Интегральная формула Лапласа

Если в схеме Бернулли ставится вопрос об отыскании , то при небольших n используют равенство

,

где каждое слагаемое находят по формуле Бернулли.

Пример 4.5. Найти вероятность того, что при 5 бросках монеты герб выпадет не более двух раз.

Имеем схему Бернулли с n =5, и . Искомая вероятность , вычисляемая по формуле

,

будет равна

.

Если в схеме Бернулли n велико и р не близко к нулю или к единице, то используют приближенную формулу, называемую интегральной формулой Лапласа:

где

Функция называется функцией Лапласа. Она нечетна и Значения затабулированы для (приложение 2), а при х >5 считают = 0,5 График имеет вид, представленный на рис.4.2.

Рис. 4.2. График функции Лапласа.

Геометрически величина равна площади фигуры, заштрихованной на рис. 4.3, поскольку функция Лапласа по определению является интегралом по промежутку [0; x] от функции Гаусса.

Рис. 4.3. Геометрический смысл функции Лапласа.

Пример 4.6. Процент всхожести семян пшеницы равен 90%. Найти вероятность того, что из 500 посеянных семян взойдут от 400 до 440 семян.

Решение.

Имеем схему Бернулли с . Требуется найти .

Из приведенной выше интегральной формулы Лапласа находим и :

Тогда

ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ К ТЕМЕ 4

Задача 4.1. В каждом из n независимых испытаний событие А происходит с постоянной вероятностью p. Вычислить .

Вариант	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
p	0,6	0,4	0,3	0,8	0,4	0,6	0,8	0,8	0,4	0,7
n	4	5	6	4	5	6	4	5	6	4
k	< 3	> 2	< 3	> 1	< 3	> 3	< 3	> 2	< 3	> 1

Вариант	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
p	0,3	0,7	0,7	0,3	0,2	0,8	0,6	0,8	0,3	0,7
n	5	6	4	5	6	4	5	6	4	5
k	< 3	> 3	< 3	> 2	< 3	> 1	< 3	> 3	< 3	> 2

Вариант	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30
p	0,6	0,2	0,8	0,2	0,6	0,4	0,8	0,4	0,7	0,4
n	6	4	5	6	4	5	6	4	5	6
k	< 3	> 1	< 3	> 3	< 3	> 2	< 3	> 1	< 3	> 3

Задача 4.2. В каждом из n независимых испытаний событие А происходит с постоянной вероятностью p. Вычислить и .

Вариант	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
p	0,2	0,3	0,4	0,6	0,7	0,8	0,9	0,2	0,3	0,4
n	210	215	220	225	230	235	240	245	250	255
k	48	55	102	124	176	179	221	57	64	116
	38	56	76	127	158	175	204	42	66	96
	51	72	94	142	180	198	226	54	79	111

Вариант	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
p	0,6	0,7	0,8	0,9	0,2	0,3	0,4	0,6	0,7	0,8
n	260	265	270	275	280	285	290	295	300	305
k	142	196	206	259	67	75	132	78	194	229
	140	179	206	237	51	78	102	77	201	136
	165	198	222	258	64	97	125	101	225	258

Вариант	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30
p	0,9	0,2	0,3	0,4	0,6	0,7	0,8	0,9	0,2	0,3
n	310	315	320	325	330	335	340	345	350	355
k	262	79	123	112	208	219	255	297	88	84
	264	59	88	121	188	224	265	302	62	91
	289	71	105	143	207	247	287	319	81	123

Задача 4.3. На телефонной станции неправильное соединение происходит с вероятностью p. Найти вероятность того, что среди n соединений неправильными будут ровно k.

Значения параметров p, n, k найдите по следующей схеме.

Пусть V  номер Вашего варианта.

1. Вычислите .

2. Вычислите S = остаток (V/7) + 1.

3. Найдите k = остаток (V/5) + 1.

Например, номер Вашего варианта 31, т.е. V = 31. Тогда

1. = 31100 + 200 = 3300.

2. S = остаток (V/7) + 1= остаток (31/7) + 1 = 3 + 1 = 4.

3. 

k = остаток (V/5) + 1 = остаток (31/5) + 1 = 1+1= 2.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ К ТЕМЕ 4

1. Что такое независимые испытания?

2. Запишите формулу Бернулли. В каких случаях ее использование затруднительно?

3. Когда используется локальная формула Лапласа? Как она выглядит? Что такое функция Гаусса и какими свойствами она обладает?

4. Когда используется интегральная формула Лапласа? Как она выглядит? Что такое функция Лапласа и какими свойствами она обладает?

5. Когда используется формула Пуассона? Как она выглядит?

6. В некотором водоеме карпы составляют 80%. Найти вероятность того, что из шести выловленных в этом водоеме рыб окажется 1) четыре карпа; 2) более трех карпов.

7. Всхожесть семян равна 90%. Для опыта отобрано 6 семян. Определить вероятность того, что будет не более четырех всходов.

8. Вероятность того, что наудачу выбранная деталь стандартна, равна 0,85. На контроль поступило 200 деталей. Какова вероятность, что 158 из них будут стандартными.

9. Вероятность появления некоторого события в каждом из 18 независимых опытов равна 0,2. Определить вероятность появления этого события в указанной серии опытов по крайней мере три раза.

10. В банк поступило 5000 пачек денежных знаков. Вероятность того, что пачка неправильно укомплектована, то есть содержит недостаточное или избыточное количество дензнаков, равна 0,0004. Найти вероятность того, что среди поступивших пачек не более одной укомплектовано неправильно.

42