Основные понятия
Пусть систему двух дискретных случайных величин составляют c возможными значениями и с возможными значениями . Закон совместного распределения составляющих системы может быть представлен таблицей (матрицей) распределения (табл. 9.1), в каждой клетке которой находятся вероятности событий и . События-сомножители здесь несовместны и единственно возможны, поэтому образуют полную группу, т.е.
.
Первые строка и столбец таблицы 9.1 в совокупности с ее итоговыми строкой и столбцом являются безусловными законами распределениями одномерных составляющих системы и соответственно, причем для получения значений нужно сложить вероятности столбца таблицы, а для получения значений вероятности строки .
Таблица 9.1.
|
|
… |
|
… |
|
|
|
|
… |
|
… |
|
|
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
|
|
… |
|
… |
|
|
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
|
|
… |
|
… |
|
|
|
|
… |
|
… |
|
1 |
Таблица распределения 9.1 является носителем условных законов распределения составляющих системы, под которыми понимается соответствие между значениями одной составляющей и условными вероятностями другой. Так, для составляющей системы имеется условных законов распределения по количеству значений .
Условные вероятности вычисляются с помощью следующих формул:
.
Пример 9.1. Привести пример таблицы распределения системы случайных величин и с тремя возможными значениями и двумя возможными значениями . Составить безусловные законы распределения составляющих системы и все условные законы распределения составляющей .
Решение.
1. При составлении примера таблицы распределения составляющих системы значения составляющих назначим произвольным образом: . Затем зададимся в последней строке таблицы тремя тоже произвольными значениями вероятностей , но в сумме составляющими 1: . Далее распределим эти числа по частям в клетках соответствующих им столбцов таблицы. В результате во внутренних клетках таблицы будут стоять числа, сумма которых равна 1, т.е. таблица может служить законом совместного распределения системы случайных величин и :
|
Y |
X |
|
||
|
|
|
|
||
|
|
0,1 |
0,1 |
0,2 |
0,4 |
|
|
0,3 |
0,0 |
0,3 |
0,6 |
|
|
0,4 |
0,1 |
0,5 |
1 |
Отметим, что последний столбец таблицы получен, как и положено, суммированием чисел в соответствующих строках.
В итоге образованы безусловные законы распределения составляющих системы:
|
X |
5 |
10 |
15 |
|
|
|
P |
0,4 |
0,1 |
0,5 |
, |
|
|
Y |
1 |
2 |
|
|
P |
0,4 |
0,6 |
. |
2. Получаем условный закон распределения Y при , т.е. . Для этого вычисляем условные вероятности:
;
.
В результате искомый условный закон распределения имеет вид
|
Y |
1 |
2 |
|
|
|
0,25 |
0,75 |
. |
Аналогично получаем остальные условные законы распределения составляющей Y:
|
Y |
1 |
2 |
|
|
|
1 |
0 |
, |
|
Y |
1 |
2 |
|
|
|
0,4 |
0,6 |
. |
Важными характеристиками условных законов распределения являются условные математические ожидания. Например,
.
Так, для рассмотренных в примере 1 условных законов распределения составляющей Y имеем
Видно, что условное математическое ожидание является функцией «условия» . Ее называют функцией регрессии или просто регрессией Y на X. График этой функции называется линией регрессии Y на X.
Отметим, что аналогично определяются условные математические ожидания составляющей системы X, функция и линия регрессии X на Y.
Степень зависимости составляющих X и Y системы двух случайных величин определяется с помощью коэффициента корреляции , который можно вычислить по формуле
.
Заметим, что коэффициент корреляции характеризует, кроме степени зависимости двух случайных величин, еще и их разброс, рассеяние и обладает следующими свойствами.
1. Коэффициент корреляции принимает значения на отрезке [- 1; 1], т.е.
.
2. Если случайные величины независимы, то их коэффициент корреляции равен нулю, т.е. .
3. Если модуль коэффициента корреляции двух случайных величин равен единице, то между этими случайными величинами существует линейная функциональная зависимость.
Пример 9.2. По данным примера 9.1 определить коэффициент корреляции случайных величин и .
Решение.
1. Сначала воспользуемся безусловными законами распределения составляющих системы, полученными в примере 1:
|
X |
5 |
10 |
15 |
|
|
|
P |
0,4 |
0,1 |
0,5 |
, |
|
|
Y |
1 |
2 |
|
|
P |
0,4 |
0,6 |
|
и вычислим числовые характеристики случайных величин и .
Аналогично
2. Для нахождения коэффициента корреляции осталось вычислить , что требует использования таблицы распределения системы случайных величин и из примера 9.1:
|
Y |
X |
|
||
|
|
|
|
||
|
|
0,1 |
0,1 |
0,2 |
0,4 |
|
|
0,3 |
0,0 |
0,3 |
0,6 |
|
|
0,4 |
0,1 |
0,5 |
1 |
В ы в о д: между случайными величинами и существует отрицательная линейная зависимость, т.е. при увеличении (уменьшении) одной из случайных величин другая имеет некоторую тенденцию уменьшаться (увеличиваться).
ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ К ТЕМЕ 9
Задача 9.1. В вариантах 130:
а) привести пример таблицы распределения системы случайных величин и с тремя возможными значениями и двумя возможными значениями ;
б) составить безусловные законы распределения составляющих системы и все условные законы распределения составляющей ;
в) определить коэффициент корреляции случайных величин и .
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ К ТЕМЕ 9
Как выглядит таблица распределения системы двух дискретных случайных величин, какими свойствами она обладает?
Как из таблицы распределения получить условные и безусловные законы распределения составляющих системы?
Что такое функции и линии регрессии?
Что характеризует коэффициент корреляции, как он вычисляется и какими свойствами обладает?