y'2 (t) |
dt . |
(7) |
|
AB |
|
|
|
|
48
В частности, если дуга |
AB задана уравнением |
y y(x) |
|
на отрезке [a;b], |
то |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
согласно формуле (7) имеем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
x,y(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x,y)dl f |
|
1 y'2 |
dx. |
|
|
|
|
|
|
(8) |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
AB |
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
Для вычисления криволинейного интеграла второго рода имеем |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
формулу при параметрическом задании функции: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Pdx Qdy (Px' Qy')dt . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(9) |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
AB |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В частности, если дуга |
AB задана уравнением |
y y(x) |
|
на отрезке [a;b], |
то |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
аналогично формуле (8) из (9) имеем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(10) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Pdx Qdy (P(x,y(x)) Q(x,y(x))y |
|
(x))dx. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
AB |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Пример 1. Вычислить криволинейный интеграл |
(x y)dl , если путь |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
OA |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
от O(0,0) до A(4,3) - отрезок прямой. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
Решение. Из уравнения прямой проходящей через заданные две точки |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x 0 |
|
|
y 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
3 |
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|||||||||
имеем: |
|
|
|
|
|
|
откуда |
3x 4y или |
y 4 x, |
y' 4, y 2 |
|
|
|
|
и |
|
по |
||||||||||||||||||||||||||||
|
4 0 |
3 0 |
|
16 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
формуле (8) имеем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
4 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
x |
|
|
|
5 |
|
4 |
|
|
|
|
5 x2 |
|
4 |
5 16 |
|
5 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
(x y)dl x |
|
|
x |
1 |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
dx |
|
|
xdx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||||||
|
4 |
16 |
|
4 |
|
16 |
16 |
|
16 2 |
16 2 |
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
AB |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
Пример 2. Вычислить криволинейный интеграл |
xdy ydx, если OA - |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
OA |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
дуга параболы y x2, O(0,0), |
A(2,4). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
Решение. Из y x2 имеем dy 2xdx. По формуле (10) имеем: |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
xdy ydx |
2 x 2xdx x2dx |
2 |
2x2 x |
2 dx 2 x2dx |
x3 |
|2 |
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
0 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
OA |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Все сказанное о криволинейных интегралах для плоских кривых можно перенести и на пространственные кривые.
49
По аналогии со случаем плоской кривой можно определить
криволинейный интеграл первого рода f (x,y,z)dl и криволинейные
AB
интегралы второго рода
P(x,y,z)dx, |
Q(x,y,z)dy, |
R(x,y,z)dz, |
AB |
AB |
AB |
P(x,y,z)dx Q(x,y,z)dy R(x,y,z)dz .
AB
Техника вычисления таких интегралов, по существу, ничем не отличается от техники вычисления соответствующих интегралов по плоской кривой.
ФОРМУЛА РИМАНА-ГРИНА
Пусть функции P(x,y), Q(x,y) непрерывны вместе со всеми
частными производными Py' (x,y) и Qx' (x,y) в замкнутой области G, граница
L которой пересекается прямыми параллельными осям координат, не более чем в двух точках. Тогда формула
|
Q |
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
P(x,y)dx Q(x,y)dy |
(11) |
|
|
x |
dxdy |
|
|||
G |
|
y |
L |
|
|
называется формулой Римана-Грина. Эта формула устанавливает связь между двойным и криволинейным интегралами.
Пример. С помощью формулы Римана-Грина вычислить
криволинейный |
интеграл |
(x y)dx (x y)dy, |
где |
L- |
окружность |
||
|
|
L |
|
|
|
|
|
x2 y2 R2. |
|
|
|
|
|
|
|
Решение. |
P(x,y) x y , Q(x,y) x y , P' (x,y) 1 |
, Q' |
(x,y) 1. |
||||
|
|
|
|
y |
|
x |
|
Тогда по формуле (11) имеем: |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
2 |
R |
|
(x y)dx (x y)dy 1 1 dxdy 2 dxdy 2 |
d rdr |
||||||
L |
|
G |
|
G |
0 |
0 |
|
|
2 |2 r2 |
|R 2 2 |
R2 2 R2. |
|
|
|
|
|
0 |
2 |
0 |
2 |
|
|
|
50