Melnikova_I.N._i_dr._Materialy_dlya_studentov_fakulteta_A_i_VT_po_discipline_Matematika

Примерные варианты контрольной работы

«Введение в ТФКП»

Вариант 1

1.Вычислить: Ln(2 - 3i).

2.Решить уравнение: cos z = 2.

3.Проверить, что функция v(x, y) = e- y sin x + y является мнимой частью аналитической функции переменной z = x + iy . Найти

f (z) = z 2 + 2iz .

11

Вариант 4

1. Вычислить: sh(2 + 5i).

2. Вычислить интеграл ∫ (2z − 1)2 dz , где L – ломаная z1z2z3

L

(z1 = 0, z2 = i, z3 = 1+ i)

3. Проверить, что функция v(x, y) =-2(ch x sin y xy) является действительной частью некоторой аналитической функции f (z) . Найти эту функцию при условии, что f (0) = 0. Вычислить f ′′( z) .

Примерные варианты контрольной работы «Ряды Лорана и вычеты»

Вариант 1

12

Часть 10

РЯДЫ ФУРЬЕ

10.1. Разложение функции одной вещественной переменной в ряд Фурье.

Евклидова структура в пространстве функций, интегрируемых по Риману. Ортогональность тригонометрической системы функций на отрезке [-p ,p ]. Ряд Фурье и коэффициенты Фурье 2p - периодической функции. Случай функций с произвольным периодом. Комплексная форма рядов Фурье.

Признак Дирихле поточечной сходимости ряда Фурье. Разложение в ряд Фурье функции, заданной на конечном интервале путём различных продолжений до периодической функции. Достаточное условие равномерной сходимости ряда Фурье 2p - периодической функции. Неравенство Бесселя. Равенство Парсеваля. Явление Гиббса.

Примерные варианты контрольной работы

«Разложение функций в ряд Фурье»

косинусам с периодом 4.

2. Чему равна сумма ряда Фурье из задачи 1 при x =1 и x = 2 ? Построить график суммы ряда Фурье. Выписать равенство Парсеваля для коэффициентов Фурье этого ряда.

Вариант 2

1. Разложить в ряд Фурье по синусам функцию f (x) = eх , заданную на интервале (0;p ) .

14

2. Чему равна сумма ряда Фурье из задачи 1 при x = p ? Построить график суммы ряда Фурье. Выписать равенство Парсеваля для коэффициентов Фурье этого ряда.

периодом 2.

2. Чему равна сумма ряда Фурье из задачи 1 при x =1 и x = 2? Построить график суммы ряда Фурье. Выписать равенство Парсеваля для коэффициентов Фурье этого ряда.

Вариант 4

1.Разложить в ряд Фурье по косинусам функцию f (x) = sin x , заданную на интервале (0;p ) .

2.Чему равна сумма ряда Фурье из задачи 1 при x = 0 и x = p ? Построить график суммы ряда Фурье. Выписать равенство Парсеваля для коэффициентов Фурье этого ряда.

15

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ И ПРИМЕРЫ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫХ БИЛЕТОВ

ПО ТЕМАМ ТРЕТЬЕГО СЕМЕСТРА

Контрольные вопросы

1.Дайте определение двойного интеграла.

2.Перечислите основные свойства двойного интеграла.

3.Опишите алгоритм вычисления двойного интеграла путем повторного интегрирования.

4.Напишите формулу замены переменных в двойном инте-

грале.

5.Как вычисляется двойной интеграл в полярных координа-

тах?

6.Какие геометрические и механические приложения имеет двойной интеграл?

7.Как вычисляются площади плоских фигур, объемы тел и площади поверхностей при помощи двойного интеграла?

8.Опишите процедуру вычисления масс, центров масс и моментов инерции неоднородных плоских пластин при помощи двойного интеграла.

9.Дайте определение криволинейного интеграла 1-го рода.

10.Сформулируйте достаточное условие существования криволинейного интеграла 1-го рода.

11.Какими свойствами обладает криволинейный интеграл 1- го рода?

12.Какие физические величины можно вычислять при помощи криволинейного интеграла 1-го рода?

13.Дайте определение криволинейного интеграла 2-го рода.

14.Сформулируйте достаточное условие существования криволинейного интеграла 2-го рода.

16

15.Какими свойствами обладает криволинейный интеграл 2- го рода?

16.Какие физические величины можно вычислять при помощи криволинейного интеграла 2-го рода?

17.Напишите формулу Грина.

18.Какие векторные поля называются потенциальными?

19.Сформулируйте условия, при которых векторное поле на плоскости является потенциальным.

20.Что называется расширенной комплексной плоскостью?

21.Дайте определение предела последовательности комплексных чисел.

22.Перечислите свойства пределов комплексных последовательностей.

23.Дайте определение предела функции комплексной переменной.

24.Перечислите свойства пределов комплексных функций.

25.Дайте определение непрерывности комплексной функции.

26.Дайте определение дифференцируемости комплексной функции.

27.Сформулируйте условия Коши-Римана.

28.В чем заключается гармоническое свойство дифференцируемой функции?

29.Что называется голоморфной (аналитической) функцией?

30.Каков геометрический смысл модуля и аргумента производной функции комплексной переменной?

31.Дайте определение конформного отображения.

32.Дайте определение интеграла функции комплексной переменной.

33.Сформулируйте теорему Коши об интеграле голоморфной функции по замкнутому контуру.

17

34.Напишите интегральную формулу Коши.

35.Сформулируйте теорему о разложении голоморфной функции в ряд Тейлора.

36.Сформулируйте теорему о разложении в ряд Лорана функции, голоморфной в кольце.

37.Приведите классификацию изолированных особых точек комплексной функции.

38.Как зависит лорановское разложение функции в проколотой окрестности особой точки от ее типа?

39.Что называется вычетом комплексной функции в изолированной особой точке?

40.Сформулируйте теорему Коши о вычетах.

41.Что называется вычетом в бесконечно удаленной точке?

42.Приведите формулы, по которым вычисляются вычеты в полюсах?

43.Вычислите интеграл комплексной функции при помощи вычетов.

44.Как используются вычеты при вычислении несобственных интегралов функций вещественной переменной?

45.Определите евклидову структуру в пространстве функций, интегрируемых по Риману.

46.Докажите ортогональность тригонометрической системы функций на отрезке [-p ,p ].

47.Что называется рядом Фурье 2p -периодической функ-

ции?

48.Напишите формулы для коэффициентов Фурье 2p - периодической функции.

49.Напишите ряд Фурье и формулы для коэффициентов Фурье 2l -периодической функции.

50.Как выглядит ряд Фурье в комплексной форме?

18

51.Сформулируйте признак Дирихле поточечной сходимости ряда Фурье.

52.Как разложить функцию в ряд Фурье «по синусам»?

53.Как разложить функцию в ряд Фурье «по косинусам»?

54.Сформулируйте достаточное условие равномерной сходимости ряда Фурье 2p -периодической функции.

55.Напишите неравенство Бесселя и равенство Парсеваля.

56.В чем заключается явление Гиббса?

Примерные экзаменационные билеты Билет 1

1. Вычислить интеграл òò ydxdy по области D , ограниченной

D

кривыми y =-=x / (x2 +1), y = x, x 1.

g

тельно ориентированная граница компактной области, ограниченной кривыми x + y + y2 = 2 и x = 0.

ность z -=1 2 , проходимая против часовой стрелки.

5. Разложить функцию f (x) =-1 3x , x Î(0,1) , в ряд Фурье по синусам. Чему равна сумма этого ряда при x =1?

6. Применение вычетов к вычислению несобственных интегралов функции вещественной переменной.

19

Билет 2

синусам. Чему равна сумма этого ряда при x = 3?

6. Классификация изолированных особых точек. Вид ряда Лорана в окрестностях особых точек.

20