Классическое определение вероятности

Рассмотрим опыт, в результате которого может появиться событие А. Пусть известно, что этот опыт имеет n равновозможных исходов, образующих полную группу. Исход, при котором появляется событие А, будем называть благоприятствующим этому событию. Пусть количество исходов, благоприятствующих событию А, равно m. В этом случае вероятность события А (обозначается Р(А)) определяется формулой

.

Пример 1.1. Студент явился на коллоквиум, зная ответы на вопросы к 15 билетам из 25. Какова вероятность того, что вытянутый наудачу билет состоит из вопросов с известными студенту ответами?

Решение. Испытание состоит в том, что из 25 билетов наудачу извлекается один. Так как билет вытягивается случайным образом, то все исходы этого испытания равновозможные. Общее число исходов испытания совпадает с количеством имеющихся билетов, т.е. . Пусть А = {вытянутый билет состоит из вопросов с известными студенту ответами}. Тогда число исходов испытания, благоприятствующих по условию задачи событию А, равно 15. По классическому определению вероятности имеем

Таким образом, с уверенность 60% можно утверждать, что студент сдаст коллоквиум (если ему не будут предлагаться дополнительные вопросы).

Из определения вероятности события А следует, что

причем вероятность невозможного события равна нулю ( , а вероятность достоверного события равна единице ( . Для случайного события вероятность всегда меньше единицы и положительна. Отметим также, что если  событие, противоположное событию А, то

.

При использовании классического определения вероятности нахождение значений m и n является достаточно трудным даже в простых ситуациях. Например, попробуйте найти число всех исходов опыта при вытаскивании произвольных пяти карт из колоды, т.е. число различных комбинаций из пяти карт, которые можно составить из данной колоды. Подсчитать такое число комбинаций позволяют методы комбинаторики.

Основные понятия комбинаторики

Комбинаторика изучает количества комбинаций, подчиненных определенным условиям, которые можно составить из элементов заданного конечного множества.

Пусть имеется n пронумерованных элементов.

1. Перестановками из n элементов называют комбинации всех n элементов, отличающиеся только порядком элементов.

Число возможных перестановок из n элементов обозначают . Можно доказать, что

Пример 1.2. Пусть элементы – это три цифры 1,2,3. Тогда перестановки из этих цифр – трехзначные числа 123, 132, 213, 231, 312 и 321 (всего 6). Действительно, по приведенной формуле имеем .

2. Размещения из n элементов по m элементов – это комбинации, состоящие из m элементов, отличающиеся либо элементами, либо их порядком. Число возможных размещений из n элементов по m элементов обозначают . Справедлива формула

.

Пример 1.3. Пусть элементы – это снова три цифры 1, 2, 3. Тогда размещения по два элемента из этих трех – это двузначные числа 12, 13, 21, 23, 31, 32 (всего 6). Приведенная формула приводит к такому же результату: .

3. Сочетаниями из n элементов по m элементов называют комбинации, состоящие из m элементов и отличающиеся хотя бы одним элементом (то есть порядок элементов здесь не важен).

Число возможных сочетаний из n элементов по m элементов обозначают . Справедливо соотношение , поэтому

Пример 1.4. Снова рассмотрим три числа 1, 2, 3. Сочетания из этих трех элементов по два – это комбинации 12, 13, 23 (комбинация 21, например, – это то же сочетание, что и 12). Имеем

.

З а м е ч а н и е. Приведем два важных правила, полезных для подсчета числа исходов опытов.

Правило сложения. Если некоторый объект А можно выбрать из совокупности объектов m способами, а другой объект В можно выбрать n способами, то выбрать либо А, либо В можно m + n способами.

Правило умножения. Если объект А можно выбрать из совокупности объектов m способами и после каждого такого выбора объект В можно выбрать n способами, то пара объектов (А, В) в указанном порядке может быть выбрана способами.

Пример 1.5. Сколько различных шестизначных номеров телефона можно набрать на телефонном пульте?

Решение. Первой цифрой набора может быть любая из десяти, имеющихся на пульте. При этом второй цифрой набора может быть также любая из тех же десяти, имеющихся на пульте. То же можно сказать и обо всех остальных цифрах набора. Поэтому, исходя их приведенного правила умножения, общее количество возможных комбинаций выражается, очевидно, числом .