- •Введение
- •Системы счисления и формы представления чисел
- •Позиционные системы счисления
- •Системы счисления, используемые при работе с ЭВМ
- •Лабораторная работа 1
- •Перевод чисел из одной системы счисления в другую
- •Задания к лабораторной работе 1
- •Лабораторная работа 2
- •Арифметические действия в системах счисления
- •Двоичная арифметика
- •Восьмеричная арифметика
- •Шестнадцатеричная арифметика
- •Задания к лабораторной работе 2
- •Вопросы самоконтроля
- •Библиографический список
19
Пример:
Умножить восьмеричные числа 27,52 × 12,72. Решение:
Записываем числа одно под другим, равняя по правому краю, как в десятичной арифметике. Производим умножение и сложение, отделяем запятой два знака справа.
Начинаем умножение числа 27,58 на 7:
–5 × 7 = 35 – 32 = 3, то есть 3 пишем, 4 запоминаем (так как 32 / 8 = 4);
–7 × 7 = 49 + 4 = 53 – 48 = 5, то есть 5 пишем, 6 запоминаем (так как 48 / 8 = 6);
–2 × 7 = 14 + 6 = 20 – 16 = 4, то есть 4 пишем, 2 запоминаем (так как 16 / 8 = 2);
–в следующем разряде пишем 2.
|
Аналогично умножаем число 27,58 |
на 2 и на 5, после чего три получившихся |
||||
числа складываем. Получаем выражение: |
|
|
||||
|
|
|
2 |
7, |
5 |
|
× |
|
1 |
2, |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
4 |
5 |
3 |
|
+ |
5 |
7 |
2 |
|
|
|
2 |
7 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
0 |
0, |
7 |
3 |
|
Для удобства расчётов можно использовать таблицы сложения и умножения в восьмеричной системе счисления, представленные на рисунке 1.
+ |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
10 |
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
10 |
11 |
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
5 |
6 |
7 |
10 |
11 |
12 |
13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
6 |
7 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
7 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
× |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
4 |
6 |
10 |
12 |
14 |
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
3 |
6 |
11 |
14 |
17 |
22 |
25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
4 |
10 |
14 |
20 |
24 |
30 |
34 |
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
5 |
12 |
17 |
24 |
31 |
36 |
43 |
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
6 |
14 |
22 |
30 |
36 |
44 |
52 |
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
7 |
16 |
25 |
34 |
43 |
52 |
61 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Рисунок 1 – Таблицы сложения и умножения в восьмеричной системе счисления
Шестнадцатеричная арифметика
Все действия в шестнадцатеричной системе счисления производятся аналогично действиям в десятичной системе, только в следующий разряд при сложении переносится не 10, а 16 и из старшего разряда при вычитании занимается тоже не 10, а 16.
20
Пример:
Сложить два восьмеричных числа: 1А,816 и С3,Е16. Решение:
Записываем числа одно под другим, учитывая разряды, и начинаем сложение
смладшего разряда:
–разряд (-1): во втором числе в этом разряде стоит буква Е, которая равна 14 в десятичной системе, следовательно, 8 + 14 = 22, но так как система шестнадцатеричная, то 22 – 16 = 6, то есть 6 пишем, а 16 переходит в следующий разряд как 1, то есть 1 запоминаем;
–разряд (0): в первом числе в этом разряде стоит буква А, которая равна 10 в десятичной системе, следовательно 10 + 3 = 13 и еще + 1 = 14, а 14 в шестнадцатеричной системе обозначается буквой Е;
–разряд (1): во втором числе в этом разряде стоит буква С, которая равна 12 в десятичной системе, следовательно 1 + 12 = 13, а 13 в шестнадцатеричной системе обозначается буквой D.
Получилось выражение:
|
1 |
А, |
816 |
+ |
С |
3, |
Е16 |
|
|
|
|
|
D |
Е, |
616 |
Пример:
Даны два восьмеричных числа: 371,516 и 90,F16. Требуется из первого числа вычесть второе.
Решение:
Записываем числа одно под другим, учитывая разряды, и начинаем вычитание с младшего разряда:
–разряд (-1): из 5 мы не можем вычесть F, которое равно 15, следовательно, нужно занять 16 из следующего разряда: 5 + 16 = 21 – 15 = 6, тогда в 0-м разряде вместо 1 останется 0;
–разряд (0): 0 – 0 = 0;
–разряд (1): из 7 мы не можем вычесть 9, следовательно, нужно занять 16 из следующего разряда: 7 + 16 = 23 – 9 = 14, что соответствует букве Е;
–разряд (2): в нём вместо 3 осталось 2.
Получилось выражение: |
|
|
|
|
3 |
7 |
1, |
516 |
|
|
– |
9 |
0, |
F16 |
|
|
|
|
|
3 |
Е |
0, |
616 |
21
Пример:
Умножить восьмеричные числа 5В,216 × 1,2А16. Решение:
Записываем числа одно под другим, равняя по правому краю, как в десятичной арифметике. Производим умножение и сложение, отделяем запятой два знака справа.
Начинаем умножение числа 5В,216 на А, что соответствует числу 10:
–2 × 10 = 20 – 16 = 4, то есть 4 пишем, 1 запоминаем (так как 16 / 16 = 1);
–В = 11; следовательно, 11 × 10 = 110 + 1 = 111 – 96 = 15 (D), то есть D пи-
шем, 6 запоминаем (так как 96 / 16 = 6);
–5 × 10 = 50 + 6 = 56 – 48 = 8, то есть 4 пишем, 3 запоминаем (48 / 16 = 3);
–в следующем разряде пишем 3.
Далее умножаем число 5В,216 на 2 и 1, после чего получившиеся числа складываем.
Получилось выражение:
|
|
5 |
В, |
2 |
× |
|
1, |
2 |
А |
|
|
|
|
|
|
3 |
8 |
F |
4 |
+ |
В |
6 |
4 |
|
5 |
В |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
6 |
А, |
1 |
3 |
4 |
Для удобства расчётов можно использовать таблицы сложения и умножения в шестнадцатеричной системе счисления (таблицы 1 и 2).
Таблица 1 – Сложение чисел в шестнадцатеричной системе счисления
+ |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
А |
В |
С |
D |
Е |
F |
0 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
А |
В |
С |
D |
Е |
F |
1 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
А |
В |
С |
D |
Е |
F |
10 |
2 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
А |
В |
С |
D |
Е |
F |
10 |
11 |
3 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
А |
В |
С |
D |
Е |
F |
10 |
11 |
12 |
4 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
А |
В |
С |
D |
Е |
F |
10 |
11 |
12 |
13 |
5 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
А |
В |
С |
D |
Е |
F |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
6 |
6 |
7 |
8 |
9 |
А |
В |
С |
D |
Е |
F |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
7 |
7 |
8 |
9 |
А |
В |
С |
D |
Е |
F |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
8 |
8 |
9 |
А |
В |
С |
D |
Е |
F |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
9 |
9 |
А |
В |
С |
D |
Е |
F |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
А |
А |
В |
С |
D |
Е |
F |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
В |
В |
С |
D |
Е |
F |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
1А |
С |
С |
D |
Е |
F |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
1А |
1В |
D |
D |
Е |
F |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
1А |
1В |
1С |
Е |
Е |
F |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
1А |
1В |
1С |
1D |
F |
F |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
1А |
1В |
1С |
1D |
1Е |