Глава 1 векторы и их геометрические приложения
1.1. Основные действия над векторами
Определение.
Существуют скалярные величины: температура, масса, объем и т.д.
К векторным (направленным) величинам относятся, например, скорость, ускорение, сила.
Вектором называется такая величина, которая характеризуется направлением в пространстве и числом, измеряющим ее в некоторых единицах измерения.
Пусть
даны две точки
и
.
Символом
обозначают вектор, модуль которого
равен длине отрезка
а направление вектора совпадает с
направлением от
до
.
Два вектора называются равными, если:
их длины (модули) равны
;
оба вектора имеют одинаковое направление в пространстве;
вектор, длина которого равна 1, называется единичным, или ортом.
С
уммой
векторов
и
называется вектор
(рис. 1.1).
Рис.1.1
Начало второго слагаемого вектора находится в конце первого.
В механике сумму двух векторов определяют как диагональ параллелограмма, построенного на слагаемых векторах (рис. 1.2).
Рис.1.2
Сложение векторов подчиняется законам сложения чисел:
a.
переместительному:
;
b.
сочетательному:
.
Можно находить сумму любого числа векторов, исходя из этих законов (рис. 1.3).
Рис.1.3
Разностью
двух векторов называется сумма вектора
с вектором –
,
противоположным вектору
(рис. 1.4).
Рис.1.4
1.2. Скалярное произведение векторов
Скалярным произведением двух векторов и называется произведение длин этих векторов на косинус угла между ними.
Если
,
то их скалярное произведение равно 0.
,
так как
Рассмотрим
векторы в пространстве декартовой
системы координат (рис. 1.5). Выберем
на осях координат единичные векторы
– орты. Тогда каждый вектор определяется
в этой системе через их проекции на оси
OX, OY,
OZ.
Рис. 1.5
,
.
Длина вектора определяется по формуле:
,
,
,
.
Можно показать, что скалярное произведение двух векторов равно сумме произведений их одноимённых координат.
,
если
,
.
Пример № 1.1. Найти скалярное произведение векторов.
Решение.
,
,
.
Пример
№ 1.2. Между точками
получили два вектора
и
.
Найти их проекции и вычислить скалярное
произведение
Решение.
,
,
,
Если векторы заданы своими координатами, то угол между векторами можно определить по формуле
.
Пример
№ 1.3. Определить угол
при вершине
,
если
,
и
.
Рис. 1.6
Р
Найдем векторы и . Для этого из координат конца вектора вычтем координаты начала.
;
;
следовательно
.
Замечание:
Если векторы параллельны, то их проекции пропорциональны:
.
1.3. Векторное произведение векторов
Определение.
Векторным
произведением двух векторов
и
(рис. 1.7) называется такой вектор
,
который
Перпендикулярен векторам и .
Направлен в ту сторону, из которой кратчайший поворот от вектора к вектору происходит в направлении против часовой стрелки, если смотреть из конца вектора с.
Модуль векторного произведения равен площади параллелограмма, построенного на этих векторах, как на сторонах.
Рис.1.7
Свойства векторного произведения
При перестановке местами сомножителей векторное произведение меняет знак, а модули их равны.
Если
то
.
Скалярный множитель
можно вынести за знак векторного
произведения.
или
.
Векторное произведение обладает распределительным свойством, т.е.
векторное произведение векторов,
заданных своими проекциями.
Пусть
даны вектор
и вектор
можно
доказать, что векторное произведение
вычисляется определителем 3-го порядка.
Так как модуль векторного произведения равен площади параллелограмма, построенного на этих векторах, то векторное произведение применяют для вычисления площадей.
Задача:
№ 1.4 Вычислить площадь
с вершинами в точках
Решение.
Вектор имеет проекции:
Вектор имеет проекции:
Площадь
равна 1/2 площади
параллелограмма, а
1/2 модуля векторного произведения
,
Найти площадь S грани А1 А2 А3 (грань пирамиды).
Решим аналогичную задачу:
1.
Даны декартовы прямоугольные координаты
вершин пирамиды
.
Координаты точек:
Составим
векторы
и
,
.
Найдем векторное произведение:
