Основные понятия
Нормально
распределенные случайные величины
наиболее распространены на практике.
Объяснение этому факту дал русский
математик А.М. Ляпунов, доказав центральную
предельную теорему.
Теорема.
Если случайная величина Х равна
сумме очень большого числа попарно
независимых случайных величин, влияние
каждой из которых на всю сумму ничтожно
мало, то Х имеет распределение,
близкое к нормальному.
Приведем несколько примеров случайных
величин, подчиняющихся нормальному
закону распределения:
масса
животного в определенном возрасте;
длина
початка кукурузы;
жирность
молока;
масса
клубня картофеля.
Определение. Говорят, что непрерывная
случайная величина Х имеет
нормальное распределение (распределение
Гаусса) с параметрами
и
(
,
если плотность вероятностей этой
случайной величины имеет вид
Влияние параметров a
и на вид кривой
распределения, которую называют
нормальной кривой, иллюстрируют рис.
7.1 – 7.3.
Рис. 7.1.
Рис. 7.2.
Рис. 7.3.
Можно
показать, что если
,
то
Случайную величину X
~ N(0; 1) называют нормированной
нормально распределенной или стандартной.
Для нее законом распределения будет
изученная ранее функция Гаусса (x)
(см. схему Бернулли)
.
Отметим
следующие важные факты: если
,
то справедливы формулы
(7.1)
и
(7.2)
Если в
последней формуле заменить
,
то получим
.
Этот факт
известен как правило трех сигм. Он
означает, что практически все значения
нормальной случайной величины находятся
в интервале
(рис.
7.4), который называют диапазоном
изменения значений нормальной случайной
величины.
Рис. 7.4.
78