m33255_8
.doc8. ВЫЧИСЛЕНИЕ КООРДИНАТ ЦЕНТРА ТЯЖЕСТИ
НЕОДНОРОДНОГО ТЕЛА
С ПОМОЩЬЮ ТРОЙНОГО ИНТЕГРАЛА
Если тело занимает
объем V
и плотность
массы в каждой точке выражается формулой
,
то координаты центра тяжести тела
вычисляются по формулам
;
;
,
(4)
где
выражает
массу тела.
Типовой пример.
Найти координаты
центра тяжести однородного (
)
тела T,
ограниченного плоскостью x+y+z=1
и координатными
плоскостями.
Решение. Построим тело T в системе координат Oxyz
z
x+y+z=1
о y
х
Рис. 12
По условию плотность
массы
.
Вычислим сначала массу M
тела
.
Из соображений симметрии следует, что координаты центра тяжести равны xc=yc=zc. Поэтому достаточно найти только одну координату xc . Вычислим числитель для абсциссы xc .
.
Следовательно, по формуле (4), первая координата центра тяжести равна
Ответ: Центр тяжести тела находится в точке
Задание 6. Найти координаты центра тяжести тела, ограниченного поверхностями с помощью тройного интеграла.
№
|
Плотность массы тела |
Уравнения поверхностей, ограничивающих данное тело |
Ответы |
1 |
|
x+y+z=2, x=0, y=0, z=0 |
|
2 |
|
x=2, y=2, z=2, x=0, y=0, z=0,
|
|
3 |
|
x+y+z=4, x=0, y=0, z=0
|
(1,1,1) |
4 |
|
x=3, y=3, z=3, x=0, y=0, z=0 |
(2,2,2) |
5 |
|
x+y+z=3, x=0, y=0, z=0 |
|
6 |
|
x=4, y=4, z=4, x=0, y=0, z=0 |
|
7 |
|
x+y+z=5, x=0, y=0, z=0 |
|
8 |
|
x=5, y=5, z=5, x=0, y=0, z=0 |
|
9 |
|
x+y+z=7, x=0, y=0, z=0 |
|
10 |
|
x=6, y=6, z=6, x=0, y=0, z=0 |
(4,4,4) |
11 |
|
x+y+z=9, x=0, y=0, z=0 |
|
12 |
|
x=1.2, y=1.2, z=1.2, x=0, y=0, z=0 |
|
13 |
|
x+y+z=8, x=0, y=0, z=0
|
(2,2,2) |
14 |
|
x=0.3, y=0.3, z=0.3, x=0, y=0, z=0 |
|
15 |
|
x+y+z=6, x=0, y=0, z=0 |
|
16 |
|
x=0.6, y=0.6, z=0.6, x=0, y=0, z=0 |
|
17 |
|
x+y+z=10, x=0, y=0, z=0 |
|
18 |
|
x=1.5, y=1.5, z=1.5, x=0, y=0, z=0 |
(1,1,1) |
19 |
|
x+y+z=0.4, x=0, y=0, z=0 |
|
20 |
|
x=1.8, y=1.8, z=1.8, x=0, y=0, z=0 |
|
21 |
|
x+y+z=0.8, x=0, y=0, z=0 |
|
22 |
|
x=2.1, y=2.1, z=2.1, x=0, y=0, z=0 |
|
23 |
|
x+y+z=1.6, x=0, y=0, z=0 |
|
24 |
|
x=2.4, y=2.4, z=2.4, x=0, y=0, z=0 |
|
25 |
|
x+y+z=1.2, x=0, y=0, z=0 |
|
26 |
|
x+y+z=2, x=0, y=0, z=0 |
|
27 |
|
x=2, y=2, z=2, x=0, y=0, z=0,
|
|
28 |
|
x+y+z=4, x=0, y=0, z=0
|
(1,1,1) |
29 |
|
x=3, y=3, z=3, x=0, y=0, z=0 |
(2,2,2) |
30 |
|
x+y+z=3, x=0, y=0, z=0 |
|
