Тема 6. |
РАВНОМЕРНОЕ И ПОКАЗАТЕЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ |
Основные понятия Равномерное распределение
Существуют случайные величины, распределенные на отрезке [a, b], причем каждое значение x[a, b] является равновозможным. Такие величины называются равномерно распределенными на [a, b].
Пример 6.1. Известно, что на электрических часах минутная стрелка передвигается раз в минуту. Если часы не отстают и не спешат, то разность реального времени и времени, показанного на часах, для случайно взглянувшего на часы человека случайная величина, имеющая равномерное распределение на отрезке [0,1] (здесь единица минута).
Пример 6.2. Если значение некоторой величины округлено до десятых, то для человека, пользующегося затем этим значением, погрешность округления случайная величина, равномерно распределенная на отрезке [ 0,05; 0,05].
Определение.
Непрерывная случайная величина X
называется равномерно распределенной
на отрезке [a, b]
(
,
если ее плотность вероятностей задается
формулой
Функция распределения этой случайной величины имеет вид
Кривая
распределения
и график функции распределения
случайной величины
приведены на рис. 6.1.
Рис. 6.1.
Если , то числовые характеристики этой случайной величины ищутся по формулам:
Показательное (экспоненциальное) распределение
Определение.
Непрерывная случайная величина Х
имеет показательный (экспоненциальный)
закон распределения с параметром
(XExp(
)),
если ее плотность вероятностей задается
формулой
Функция распределения этой случайной величины имеет вид
Кривая распределения и график функции распределения случайной величины XExp( ) приведены на рис. 6.2.
f(x)
F(x)
1
0 x 0 x
Рис. 6.2.
Если XExp( ), то числовые характеристики этой случайной величины ищутся по формулам:
Показательный закон распределения играет важную роль, например, в теории массового обслуживания и теории надежности. Так, время обслуживания заявок в системе массового обслуживания часто считается показательно распределенной случайной величиной с параметром , означающим интенсивность обслуживания заявок, т.е. являющимся обратной величиной к среднему времени обслуживания одной заявки в этой системе.
ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ К ТЕМЕ 6
Задача 6.1. Автобус № 117 отправляется с автостанции регулярно с интервалом n минут. Не зная расписания, пассажир пришел на автостанцию в случайный момент времени.
Какова вероятность того, что ему придется ждать отправления автобуса № 117 меньше m минут?
Вычислить числовые характеристики случайной величины Х времени ожидания пассажиром отправки автобуса № 117.
Найти плотность вероятностей , функцию распределения и построить их графики.
Вариант |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
n |
10 |
15 |
10 |
15 |
10 |
15 |
10 |
15 |
10 |
15 |
m |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
Вариант |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
n |
10 |
15 |
10 |
15 |
10 |
15 |
10 |
15 |
11 |
16 |
m |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
1 |
Вариант |
21 |
22 |
23 |
24 |
25 |
26 |
27 |
28 |
29 |
30 |
N |
11 |
16 |
11 |
16 |
11 |
16 |
11 |
16 |
11 |
16 |
M |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
Задача 6.2. Время обслуживания клиентов в банке является случайной величиной Х, распределенной по показательному закону. Среднее время обслуживания клиента составляет n минут.
Найти плотность вероятностей и функцию распределения .
Определить вероятность того, что на обслуживание клиента потребуется не менее m минут.
Вариант |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
n |
10 |
15 |
10 |
15 |
10 |
15 |
10 |
15 |
10 |
15 |
m |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
Вариант |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
n |
10 |
15 |
10 |
15 |
10 |
15 |
10 |
15 |
11 |
16 |
m |
17 |
18 |
19 |
20 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
Вариант |
21 |
22 |
23 |
24 |
25 |
26 |
27 |
28 |
29 |
30 |
n |
11 |
16 |
11 |
16 |
11 |
16 |
11 |
16 |
11 |
16 |
m |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
21 |