m33255_5
.doc5. ВЫЧИСЛЕНИЕ КООРДИНАТ ЦЕНТРА ТЯЖЕСТИ
ПЛОСКОЙ ФИГУРЫ
Координаты центра тяжести плоской фигуры (пластины) D с плотностью массы =f(x,y) вычисляется по формулам
, ,
где – масса пластины D.
Типовой пример. Найти координаты центра тяжести фигуры, ограниченной линиями y=-3x, y=x, x=2 с плотностью =x.
Решение. Вначале построим область D, для этого в системе координат строим графики функций y=-3x, y=x, x=2.
y
y=-3x
x=2
D x
y=x
Рис. 8
Вычислим массу М пластины
.
Теперь вычислим интеграл I1 числителя первой формулы
и интеграл I2 числителя второй формулы
.
Следовательно, координаты центра тяжести плоской фигуры соответственно равны и .
Ответ: Центр тяжести находится в точке C(1,5;-1,5).
Задание 5. Вычислить координаты центра тяжести плоской фигуры, ограниченной линиями, если плотность массы равна единице.
№ |
Уравнения линий, ограничивающие фигуру на плоскости |
Ответы |
||
1 |
y=4,5x |
y=-5x |
x=1 |
(0,67 ; -0,17)
|
2 |
y=0,5x |
y=-2x |
x=4 |
(2,67 ; -2)
|
3 |
y=2x |
y=-3x |
x=2 |
(1,33 ; -0,67)
|
4 |
y=3x |
y=-4x |
x=3 |
(2 ; -1)
|
5 |
y=4x |
y=-5x |
x=1 |
(0,67 ; -0,33)
|
6 |
y=5x |
y=-x |
x=2 |
(1,33 ; -2,67)
|
7 |
y=2x |
y=-4x |
x=3 |
(2 ; -2)
|
8 |
y=3x |
y=-5x |
x=2 |
(1,33 ; -1,33)
|
9 |
y=4x |
y=-x |
x=2 |
(1,33 ; 2)
|
10 |
y=5x |
y=-3x |
x=1 |
(0,67 ; 0,67)
|
11 |
y=2x |
y=-5x |
x=2 |
(1,33 ; -2)
|
12 |
y=3x |
y=-x |
x=4 |
(2,67 ; 2,67)
|
13 |
y=4x |
y=-3x |
x=3 |
(2 ; 1)
|
14 |
y=5x |
y=-4x |
x=1 |
(0,67 ; 0,33)
|
15 |
y=2x |
y=-x |
x=5 |
(3,33 ; 1,67)
|
16 |
y=3x |
y=-2x |
x=3 |
(2 ; 1)
|
17 |
y=4x |
y=-2x |
x=2 |
(1,33 ; 1,33)
|
18 |
y=1,5x |
y=-x |
x=3 |
(2 ; 0,5)
|
19 |
y=2,5x |
y=-2x |
x=2 |
(1,33 ; 1,33)
|
20 |
y=3,5x |
y=-3x |
x=1 |
(0,67 ; 0,17)
|
21 |
y=4,5x |
y=-4x |
x=1 |
(0,67 ; 0,17)
|
22 |
y=0,5x |
y=-5x |
x=2 |
(1,33 ; -3)
|
23 |
y=1,5x |
y=-2x |
x=4 |
(2,67 ; -0,67)
|
24 |
y=2,5x |
y=-3x |
x=3 |
(2 ; -0,5)
|
25 |
y=3,5x |
y=-4x |
x=2 |
(1,33 ; -0,33)
|
26 |
y=4,5x |
y=-5x |
x=2 |
(1,33 ; -0,33)
|
27 |
y=0,5x |
y=-5x |
x=3 |
(2 ; -4,5)
|
28 |
y=2,5x |
y=-5x |
x=3 |
(2 ; -2,5)
|
29 |
y=4,5x |
y=-5x |
x=1 |
(0,67 ; -0,17)
|
30 |
y=0,5x |
y=-2x |
x=4 |
(2,67 ; -2)
|
Задание 5a. Вычислить координаты центра тяжести неоднородной плоской фигуры (см. задание 5), если плотность массы пластины равна δ(x,y)=x+y2.