Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский Государственный Аграрный Университет им. императора Петра I

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

m32444_6

.doc

Скачиваний:

Добавлен:

13.11.2022

Размер:

520.19 Кб

Скачать

☆

1 / 21 2 > Следующая >>>

ТЕМА 9. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

В ЗАДАЧАХ 121-130 вычислить площадь, ограниченную графиками заданных функций (параболами).

121.	;	.
122.	;	.
123.	;	.
124.	;	.
125.	;	.
126.	;	.
127.	;	.
128.	;
129.	;	.
130.	;	.

РЕШЕНИЕ ТИПОВОГО ПРИМЕРА.

Вычислить площадь, ограниченную параболами и (рис. 4).

Решение. Найдем абсциссы точек пересечения заданных парабол. Для этого приравняем правые части их уравнений:

= .

Отсюда и , .

Площадь фигуры вычислим по формуле , где ,  кривые, ограничивающие фигуру (  ).

- 1/3 1

Рис. 4

В нашем случае площадь равна

= =

= .

В ЗАДАЧАХ 131-140 требуется определить количество вещества Q, содержащегося в вертикальном столбе воды, площадь поперечного сечения которого равна S (м²), а глубина меняется от 0 (м) до L (м). Концентрация вещества К (г/м³) в воде меняется в зависимости от глубины х по закону

	a	b	L	S
131.	8	0,8	12	2
132.	7	0,7	11	3
133.	6	0,6	10	4
134.	5	0,5	9	2
135.	4	0,4	8	4
136.	8	0,8	16	3
137.	7	0,7	14	2
138.	6	0,6	12	3
139.	5	0,5	10	4
140.	4	0,4	8	2

РЕШЕНИЕ ТИПОВОГО ПРИМЕРА.

Определить количество вещества Q, содержащегося в вертикальном столбе воды, площадь поперечного сечения которого равна 2 (м²), а глубина меняется от 0 (м) до 10 (м). Концентрация вещества К (г/м3) в воде меняется в зависимости от глубины х по закону

Решение. Рассмотрим бесконечно тонкий слой столба воды с сечением S=2 толщины dx, находящийся на глубине х.

Количество вещества, содержащего в этом слое, равно

Интегрируя это выражение в пределах от 0 до 10, получим

(г).

ТЕМА 10. ФУНКЦИИ МНОГИХ НЕЗАВИСИМЫХ

ПЕРЕМЕННЫХ

В ЗАДАЧАХ 141 - 150 вычислить частные производные первого и второго порядков от заданных функций.

141. .

142. .

143. .

144. .

145. .

146. .

147. .

148. .

149. .

150. .

РЕШЕНИЕ ТИПОВОГО ПРИМЕРА. Пусть

При вычислении частной производной переменную рассматриваем как постоянную величину. Пользуясь правилами дифференцирования сложной функции, получаем

Аналогично поступаем при вычислении . Считая постоянной величиной, получаем

Используя те же правила, вычисляем частные производные второго порядка:

(проверьте!),

В ЗАДАЧАХ 151 - 160 исследовать на экстремум заданную функцию.

151. .

152. .

153. .

154. .

155. .

156. .

157. .

158. .

159. .

160. .

РЕШЕНИЕ ТИПОВОГО ПРИМЕРА. Пусть

Находим частные производные функции:

; .

Воспользовавшись необходимыми условиями экстремума, находим стационарные точки. Для этого решаем систему уравнений:

откуда ; . Таким образом, стационарной является точка . Находим значения частных производных второго порядка в точке :

; ; .

Составляем выражение:

Так как и , делаем вывод о наличии минимума в точке . При этом минимальное значение функции .

ТЕМА 11. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

В ЗАДАЧАХ 161 - 170 найти общее решение (общий интеграл) дифференциальных уравнений первого порядка.

161. xy2y1 = y².	162. x²dy+(y²+2)dx = 0.
163. x²dy+(y²+2)dx = 0.	164. xyy² = 1.
165. ycosx-(y+2)sinx = 0.	166. y (y²+3)ctgx = 0.
167. xyy = 1x².	168. xyy = (1x²)(1+y²).
169. 2x²yy+y² = 2.	170. ycos3xy²sin3x = 0.

РЕШЕНИЕ ТИПОВОГО ПРИМЕРА. Найти общее решение дифференциального уравнения

Решение. Данное дифференциальное уравнение относится к типу с разделяющимися переменными. С учетом того, что , запишем его в виде

Разделяем переменные

Интегрируем обе части равенства и получаем общее решение уравнения:

Остается вычислить интегралы

Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид

В ЗАДАЧАХ 171 - 180 найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее указанному начальному условию.

171. , .
172. , .
173. , .
174. , .
175. , .
176. , .
177. , .
178. , .
179. , .
180. , .

РЕШЕНИЕ ТИПОВОГО ПРИМЕРА. Найти частное решение дифференциального уравнения

удовлетворяющее начальному условию .

Решение. Заданное дифференциальное уравнение является уравнением Бернулли. Положим , где ,  неизвестные функции от , . Подставляя в исходное уравнение вместо и соответствующие объекты, будем иметь

Подберем функцию так, чтобы выражение, содержащееся в квадратной скобке, обращалось в нуль. Тогда для определения имеем дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными , откуда . После интегрирования получаем , т.е. .

Для определения функции имеем

или

Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными относительно неизвестной функции . Разделяя переменные, получаем

Интегрируя обе части равенства, имеем

Последний интеграл вычисляем методом интегрирования по частям, в результате чего

откуда

Таким образом, общее решение исходного уравнения имеет вид

Используя начальное условие, вычисляем соответствующее ему значение постоянной :

, т.е. .

Отсюда частное решение исходного дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданному начальному условию, имеет вид

ТЕМА 12. РЯДЫ

В ЗАДАЧАХ 181 - 200 вычислить определенный интеграл с точностью до путем предварительного разложения подынтегральной функции в ряд и почленного интегрирования этого ряда.