lektsia_2_kurs_ITF

и по формуле Ньютона-Лейбница будем иметь

нормальному закону с параметрами a 30, 10. Найти вероятность того, что X примет значение, принадлежащее интервалу 10;50 .

Решение. По формуле (13) имеем:

2 0,4772 0,9544.

Часто требуется вычислить вероятность того, что отклонение нормально распределенной случайной величины X от ее математического ожидания по абсолютной величине меньше заданного положительного числат.е. найти P x a .

Эта вероятность находится по формуле

91

Пример. Пусть случайная величина X имеет D X 0,001. Какова вероятностьтого, что X отличается от M X более чем на 0,1?

Решение. По неравенству Чебышева имеем:

P X M x 0,1 D 2x 00,001,01 0,1.

Примечание. Отметим другую форму неравенства Чебышева. Т.к. событие, выражаемое неравенством X M x , противоположно событию, выражаемому неравенством X M x , то

P X M x P X M x 1.

Отсюда с учетом неравенства (1) получаем такую форму неравенства Чебышева

(2)

Теорема Чебышева. Если дисперсии независимых случайных величин

92

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ ПОНЯТИЕ СКАЛЯРНОГО ПОЛЯ

Если каждой точке M из ставится в соответствие по известному закону некоторое число u u M , то говорят, что в области задано скалярное поле u .

Иными словами, задать скалярное поле - это означает задать скалярную функцию u u M , называемую функцией поля. Запись u M означает, что величина u является, как говорят, функцией точки. Заметим, что областьюможет быть и все пространство.

Если величина u u M не зависит от времени t , то скалярное поле u называется стационарным или установившимся.

Поле температуры внутри нагретого тела, поле плотности массы, поле распределения потенциала в электрическом поле - примеры скалярных полей.

Запись u u M не предполагает введения в пространстве никакой системы координат. Если же пространство отнесено к некоторой системе координат, например к прямоугольной системе координат Oxyz , то задание точки M равносильно заданию ее координат x,y,z в этой системе и функция поля u M превращается в обычную функцию трех переменных u x,y,z . Мы всегда будем предполагать, что эта функция имеет непрерывные частные производные.

Можно ввести в пространстве и другие системы координат, например цилиндрическую и сферическую. В цилиндрической системе координат функция поля u u r, ,z , в сферической u u r, , .

ПОВЕРХНОСТИ УРОВНЯ

Скалярные поле часто изображаются геометрически с помощью так называемых поверхностей уровня.

93

Поверхностью уровня скалярного поля u M называется множество точек пространства, в которых функция поля имеет постоянное значение.

Уравнение поверхности уровня в прямоугольной системе координат Oxyz имеет вид u x,y,z c, где c - некоторая постоянная.

Указанный способ изображения скалярного поля удобен, если речь идет о плоском скалярном поле, т.е. о поле, заданном в плоской области.

Функция u этого поля зависти только от двух переменных x и y . Поэтому плоские скалярные поля геометрически изображают с помощью линий уровня.

В случае поля температур на плоскости линии уровня называются изотермами, в случае поля давления - изобарами и т.д.

ЛАПЛАСИАН СКАЛЯРНОГО ПОЛЯ

Дифференциальный оператор второго порядка, введенный для скалярного поля u u x,y,z

u x2u2 y2u2 z2u2

называется оператором Лапласа или лапласианом.

Выражение оператора Лапласа в цилиндрических координатах имеет

вид:

u r2u2 1r ur r12 2u2 z2u2 .

Последнее выражение часто бывает удобно записывать в таком виде:

В случае сферических координат выражение оператора Лапласа имеет вид:

Эту формулу еще записывают в виде:

94

вектора n к величине этого смещения d MM1, когда последнее стремится к нулю и она обозначается символом un ,

т.е.

Используют более удобную формулу для вычисления производной поля по направлению:

В плоском скалярном поле u u M u x,y градиент определяется равенством

gradu ux i uy j.

95

ВЕКТОРНОЕ ПОЛЕ. ВЕКТОРНЫЕ ЛИНИИ

Пусть - область в пространстве. Если каждой точке M из сопоставлен вполне определенный вектор a M , то говорят, что в области задано векторное поле a.

Заместим, что областью может быть и все пространство. Примерами векторных полей являются: поле силы тяжести, поле

скорости частиц текущей жидкости, поле электрической и магнитной

С плоскими полями приходится встречаться в гидродинамике при изучении плоских течений жидкости, т.е. таких течений, когда все частицы жидкости движутся параллельно некоторой плоскости, причем скорости частиц, расположенных на одной и той же прямой, перпендикулярной к этой плоскости, одинаковы.

Векторной линией векторного поля называется линия, в каждой точке которой касательная совпадает с вектором, соответствующей этой точке.

Векторные линии в конкретных полях имеют ясный физический смысл. Так, если мы рассматриваем поле скоростей текущей жидкости, то векторные

96

линии суть линии тока этой жидкости, т.е. линии по которым движутся частицы жидкости.

В электростатическом поле векторные линии – это силовые линии этого поля. Например, в поле точечного заряда такими линиями будут лучи, ходящие из заряда. Для магнитного поля векторными (силовыми) линиями будут линии, выходящие из северного полюса и оканчивающиеся в южном.

ПОТОК ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ

Потоком вектора a M или потоком векторного поля a M через поверхность называется поверхностный интеграл

а M n0ds,

где n0 - единичный вектор нормали к поверхности в ее текущей точке M . Последнюю формулу еще записывают в виде

axdydz aydzdx azdxdy.

Т.о., вычисление потока вектора сводится к вычислению интегралов по поверхности.

ФОРМУЛАОСТРОГРАДСКОГО-ГАУССА. ДИВЕРГЕНЦИЯ

Формула Остроградского-Гаусса связывает поверхностный интеграл по замкнутой поверхности и тройной интеграл по пространственной области, ограниченной этой поверхностью. Эта формула является аналогом формулы Римана-Грина, связывающей криволинейный интеграл по замкнутой кривой с двойным интегралом по плоской области, ограниченной этой кривой.

Формула

называется формулой Остроградского-Гаусса, где поверхностный интеграл берется по внешней стороне поверхности .

97

Если в формуле (1) функции P, Q, R рассматривать как проекции некоторого

вектора a M , то правая часть равна потоку вектора a M через замкнутую поверхность , а выражение

P Q R ,x y z

называется дивергенцией векторного поля a M и обозначается

diva M P Q R .

x y z

С учетом этого, формула Остроградского-Гаусса может быть переписана и в виде

т.е. поток векторного поля через замкнутую поверхность равен тройному интегралу от дивергенции этого поля, взятому по области, ограниченной этой поверхностью.

ЦИРКУЛЯЦИЯ И РОТОР ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ

Под циркуляцией векторного поля a M по контуру L понимается следующий криволинейный интеграл по замкнутому пути L, снабженному направлением обхода:

ЦL a dl,

L

где a - проекция вектора поля a M на касательную к пути L в точке M , причем на этой касательной положительным считается то направление, которое совпадает с направлением обхода контура.

98

Его обозначают через rota .

Таким образом rota ayz azy i azx axz j axy ayx k

или для удобства запоминания

ФОРМУЛА СТОКСА

Формула

Pdx Qdy Rdz

L

где

rotn a npnrota .

99

Формулу Стокса с помощью формулы связи поверхностных интегралов можно переписать в виде

ограниченная контуром L, то интегралы по dzdx и dydz обращаются в нуль и формула Стокса переходит в формулу Римана-Грина.

100