Решение типового задания

ПРИМЕР 1. Вычислить неопределенные интегралы:

1) ; 2) .

Решение.

1) Преобразуем подынтегральную функцию к виду, удобному для интегрирования:

= .

Теперь получаем первообразные для каждого слагаемого подынтегральной функции, добавляем к полученной сумме произвольную постоянную С и преобразовываем результат:

=

.

2) Сделаем замену . Тогда

.

ПРИМЕР 2. Вычислить площадь, ограниченную заданной параболой и прямой . Искомую площадь изобразить схематически в системе координат xOy и заштриховать.

Решение. Найдем координаты точек пересечения параболы и прямой, решив систему их уравнений, и построим полученные точки в системе координат xOy. Затем спроектируем точки пересечения заданных линий на ось Ох и в пределах образованного при этом коридора проектирования изобразим схематически искомую площадь, которую заштрихуем. На полученном чертеже укажем линии и .

Итак, парабола и прямая пересекаются в точках и . Строим чертеж и приступаем к вычислению площади с помощью формулы

.

В нашем случае имеем:

.

Итак, искомая площадь .

Тема 5. Функции двух независимых переменных Контрольные вопросы

1. Введите понятие функции двух аргументов .

2. Что такое область определения, график, точки max и min функции двух независимых переменных?

3. Сформулируйте понятия частных приращений и частных производных первого порядка функции двух аргументов.

4. Проинтерпретируйте геометрически понятия частных приращений и частных производных первого порядка функции двух аргументов.

5. Как вводятся понятия частных производных второго порядка функции двух независимых переменных?

6. Как исследуется на экстремум функция двух аргументов?

7. В чем заключается суть МНК и как выглядит нормальная система уравнений МНК?

З А Д А Ч И

ЗАДАЧА 5.1. Пусть в результате эксперимента получены значения переменных величин х и у, представленные таблицей. Требуется построить с помощью МНК эмпирическую формулу и оценить ее погрешность.

При выполнении задания рекомендуется использовать следующую процедуру:

1. Составить вспомогательную таблицу для построения нормальной системы МНК.

2. а) Выписать нормальную систему МНК и найти ее решение, применяя формулы Крамера. б) Написать эмпирическую формулу, полученную методом наименьших квадратов, построить соответствующую прямую на координатной плоскости и там же представить исходные данные.

3. Вычислить теоретические (модельные) значения зависимой переменной и найти сумму квадратов отклонений теоретических от наблюдаемых значений этой переменной.

4. Сформулировать выводы.

Вариант	Таблица
1	х	1	5	6	7	8
	у	12	10	8	7	7
2	х	1	3	4	6	7
	у	2	2	8	9	11
3	х	2	3	5	7	10
	у	12	10	10	11	8
4	х	2	4	6	7	9
	у	2	2	4	8	9
5	х	1	3	5	4	6
	у	8	6	6	5	4
6	х	1	3	5	4	6
	у	3	5	6	8	11
7	х	2	3	5	6	8
	у	12	10	10	11	8
8	х	3	4	6	7	9
	у	2	2	4	8	9
9	х	1	3	5	4	6
	у	9	9	7	7	5
10	х	1	3	5	4	6
	у	3	4	6	6	8
11	х	2	3	5	6	8
	у	12	10	10	11	8
12	х	3	4	6	7	8
	у	2	2	4	8	9
13	х	1	3	5	4	6
	у	8	8	6	6	5
14	х	2	4	5	6	7
	у	2	2	4	8	9
15	х	1	3	5	4	6
	у	7	7	5	5	3
16	х	1	3	5	4	6
	у	3	4	5	5	7
17	х	2	4	5	6	8
	у	12	10	10	11	8

Вариант	Задания
18	х	1	2	5	6	8
	у	2	2	4	8	9
19	х	1	3	5	4	6
	у	7	6	6	4	4
20	х	1	3	5	4	6
	у	3	4	5	5	7
21	х	1	2	4	5	7
	у	12	10	10	11	8
22	х	2	3	4	6	7
	у	2	2	4	8	9
23	х	1	3	5	4	6
	у	8	8	7	7	5
24	х	1	3	5	4	6
	у	1	5	5	7	7
25	х	2	3	5	7	8
	у	12	10	10	11	8
26	х	1	3	5	4	6
	у	3	3	4	4	6
27	х	1	2	4	6	7
	у	12	10	10	11	8
28	х	2	3	4	5	7
	у	2	2	4	8	9