Melnikova_I.N._i_dr._Materialy_dlya_studentov_fakulteta_A_i_VT_po_discipline_Matematika
.pdf
Министерство науки и высшего образования Российской Федерации
РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ НЕФТИ И ГАЗА (НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)
имени И.М. ГУБКИНА
Кафедра высшей математики
И. Н. Мельникова
В.Д. Седых
МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ СТУДЕНТОВ ФАКУЛЬТЕТА АиВТ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИКА»
Методическое пособие
Москва 2020
УДК 51/514 М58
Рецензент:
А.Н. Филиппов – доктор физико-математических наук профессор кафедры высшей математики
РГУ нефти и газа (НИУ) имени И.М. Губкина
Мельникова И.Н., Седых В.Д.
М58 Материалы для студентов факультета АиВТ по дисци-
плине «Математика»: Методическое пособие. – М.: Издательский центр РГУ нефти и газа (НИУ) имени И.М. Губкина, 2020. – 38 с.
Издание подготовлено на кафедре высшей математики РГУ нефти и газа (НИУ) имени И.М. Губкина. Оно включает в себя список разделов современной математики, изучаемых студентами 2-го курса факультетаАиВТврамкахофициальныхрабочихпрограммпоматематическим дисциплинам. Издание содержит большое количество примерных вариантов контрольных работ и экзаменационных билетов, предназначенных для активной самостоятельной подготовки студентов.Поразделам,изучаемымвкаждомсеместре,составленсписокконтрольных вопросов. В конце издания приведен список литературы и интернетресурсов, которые должны помочь студентам более глубоко освоить данный курс.
Мельникова И.Н., Седых В.Д. 2020
РГУ нефти и газа (НИУ) имени И.М. Губкина, 2020
Содержание |
|
Введение........................................................................................................ |
4 |
3 СЕМЕСТР |
|
КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ТФКП, РЯДЫ ФУРЬЕ |
|
Часть 8. ДВОЙНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ........... |
6 |
Часть 9. ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ |
|
ПЕРЕМЕННОЙ........................................................................................... |
10 |
Часть 10. РЯДЫ ФУРЬЕ........................................................................... |
14 |
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ И ПРИМЕРЫ ЭКЗАМЕНАЦИОН- |
|
НЫХ БИЛЕТОВ ПО ТЕМАМ ТРЕТЬЕГО СЕМЕСТРА ................... |
16 |
4 СЕМЕСТР |
|
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ |
|
СТАТИСТИКА |
|
Часть 11. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ.................................................. |
21 |
Часть 12. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА .............................. |
29 |
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ И ПРИМЕРЫ ЭКЗАМЕНАЦИОН- |
|
НЫХ БИЛЕТОВ ПО ТЕМАМ ЧЕТВЕРТОГО СЕМЕСТРА ............. |
32 |
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ И ИНФОРМАЦИОННОЕ ОБЕС- |
|
ПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ .................................................................... |
37 |
3
Введение
Ни одно исследование нельзя считать наукой без математического доказательства.
Леонардо да Винчи, великий итальянский живописец, мыслитель и исследователь конца XV – начала XVI веков.
Математика является не только мощным средством решения прикладных задач и универсальным языком науки, но также и элементом общей культуры. Поэтому математическое образование следует рассматривать как важнейшую составляющую фундаментальной подготовки бакалавров.
Целью математического образования бакалавра является: воспитание достаточно высокой математической культуры; привитие навыков современного математического мышления; подготовка к использованию математических методов и основ математического моделирования в практической деятельности.
Воспитание у студентов математической культуры включает в себя: ясное понимание необходимости математической составляющей в общей подготовке бакалавра; выработку представлений о роли и месте математики в современной цивилизации и в мировой культуре; умение логически мыслить и оперировать с абстрактными объектами; быть корректным в употреблении математических понятий и символов.
Математическое образование бакалавров должно быть достаточно фундаментальным. Фундаментальность математической подготовки означает: достаточную общность математических по-
4
нятий и конструкций, обеспечивающую широкий спектр их применимости; разумную точность формулировок математических свойств изучаемых объектов; логическую строгость изложения математики, опирающуюся на адекватный современный математический язык.
Материалы, представленные в данном издании, соответствуют ФГОС высшего образования по направлениям подготовки бакалавров. Издание является продолжением аналогичного пособия1, подготовленного ранее для студентов 1-го курса.
1 И.Н. Мельникова, В.Д. Седых. «Программа дисциплины «МАТЕМАТИКА» и примеры контрольно-измерительных материалов». Методическое пособие для студентов 1-го курса факультета АиВТ. – М.: Издательский центр РГУ нефти и газа (НИУ) имени И.М. Губкина, 2019.
5
3 СЕМЕСТР
КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ТФКП, РЯДЫ ФУРЬЕ
Часть 8
ДВОЙНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
8.1. Двойной интеграл.
Двойной интеграл, его свойства и вычисление путем сведения к повторному интегралу. Замена переменных в двойном интеграле. Вычисление двойного интеграла в полярной системе координат.
Геометрические приложения двойных интегралов: вычисление площадей плоских фигур, объемов тел и площадей поверхностей. Механические приложения двойных интегралов: вычисление масс, центров масс и моментов инерции неоднородных плоских пластин.
8.2. Криволинейные интегралы 1-го и 2-го рода.
Криволинейный интеграл 1-го рода, его существование, основные свойства, физический смысл и вычисление. Векторные поля. Криволинейный интеграл 2-го рода, его существование, основные свойства, физический смысл и вычисление. Формула Грина. Потенциальные векторные поля на плоскости. Условия потенциальности.
Примерные варианты контрольной работы
«Двойные и криволинейные интегралы»
Вариант 1 |
|
||
1. Вычислить двойной интеграл òò(x +- y |
1)dxdy , где D − об- |
||
|
D |
|
|
|
|
|
|
ласть, ограниченная кривыми: y =-=-= 2x x2 , |
x 0, x y 2. |
||
6 |
|
|
|
2. |
Изменить порядок интегрирования |
|||||
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
x |
2-x |
|||
|
òdx ò f (x, y)dy + òdx ò f (x, y)dy . |
|||||
|
0 |
0 |
1 |
0 |
|
|
3. |
Найти объем тела, ограниченного поверхностями: |
|||||
x = 0,³ y =³x, z = 0, x2 + y2 = 4, z = 
x2 + y2 +1 (x 0, y 0) . 4. Используя подходящую параметризацию контура интегри-
рования, вычислить интеграл I = !∫ y2 dx + (xy + x − y) dy , где g −
|
|
|
|
γ |
|
эллипс |
x2 |
+ |
y2 |
=1, проходимый по часовой стрелке. |
|
4 |
9 |
||||
|
|
|
5. Вычислить интеграл I из задачи 4 по формуле Грина.
Вариант 2
1. Расставить пределы интегрирования в двойном интеграле
òò f (x, у)dxdy , |
где D − область, ограниченная кривыми: |
||
D |
|
||
|
|
|
x2 . Изменить порядок интегрирования и перейти |
y =- 2 x2 , y |
|||
кполярным координатам.
2.С помощью двойного интеграла вычислить площадь фигу-
ры, ограниченной кривыми: x2 +-=×=y2 |
2=у 0, у |
|
|
|
х, |
у х . |
|
|
|
3 |
|||||
3. |
Найти объем тела, ограниченного поверхностями: |
|
|||||
|
z + x + y = 2, z = 0, у = 0, y = |
|
. |
|
|||
|
x |
|
|||||
4. |
Не используя формулу Грина, вычислить интеграл |
|
|||||
|
I = !∫ ( y2 − x) dx − x2 dy , |
|
|
|
|
|
|
|
γ |
|
|
|
|
|
|
где g |
− контур треугольника с вершинами |
А(-1;1) , |
B(0; -1), |
||||
C(2;1) .
5. Вычислить интеграл I из задачи 4 по формуле Грина.
7
Вариант 3
|
1 |
e y |
||
1. |
Изменить порядок интегрирования: òdy ò f (x, y)dx . |
|||
|
0 |
y -3 |
||
2. |
Найти объем тела, ограниченного поверхностями: |
|||
|
|
|
|
|
|
z = 0, x2 + y2 = 2 y, z = x2 + y2 . |
|||
3. Вычислить интеграл ò(43
x - 3
y )dl , где L − отрезок пря-
L
мой, соединяющей точки А(-1;0), В(0;1) . 4. Показать, что выражение
(5 y + cos x + 6xy2 )dx + (5x + 6x2 y)dy
является полным дифференциалом некоторой функции u(x, y) , и найти эту функцию.
5. Используя формулу Грина, вычислить интеграл
I = !∫ 3xy dx + (x2 − y) dy ,
γ
где g — контур фигуры, ограниченной кривыми: y = x2 , y = 4 .
Вариант 4
1. Вычислить двойной интеграл òòcos 
x2 + y2 dxdy , где D −
|
|
|
|
D |
область, ограниченная кривыми: x2 +³y2 = 4, y = 0 ( y 0) . |
||||
2. Изменить порядок интегрирования: |
||||
1 |
2 |
e2 |
2 |
|
òdx ò f (x, y )d y + ò dx ò f (x, y )d y . |
||||
0 |
2-2 x |
1 |
ln x |
|
3. Вычислить интеграл ò |
dl |
, где L − отрезок прямой, со- |
||
L x - y
единяющей точки А(4;0) , В(6;1) .
8
4. Показать, что выражение |
1 - y |
dx + |
1 - 2x |
dy |
является пол- |
|
|
||||
|
x2 y |
xy2 |
|
||
ным дифференциалом некоторой функции u(x, y) , и найти эту функцию.
5. Используя формулу Грина, вычислить интеграл
I = !∫ 2 y2 dx + (x2 − 3y) dy ,
γ
где g — окружность x2 + y2 = 4.
9
Часть 9
ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
9.1. Функции комплексной переменной.
Расширенная комплексная плоскость. Предел последовательности комплексных чисел. Функции комплексной переменной. Некоторые элементарные функции. Предел и непрерывность функции комплексной переменной.
Дифференцируемость функции комплексной переменной. Условия Коши-Римана, гармоническое свойство. Голоморфные (аналитические) функции. Геометрический смысл модуля и аргумента производной. Конформные отображения.
Интегрирование функции комплексной переменной. Теорема Коши. Интегральная формула Коши. Разложение голоморфной функции в ряд Тейлора.
9.2. Ряды Лорана, вычеты и их применение.
Ряд Лорана функции, голоморфной в кольце. Изолированные особые точки комплексной функции, их классификация. Характер лорановского разложения функции в проколотой окрестности особой точки.
Вычет комплексной функции в изолированной особой точке. Теорема Коши о вычетах. Вычет в бесконечно удаленной точке. Вычисление вычетов.
Вычисление интегралов комплексных функций при помощи вычетов. Применение вычетов к вычислению несобственных интегралов функций вещественной переменной.
10