Решение типового задания

ПРИМЕР.

1. Найти область определения функции .

2. Найти частные производные первого порядка функции

.

3. Исследовать на экстремум функцию

.

4. С помощью метода наименьших квадратов подобрать параметры и линейной функции , приближенно описывающей приведенные в таблице опытные данные:

			1	2	3	4	6
			1	3	4	4	5

Полученную прямую вместе с опытными данными изобразить в системе координат и визуально оценить качество найденной модели.

Решениe.

1.

.

Условие выполняется, очевидно, в первой и третьей четвертях системы координат , что и составляет :

2. .

При вычислении частной производной переменную рассматриваем как постоянную величину. Пользуясь правилами дифференцирования функции одного аргумента и, в частности, правилом дифференцирования сложной функции, получаем

Аналогично поступаем при вычислении . Считая постоянной величиной, получаем

3. .

1) Исследуем заданную функцию на экстремум. Для этого находим ее частные производные первого порядка:

Воспользовавшись необходимыми условиями экстремума, находим стационарные точки, решая систему уравнений откуда получаем . Таким образом, стационарной является точка .

Находим значения частных производных второго порядка в точке :

Составляем выражение

Так как и , делаем вывод о том, что является точкой минимума функции. При этом минимальное значение функции равно

.

4. Система нормальных уравнений для нахождения параметров и линейной функции по методу наименьших квадратов имеет вид

то есть в нашем примере, очевидно,

Решая ее, получаем , то есть искомая модель .

Строим полученную прямую и исходные табличные данные:

Из построенного чертежа видно, что параметры модели найдены без грубых ошибок, так как прямая располагается вдоль построенных точек и является для них приближенно равновесной линией. Качество модели можно оценить как среднее, потому что точки расположены вокруг прямой не очень плотно.

Тема IV. Интегральное исчисление вопросы к теме

1. Первообразная. Теорема о структуре первообразных. Неопределенный интеграл и его свойства. Таблица основных неопределенных интегралов.

2. Простейшие методы интегрирования (методы разложения, замены переменной, интегрирования по частям).

3. Определенный интеграл как приращение первообразной. Независимость определенного интеграла от выбора первообразной. Простейшие свойства определенного интеграла.

71