Замечание об универсальном методе неопределённых коэффициентов
Если дробь сложна, содержит несколько квадратичных или кратных скобок, метод вычёркивания неэффективен и приходится применять общий метод.
Пример
7. Проинтегрируем
дробь
.
Она раскладывается так:
.
Приведём к общему знаменателю:
.
Для совпадения дробей нужно, чтобы числители совпадали. Раскроем скобки:
;
;
.
Соберём справа вместе слагаемые «с одинаковой степенью»:
,
и вынесем степени за скобки:
.
Как известно из алгебры, два полинома совпадают при любом значении переменной, если равны их коэффициенты при одинаковых степенях. Поэтому получается следующая система уравнений: |
|
Решая систему
любым способом, находим, что
.
Значит,
.
Поэтому
.
Сами по себе интегралы хорошо известны и неоднократно найдены в пособии.
Ответ:
.
Основные трудности
общего метода – раскрытие скобок и
решение системы уравнений. Решение
немного упростится, если всё-таки найти
методом вычёркивания, что
.
§ 8. Определённый интеграл
Формула Ньютона – Лейбница
,
где
позволяет свести вычисление определённого интеграла к поиску первообразной и подстановке в неё пределов интегрирования.
Для поиска первообразной можно применять любые свойства и методы – разбивать интеграл на сумму интегралов, интегрировать по частям и т.п. Однако при замене переменных следует либо пересчитывать пределы интегрирования, либо возвращаться к начальной переменной.
Если первообразная
выглядит как сумма слагаемых, т.е.
,
надёжнее подставлять пределы интегрирования
отдельно в каждое из них:
,
чем полностью в сумму:
,
особенно если возникает много отрицательных или дробных составляющих.
ОИ1. Найдите определённые интегралы
а)
; б)
; в)
;
г)
; д)
; е)
;
ж)
; з)
; и)
.
Пример 1 (с применением арифметических свойств интеграла):
.
ОИ2. Найдите определённые интегралы
1) а)
; б)
; в)
;
г)
; д)
;
2) а)
; б)
; в)
;
г)
; д)
;
3) а)
; б)
; в)
;
г)
; д)
;
4) а)
; б)
; в)
;
г)
; д)
;
5) а)
; б)
;
в)
;
г)
.
Пример 2 (вынесение множителя):
.
Пример 3 (применение основного правила табличного интегрирования):
.
ОИ3. Найдите определённые интегралы
1) а)
;
б)
; в)
;
г)
; д)
; е)
;
2) а)
; б)
; в)
;
г)
; д)
;
е)
.
Пример 4. Вынесем коэффициент и сведём интеграл к табличному:
.
Пример 5. Здесь сразу получается полный квадрат:
.
Вычисление площади плоской фигуры
Если фигура на
плоскости ограничена графиками функций
,
и вертикальными линиями
и
,
причём
во всех точках отрезка
,
то площадь фигуры совпадает с интегралом
.
Здесь
указано для определённости, если же на
всегда
,
то площадь совпадает с интегралом
.
Можно считать, что всегда от уравнения «верхней кривой » отнимают уравнение «нижней кривой».
Если отрезок
не указан, подразумевается, что графики
образуют фигуру, пересекаясь в 2 точках.
Тогда точки надо найти из уравнения
.
Во всех остальных случаях (пересечение менее или более чем в 2 точках, разное соотношение между функциями и т.п.) задача о площади поставлена некорректно. Без дополнительных условий её решить невозможно.
ОИ4. Найдите
площадь фигуры, ограниченной графиком
функции
и графиком указанной функции. Сделайте
чертёж:
1) а)
; б)
; в)
; г)
;
2) а)
; б)
; в)
; г)
;
3) а)
; б)
; в)
; г)
;
4) а)
; б)
; в)
; г)
;
5) а)
; б)
; в)
; г)
.
ОИ5. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями. Сделайте чертёж:
1) а)
; б)
;
в)
; г)
;
2) а)
; б)
;
в)
; г)
;
3) а)
; б)
;
в)
; г)
.
Пример 6. Найдём
площадь фигуры, ограниченной графиками
функций
и
.
1-й шаг.
Приравниваем:
,
откуда
и
.
Значит,
,
и точки пересечения – это
и
.
Значения функций:
(можно найти и
);
(также
).
Совпадение
вызвано чётностью обеих функций.
2-й шаг.
Строим
графики функций (рисунок 1). Поскольку
Поэтому при составлении интеграла от отнимаем , а не наоборот. |
Рисунок 1 |
и
,
на участке
график функции
проходит выше графика функции
.
3-й шаг. Площадь фигуры
.
4-й шаг. Вычисляем интеграл
.
.
5-й шаг. Площадь фигуры равна 72 кв. ед. Результат правдоподобен – фигура достаточно велика.
Ответ. Площадь фигуры – 72 кв.ед.
Пример 7. Найдём
площадь фигуры, образованной линиями
и
.
1-й шаг.
Из равенства
,
или
,
находим корни
и
.
2-й шаг. Ординаты точек пересечения
(можно найти , но проще считать). При вычислении площади эти числа не играют роли, но помогают построить графики. Подставив
точки из интервала
|
Рисунок 2 |
и
в функции, видим, что прямая проходит
над параболой. Строим чертёж (рисунок
2).
3-й шаг. Площадь фигуры
.
4-й
шаг. Вычисляем
интеграл
.
5-й
шаг. Площадь
фигуры составляет
кв. ед., или около 20,83 кв.ед.
Ответ. Площадь фигуры – 20,83 кв.ед.
ОИ6.
Найдите площадь фигуры, образованной
осью абсцисс (ОХ), графиком указанной
функции
и вертикальными линиями
,
,
проходящими через точки экстремума.
Сделайте чертёж.
1) а)
; б)
; в)
;
2) а)
; б)
; в)
;
3) а)
; б)
; в)
.
Пример 8.
Пусть фигура ограничена осью абсцисс
(ось ОХ, или
),
графиком функции
и вертикальными прямыми, проходящими
через точки экстремума этой функции.
Найдём площадь такой фигуры.
1-й шаг.
Берём производную
,
находим её корни:
,
откуда
,
и тогда
и
– точки экстремума.
2-й шаг.
Убедимся, что на участке
функция не меняет знак, иначе придётся
искать корень функции
и разбивать фигуру на 2 части:
;
,
знак одинаков. Это
гарантирует, что функция положительна
на всём участке
– иначе точка минимума, в которой
,
была бы не самой нижней на на интервале
,
что невозможно. Итак, разбивать фигуру
(отрезок) не нужно.
Замечаем, что
.
В силу непрерывности
функции
это означает, что
– точка максимума, а
– точка минимума. (у разрывных функций
максимум может быть ниже минимума).
3-й шаг.
Площадь фигуры
.
4-й
шаг. Находим,
что
.
5-й шаг. Площадь фигуры составляет 49,5 кв.ед.
Рисунок 3 –
Схематичный чертёж параболы
