393_AgulnikUchProgrKontrZadTV
.pdfФедеральное агентство связи
Федеральное государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования
«Сибирский государственный университет телекоммуникаций и информатики»
(ФГОБУ ВПО «СибГУТИ»)
В.И.Агульник О.Н.Агульник
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
И
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
УЧЕБНАЯ ПРОГРАММА И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ
Новосибирск
2012
УДК 512.8
В.И.Агульник, О.Н.Агульник. Теория вероятностей и математическая статистика. Учебная программа и контрольные задания. / ФГОБУ ВПО «СибГУТИ». – Новосибирск, 2012 г. – 19 стр.
Учебная программа по теории вероятностей и математической статистике содержит перечень тем, рекомендуемую литературу, список основных вопросов по каждой теме. Контрольные задания содержат набор задач, которые необходимо выполнить в контрольной работе.
Приведены задачи для практических занятий в период экзаменационной сессии.
В конце издания приведен необходимый справочный материал.
Кафедра высшей математики.
Рецензент: к.т.н., доцент кафедры прикладной математики и кибернетики О.А.Ахметов.
Для студентов заочной формы обучения по направлению 210000 «Электронная техника, радиотехника и связь», квалификация (степень) «бакалавр».
Утверждено редакционно-издательским советом ФГОБУ ВПО «СибГУТИ» в качестве учебной программы.
Федеральное государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный университет телекоммуникаций и информатики», 2012 г.
Учебная программа составлена на основании Федерального государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования по направлению 210000 «Электронная техника, радиотехника и связь», квалификация (степень) «бакалавр».
РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА
1.Вентцель Е.С. Теория вероятностей. – М.: Наука, 1964. – 522 стр.
2.Гмурман В.С. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: Высшая школа, 1972. – 246 стр.
3.Письменный Д. Конспект лекций по теории вероятностей, математической статистике и случайным процессам. – М.: Айрис-пресс, 2008. – 288 стр.
4. Пугачев В.С. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: Наука,
1979. – 278 стр.
5. Розанов Ю.А. Лекции по теории вероятностей. – М.: Наука, 1986. – 234 стр. 6. Смирнов Н.В., Дунин-Барковский И.В. Курс теории вероятностей и математи-
ческой статистики для технических приложений. – М.: Наука, 1969. – 366 стр. 7. Чистяков В.П. Курс теории вероятностей. – М.: Наука, 1982. – 256 стр.
8.Зеленцов Б.П., Агульник В.И. Математика в формулах, таблицах, графиках. Справочное пособие. СибГУТИ – Новосибирск, 2005. – 119 стр.
УЧЕБНАЯ ПРОГРАММА
1. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
1.1. |
Элементы комбинаторики: перестанов- |
[7]п.1 |
|
ки, сочетания, размещения. |
|
|
|
|
1.2. |
Случайные события. Операции над со- |
[1]гл.2; [2]гл.1; [4]гл.20; |
|
бытиями. |
[5]гл.1; [7]п.2; [8]гл.II; |
|
|
[9]гл.1 |
1.3. |
Вероятность события. Классическое и |
[1]гл.2; [2]гл.1; [4]гл.20; |
|
статистическое определения. |
[5]гл.1; [7]п.1; [8]гл.II; |
|
|
[9]гл.2 |
1.4. |
Теоремы умножения и сложения вероят- |
[1]гл.3; [2]гл.2,3; |
|
ностей. |
[4]гл.20; [5]гл.1; [7]п.2,3; |
|
|
[8]гл.II; [9]гл.3 |
1.5. |
Формула полной вероятности. Формула |
[1]гл.3; [2]гл.4; [4]гл.20; |
|
Бейеса. |
[5]гл.1; [7]п.3; [8]гл.II; |
|
|
[9]гл.3 |
1.6. |
Схема Бернулли. Формула Бернулли. |
[2]гл.5; [4]гл.20; [5]гл.1; |
|
|
[7]п.6; [8]гл.II; [9]гл.4 |
1.7. |
Предельные теоремы в схеме Бернулли. |
[2]гл.5; [4]гл.20; [5]гл.1; |
|
|
[7]п.6; [8]гл.III; [9]гл.4 |
|
|
|
3
1.8. |
Случайные величины. Закон распреде- |
[1]гл.5; [2]гл.6,10; |
|
ления и функция распределения |
[4]гл.20; [5]гл.2; [8]гл.III; |
|
дискретной случайной величины. |
[9]гл.5 |
1.9. |
Функция распределения и плотность |
[1]гл.5; [2]гл.10,11; |
|
распределения непрерывной случайной |
[4]гл.20; [5]гл.2; [8]гл.III; |
|
величины. |
[9]гл.5 |
1.10. |
Математическое ожидание и дисперсия |
[1]гл.5; [2]гл.7,8; [4]гл.20; |
|
случайной величины. |
[5]гл.3; [8]гл.III |
1.11. |
Биномиальное распределение и распре- |
[1]гл.4,5; [4]гл.20; |
|
деление Пуассона. |
[5]гл.1; [8]гл.III; [9]гл.5 |
1.12. |
Равномерное и показательное |
[1]гл.5,6; [2]гл.13; |
|
распределение. |
[4]гл.20; [5]гл.2; [8]гл.III; |
|
|
[9]гл.5 |
1.13. |
Нормальное распределение случайной |
[1]гл.6; [2]гл.12; [4]гл.20; |
|
величины. Функция Лапласа. |
[5]гл.3; [8]гл.IV; [9]гл.5 |
1.14. |
Система случайных величин. Функция |
[1]гл.8; [2]гл.14; [4]гл.20; |
|
распределения и плотность распределе- |
[5]гл.4; [8]гл.V |
|
ния двумерной непрерывной случайной |
|
|
величины. |
|
1.15. |
Зависимые и независимые случайные |
[1]гл.8; [2]гл.14; [5]гл.3; |
|
величины. Корреляционный момент. Ко- |
[8]гл.V; [9]гл.6 |
|
эффициент корреляции и его свойства. |
|
1.16. |
Математическое ожидание суммы и про- |
[2]гл.8; [8]гл.V |
|
изведения двух случайных величин. Дис- |
|
|
персия суммы двух случайных величин. |
|
1.17 |
Предельные теоремы теории вероятно- |
[1]гл.13; [2]гл.9; [5]гл.5; |
|
стей. Закон больших чисел и централь- |
[8]гл.V; [9]гл.7 |
|
ная предельная теорема. |
|
2. СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ
2.1. |
Понятие случайного процесса. Типы случайных про- |
[1]гл.15 |
|
цессов. Непрерывный случайный процесс в непрерыв- |
|
|
ном времени, его закон распределения, математиче- |
|
|
ское ожидание, дисперсия и корреляционная функция. |
|
2.2. |
Преобразования непрерывного случайного процесса в |
[1]гл.15 |
|
непрерывном времени: прибавление неслучайной |
|
|
функции и умножение на нее, дифференцирование и |
|
|
интегрирование. |
|
2.3. |
Взаимная корреляционная функция двух случайных |
[1]гл.15 |
|
процессов. Сложение случайных процессов. |
|
2.4. |
Понятие стационарного случайного процесса, его ха- |
[1]гл.17; |
|
рактеристики. |
[2]гл.16 |
4
3. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
3.1. |
Генеральная и выборочная совокупности. Виды вы- |
[1]гл.7; |
|
борки и методы отбора. Группирование статистиче- |
[8]гл.V; |
|
ских данных. Полигон и гистограмма. Статистическая |
[9]гл.9 |
|
функция распределения. |
|
3.2. |
Точечная оценка математического ожидания и диспер- |
[1]гл.14; |
|
сии, требования к ним. |
[8]гл.V; |
|
|
[9]гл.9 |
3.3. |
Понятие интервальной оценки числовых характери- |
[1]гл.14; |
|
стик. Интервальная оценка математического ожидания |
[8]гл.V; |
|
нормально распределенной случайной величины при |
[9]гл.9 |
|
известной дисперсии. |
|
3.4. |
Распределение Пирсона. Интервальная оценка диспер- |
[1]гл.14; |
|
сии нормально распределенной случайной величины. |
[8]гл.V; |
|
|
[9]гл.9 |
СОДЕРЖАНИЕ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ
Задача 1. Классическое определение вероятности. Задача 2. Основные теоремы теории вероятностей. Задача 3. Предельные теоремы в схеме Бернулли.
Задача 4. Непрерывные случайные величины и их числовые характеристики. Задача 5. Нормальное распределение случайных величин.
Задача 6. Элементы математической статистики.
ЗАДАЧИ КОНТРОЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ
Каждый вариант содержит несколько типов задач, отмечаемых римскими цифрами. Номер варианта определяется последней цифрой номера студенческого билета.
Контрольная работа должна быть выполнена в отдельной тетради. Необходимо оставлять поля для замечаний рецензента. Перед решением каждой задачи следует полностью выписать еѐ условие. Решения задач располагайте в порядке возрастания номеров, указанных в задании.
Решения следует излагать подробно и аккуратно, объясняя и мотивируя все действия по ходу решения. Чертежи рекомендуем выполнять на отдельной странице.
В случае возврата незачтенной работы следует доработать еѐ, исправляя отмеченные ошибки и недочеты в той же тетради.
5
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
I.Задачи 1.1 – 1.10
1.1.Пять человек рассаживаются на скамейке в случайном порядке. Среди них есть два брата. Найти вероятность того, что братья займут крайние места.
1.2.Игральная кость бросается три раза. Найти вероятность того, что все три раза на ней будет выпадать различное число очков.
1.3.В семизначном телефонном номере неизвестны три последние цифры. Какова вероятность, что все они различны?
1.4.Имеется 10 шаров, среди них 3 белых, 4 черных, остальные синие. Наугад выбирается три шара. Найти вероятность того, что все выбранные шары имеют разные цвета.
1.5.Среди 10 деталей 3 бракованных. Берутся наугад две детали. Найти вероятность того, что среди них, по крайней мере, одна небракованная?
1.6.Имеется 9 шаров, среди которых есть три черных и три белых. Найти вероятность того, что среди наугад взятых трѐх шаров будут один белый и два черных.
1.7.В коробке 10 карандашей, среди которых есть четыре зеленых. Наугад берутся три карандаша. Найти вероятность того, что среди них не будет ни одного зеленого.
1.8.Одновременно бросаются две игральные кости. Найти вероятность того, что на них будет одинаковое число очков.
1.9.Из 9 шаров, среди которых 5 белых и 4 красных, наугад выбираются два шара. Найти вероятность того, что среди выбранных будут один белый и один красный шар.
1.10.Три стрелка в одинаковых и независимых условиях произвели по одному выстрелу по одной и той же цели. Вероятность поражения цели первым стрелком равна 0,9, вторым – 0,8, третьим – 0,7. Найти вероятность того, что только один из стрелков попал в цель.
II.Задачи 2.1 – 2.10
2.1. В команде 12 спортсменов. Из них первые четверо выполняют упражнение на «отлично» с вероятностью 0,8, трое других – с вероятностью 0,6, а остальные – с вероятностью 0,2. Случайно выбранный спортсмен из этой группы выполнил упражнение на «отлично». Какова вероятность, что он из первой четверки?
6
2.2.Изделие, изготовленное на первом станке, является бракованным с вероятностью 0,01, для второго станка эта вероятность равна 0,02, для третьего – 0,025. Четверть всех изделий изготовлены первым станком, половина – вторым, остальные – третьим. Случайно взятое изделие оказалось бракованным. Какова вероятность, что оно изготовлено вторым станком?
2.3.В первой урне находится два белых и четыре черных шара, во второй черных – четыре, а белый один. Из первой урны во вторую переложен один шар и, после перемешивания, из второй урны вытащен шар, который оказался черным. Какова вероятность, что во вторую урну был добавлен черный шар?
2.4.Цель, по которой ведется стрельба, может находиться на первом участке c вероятностью 0,4, на втором с вероятностью 0,5, на третьем – с вероятностью 0,1. Находящаяся на первом участке цель поражается с вероятностью 0,8, на втором – с вероятностью 0,6, на третьем – с вероятностью 0,2. В результате стрельбы цель оказалось поражена. Какова вероятность, что она находилась на первом участке?
2.5.Среди 10 стрелков трое первых попадают в цель с вероятностью 0,8 , четверо – с вероятностью 0,7, остальные – с вероятностью 0,6. Из этих стрелков был выбран один наудачу, который попал в цель. Найти вероятность того, что выбранный стрелок из первой группы?
2.6.Для передачи сообщения используются сигналы «0» и «I». Сигналы «0» составляют 60%, сигналы «I» – остальные 40%. Вероятность искажения сигнала «0» равна 0,0001, вероятность искажения сигнала «I» равна 0,0002. В результате передачи сигнал был искажен. Какова вероятность, что был передан сигнал «I»?
2.7.Для обслуживания пассажиров используются автобусы трех марок: первой марки 10 штук, второй 12 , третьей 8 штук. Вероятность поломки автобуса на линии для первой марки равна 0,1, для второй 0,05, для третьей 0,15. Произошла поломка автобуса на линии. Какова вероятность, что поломался автобус первой марки?
2.8.Сообщение с вероятностью 0,3 передается по первому каналу связи, с вероятностью 0,5 – по второму и с вероятностью 0,2 по третьему. Вероятность искажения при передаче по первому каналу 0,1, по второму 0,05, по третьему 0,2 . В результате передачи сообщение было искажено. Какова вероятность, что оно было передано по третьему каналу?
2.9.На склад поступают изделия, изготовленные на трех станках, среди них половина изготовлена на первом станке, треть на втором, остальные на третьем. Вероятность брака для изделий, изготовленных на первом станке 0,1, на вто-
7
ром – 0,2 и на третьем – 0,25. Случайно взятое изделие оказалось бракованным. Какова вероятность, что оно изготовлено на третьем станке?
2.10. Среди двенадцати спортсменов шестеро (группа А) выполняют упражнение с вероятностью 0,9, двое (группа В) – с вероятностью 0,7, остальные (группа С) – с вероятностью 0,5. Случайно выбранный спортсмен выполнил упражнение. Какова вероятность, что он из группы С?
III.Задачи 3.1 – 3.10
3.1.Вероятность наступления события в каждом из одинаковых и независимых испытаний равна 0,8. Найти вероятность того, что в 150 испытаниях событие наступит: а) 120 раз; б) от 100 до 130 раз; в) более 120 раз.
3.2.Известно, что в среднем одна опечатка приходится на 50 страниц текста. Вычислить вероятность того, что книга объѐмом 100 страниц содержит: а) одну опечатка; б) ни одной опечатки; в) более одной опечатки.
3.3.Вероятность наступления события в каждом из одинаковых и независимых испытаний равна 0,2. Найти вероятность того, что в 100 испытаниях событие наступит: а) 20 раз; б) менее 20 раз; в) более 20 раз.
3.4.В партии из 1000 изделий имеются 20 дефектных. Найти вероятность того, что среди 50 изделий, взятых наудачу из этой партии, окажутся дефектными: а) одно изделие; б) ни одного; в) более одного.
3.5.Вероятность наступления события в каждом из одинаковых и независимых испытаний равна 0,8. Найти вероятность того, что в 125 испытаниях событие наступит: а) ровно 100 раз; б) не более 100 раз; в) не менее 100 раз.
3.6.Среднее число заявок, поступающих на предприятие за 1 день равно трем. Найти вероятность того, что за два дня поступят: а) шесть заявок; б) от пяти до семи заявок; в) не более двух заявок.
3.7.Завод отправил на базу 500 изделий. Вероятность повреждения изделия в пути равна 0,0004. Найти вероятность того, что в пути будет повреждено: а) ровно 2 изделия; б) менее двух; в) более двух.
3.8.Магазин получает 1000 изделий. Вероятность повреждения изделия в пути равна 0,003. Найти вероятность того, что магазин получит поврежденных изделий: а) ровно 3; б) менее трѐх; в) более трѐх.
3.9.В аэропорт прибывает в среднем 5 самолетов в час. Найти вероятность того, что за 10 минут аэропорт примет: а) один самолет; б) ни одного самолета; в) более одного самолета.
8
3.10. В оперативную часть поступает в среднем одно сообщение в минуту. Найти вероятность того, что за 2 минуты поступит: а) 3 сообщения; б) менее двух в) не менее двух сообщений.
IV. Задачи 4.1 – 4.10
Случайная величина X задана функцией распределения (интегральной функцией) F(x). Требуется: а) найти дифференциальную функцию f (x) (плот-
ность распределения вероятностей); б) найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины; в) построить графики интегральной и дифференциальной функций.
|
0, |
|
|
|
x |
|
0; |
|
|
||
4.1. F (x) |
x2 , |
0 |
|
x |
1 |
|
|||||
|
1, |
|
|
|
x |
|
1 |
|
|
||
|
0, |
|
|
|
|
x |
0; |
||||
4.3. F (x) |
|
|
x2 |
|
, |
|
0 |
x |
4 |
||
16 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
1, |
|
|
|
|
x |
4 |
|
|||
|
0, |
|
|
x |
|
0; |
|
|
|||
4.5. F (x) |
|
x2 |
|
, 0 |
|
x |
3 |
|
|||
9 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
1, |
|
|
|
x |
|
3 |
|
|
||
|
0, |
x |
2; |
|
|||||||
4.7. F (x) |
|
x |
1, |
2 |
x |
4 |
|||||
|
|
|
|
|
|||||||
2 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
1, |
|
|
x |
4 |
|
|||||
0, x 0;
4.9. F (x) |
x3, 0 x 1 |
1, x 1
|
0, |
|
|
|
|
x |
1 |
|
|
||||||
4.2. F (x) |
|
1 |
x |
1 2 , |
1 |
x |
1 |
||||||||
4 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
1, |
|
|
|
|
|
x |
1 |
|
|
|||||
|
0, |
|
|
|
|
x |
1; |
|
|
||||||
4.4. F (x) |
|
|
|
x2 |
x |
|
, |
1 |
x |
2 |
|
||||
2 |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
1, |
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
||||||
|
0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
1; |
||||
4.6. F (x) |
1 |
|
x2 |
4x |
3 , |
1 |
x 0 |
||||||||
3 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
0 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
0, |
|
|
|
|
|
x |
2; |
|||||||
4.8. F (x) |
|
|
|
|
x |
2 2 |
, |
2 |
x |
2 |
|||||
16 |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
1, |
|
|
|
|
|
x |
2 |
|||||||
|
0, |
|
x |
|
0; |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
4.10. F (x) |
|
|
, |
0 |
x |
2 |
|
|
|||||||
4 |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
1, |
|
x |
2 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9
V.Задачи 5.1-5.10
Известны математическое ожидание a и среднее квадратичное отклонение нормально распределенной случайной величины X. Найти вероят-
ность попадания этой величины в заданный интервал ( |
; ). |
|||
5.1 |
a = 10, |
= 4, |
= 8, |
= 13. |
5.2 |
a = 9, |
= 5, |
= 10, |
= 14. |
5.3 |
a = 8, |
= 1, |
= 4, |
= 8. |
5.4 |
a = 7, |
= 2, |
= 2, |
= 9. |
5.5 |
a = 6, |
= 3, |
= 6, |
= 10. |
5.6 |
a = 5, |
= 1, |
= 3, |
= 4. |
5.7 |
a = 4, |
= 5, |
= 2, |
= 9. |
5.8 |
a = 8, |
= 2, |
= 8, |
= 10. |
5.9 |
a = 5, |
= 5, |
= 6, |
= 8. |
5.10 |
a = 8, |
= 4, |
= 6, |
= 10. |
10