m33255_6
.doc6. ВЫЧИСЛЕНИЕ ТРОЙНОГО ИНТЕГРАЛА
Тройной интеграл определяется аналогично двойному интегралу. Тройным интегралом от непрерывной функции f(x,y,z), распространенным на ограниченную область T пространства 0xyz, называется предел трехмерной интегральной суммы.
Пусть область Т ограничена поверхностями x=a (плоскость), x=b (плоскость), y=y1(x) (цилиндрическая поверхность), y=y2(x) (цилиндрическая поверхность), z=f1(x,y) («дно»), z=f2(x,y) («крыша»).
z z=f2(x,y)
y=y2(x)
T
y=y1(x)
o
z=f1(x,y) y
x=a
x x=b
Рис. 9
Тогда тройной интеграл вычисляется по формуле
.
(3)
По этой формуле тройной интеграл сводится к последовательному вычислению трех обыкновенных интегралов I1, I2, I3.
Интеграл
берется по переменной z, причем x,y рассматриваются как постоянные величины.
Интеграл
берется по переменной y, причем x рассматривается как постоянная величина.
И, наконец, вычисляется интеграл
.
Типовой пример.
Вычислить
по
пространственной области Т,
ограниченной поверхностями x=-1,
x=1,
y=x2,
y=1,
z=0,
z=2.
Построить
область Т.
Решение. Сначала построим область T
z
z=2
y=1
y=x2 B(-1,1)
y
A(1,1)
x
Рис. 10
По формуле (3) тройной интеграл представим в виде трех последовательных однократных интегралов
Вычислим внутренний интеграл
.
Теперь вычислим промежуточный интеграл
.
Наконец, вычислим внешний интеграл
.
Ответ: 40/3
Задание 6. Вычислить значения тройного интеграла по области Т, ограниченной указанными поверхностями
№
|
Тройной интеграл |
Уравнения поверхностей |
Ответы |
1 |
|
x=-1, x=1, y=0, y=-3x+6, z=0, z=2. |
-52. |
2 |
|
x=0, x=2, y=0, y=-x+2, z=0, z=1. |
6. |
3 |
|
x=-1, x=2, y=0, y=-2x+4, z=0, z=3. |
108.
|
4 |
|
x=0, x=3, y=0, y=-x+3, z=0, z=1. |
|
5 |
|
x=1, x=3, y=0, y=-2x+4, z=0, z=2. |
|
6 |
|
x=0, x=2, y=0, y=-3x+6, z=0, z=4. |
112 |
7 |
|
x=-2, x=2, y=0, y=-x+1, z=0, z=3. |
62 |
8 |
|
x=-1, x=3, y=0, y=-2x+4, z=0, z=2. |
|
9 |
|
x=0, x=1, y=0, y=-x+1, z=0, z=1. |
|
10 |
|
x=0, x=2, y=0, y=-x+1, z=0, z=3. |
-3 |
11 |
|
x=-2, x=1, y=0, y=-2x+6, z=0, z=1. |
240
|
12 |
|
x=-1, x=3, y=0, y=-2x+6, z=0, z=4. |
|
13 |
|
x=-1, x=2, y=0, y=-x+4, z=0, z=2. |
102 |
14 |
|
x=0, x=3, y=0, y=-2x+8, z=0, z=3. |
522 |
15 |
|
x=0, x=4, y=0, y=-x+5, z=0, z=5. |
|
16 |
|
x=2, x=4, y=0, y=-2x+9, z=0, z=1. |
44 |
17 |
|
x=1, x=3, y=0, y=-x+3, z=0, z=2. |
|
18 |
|
x=1, x=,4 y=0, y=-x+5, z=0, z=3. |
|
19 |
|
x=2, x=4, y=0, y=-2x+10, z=0, z=2. |
|
20 |
|
x=0, x=2, y=0, y=-x+3, z=0, z=3. |
16 |
21 |
|
x=1, x=3, y=0, y=-x+4, z=0, z=2. |
46 |
22 |
|
x=2, x=4, y=0, y=-2x+9, z=0, z=1. |
|
23 |
|
x=0, x=1, y=0, y=-2x+3, z=0, z=2. |
16 |
24 |
|
x=0, x=2, y=0, y=-3x+6, z=0, z=3. |
99 |
25 |
|
x=-1, x=3, y=0, y=-2x+6, z=0, z=1. |
|
26 |
|
x=-1, x=1, y=0, y=-3x+6, z=0, z=2. |
-52. |
27 |
|
x=0, x=2, y=0, y=-x+2, z=0, z=1. |
6. |
28 |
|
x=-1, x=2, y=0, y=-2x+4, z=0, z=3. |
108.
|
29 |
|
x=0, x=3, y=0, y=-x+3, z=0, z=1. |
|
30 |
|
x=1, x=3, y=0, y=-2x+4, z=0, z=2. |
|
