Морозов Введение в теорию горячей плазмы Част2 2013
.pdfМинистерство образования и науки Российской Федерации
Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ»
Д.Х. Морозов
Введение в теорию горячей плазмы
Часть 2
Рекомендовано к изданию УМО «Ядерные физика и технологии»
Москва 2013
УДК 533.9.01(075.8)+621.039.616/.66(075.8) ББК 22.333я7+31.292я7 М80
Морозов Д.Х. Введение в теорию горячей плазмы. Ч. 2. М.:
НИЯУ МИФИ, 2013. – 100 с.
Во второй части пособия «Введение в теорию горячей плазмы» на основе теоретических представлений, изложенных в первой части, рассматриваются основные элементы теории равновесия и устойчивости горячей плазмы в тороидальных системах. Излагается неоклассическая теория переноса в токамаке. Пожалуй, впервые в учебной литературе представлены элементы теории плазмы с примесями, играющие очень важную роль для холодных периферийных областей термоядерных устройств. Несмотря на сравнительно небольшой объём, занимаемый холодной периферийной плазмой, периферия в ряде случаев играет определяющую роль в проблеме удержания. В частности, именно процессы в периферийной области вызывают срыв разряда во всем объёме (так называемый большой срыв).
Как и первая часть пособия, вторая часть предназначена для студентов старших курсов и аспирантов физических факультетов вузов.
Подготовлено в рамках Программы создания и развития НИЯУ МИФИ.
Рецензенты: д-р физ.-мат. наук, проф. В.И. Ильгисонис, д-р физ.-мат. наук, проф. В.М. Жданов
ISBN 978-5-7262-1809-0
© Национальный исследовательский ядерный университет
«МИФИ», 2013
2
ОГЛАВЛЕНИЕ |
|
Предисловие .......................................................................................... |
4 |
Глава 1. Равновесие плазмы в системах |
|
с замкнутыми магнитными поверхностями ........................................ |
5 |
1.1. Уравнение Шафранова–Грэда ................................................. |
5 |
1.2. Равновесие плазмы в токамаке .............................................. |
12 |
Глава 2. Гидродинамический подход к описанию |
|
неустойчивостей .................................................................................. |
16 |
2.1. Метод малых возмущений ..................................................... |
17 |
2.2. Энергетический принцип ....................................................... |
22 |
Глава 3. Устойчивость идеальной плазмы |
|
в системах с замкнутыми магнитными поверхностями .................. |
26 |
3.1. Желобковая неустойчивость .................................................. |
26 |
3.2. Неустойчивости цилиндрически |
|
симметричных плазменных конфигураций ................................. |
33 |
3.3. Винтовая неустойчивость ...................................................... |
35 |
3.4. Неустойчивость шнура с распределённым током ............... |
42 |
3.5. Винтовая неустойчивость в системах |
|
типа «токамак» ............................................................................... |
49 |
3.6. Ионная температурно-дрейфовая неустойчивость. |
|
ITG-mode ......................................................................................... |
54 |
3.7. Неустойчивость на запертых частицах ................................. |
57 |
Глава 4. Резистивные неустойчивости .............................................. |
62 |
4.1. Тиринг-мода ............................................................................ |
62 |
4.2. Дрейфовая диссипативная неустойчивость .......................... |
70 |
Глава 5.Элементы теории переноса тепла и частиц ........................ |
75 |
5.1. Классическая теория переноса ............................................... |
75 |
5.2. Неоклассическая теория переноса ......................................... |
77 |
Глава 6. Излучение плазмы ................................................................ |
84 |
6.1. Циклотронное и тормозное излучения ................................. |
85 |
6.2. Линейчатое и рекомбинационное излучения ....................... |
86 |
6.3. Радиационно-конденсационная неустойчивость. |
|
MARFE ............................................................................................ |
92 |
Заключение .......................................................................................... |
96 |
Список рекомендуемой литературы .................................................. |
97 |
3
ПРЕДИСЛОВИЕ
Настоящее учебное пособие основано на курсе лекций, который в течение ряда лет читается студентам кафедры физики плазмы НИЯУ МИФИ. В пособии изложены основные явления в горячей плазме и теоретические методы их изучения. Рассмотрены траектории отдельных частиц в электрических и магнитных полях, структура магнитных полей в токамаке, кинетическое и магнитогидродинамическое описание плазмы как сплошной среды, рассмотрены линейные колебания и волны в однородной плазме, бесстолкновительное затухание Ландау, а также ряд нелинейных явлений.
Вторая часть пособия в большей степени ориентирована на теорию магнитного удержания.
Основная часть второй части пособия посвящена трём наиболее важным проблемам в теории магнитного удержания:
1.Равновесие в системах с замкнутыми магнитными поверхностями.
2.Устойчивость плазмы в системах для магнитного удержания.
3.Перенос тепла и частиц.
Раздел первый (глава 1) посвящен равновесию плазмы в тороидальных системах. Получено уравнение Шафранова–Грэда и рассмотрено равновесие плазмы в токамаке.
Второй раздел изложен в главах 2–4.
В главе 2 рассмотрены два подхода: энергетический принцип и метод малых возмущений.
Глава 3 посвящена следующим неустойчивостям идеальной плазмы:
1.Винтовая и желобковая неустойчивости.
2.Температурно-дрейфовые неустойчивости на ионах (ITG мо-
да).
3.Неустойчивость на запертых частицах.
Две важные диссипативные неустойчивости рассматриваются в главе 4. Это тиринг-мода и дрейфовая диссипативная неустойчивость.
Глава 5 содержит элементы теории переноса. Рассмотрены классическая и неоклассическая теории и приведён ряд результатов, посвященных аномальному переносу. К сожалению, за пределами
4
данного пособия остались результаты нелинейного переноса на баллонных модах.
Глава 6 посвящена плазме с примесями. Анализируются различные виды излучения из плазмы и приведены аппроксимационные формулы для скоростей ионизации, рекомбинации и интенсивностей излучения. Рассмотрены радиационно-рекомбинационная неустойчивость и такое интересное явление, как MARFE (Microfaceted Asimmetric Radiation From the Edge).
ГЛАВА 1. РАВНОВЕСИЕ ПЛАЗМЫ В СИСТЕМАХ
СЗАМКНУТЫМИ МАГНИТНЫМИ ПОВЕРХНОСТЯМИ
1.1.Уравнение Шафранова–Грэда
Рассмотрим равновесное стационарное состояние плазмы в системе с замкнутыми магнитными поверхностями. Оно описывается уравнениями двухжидкостной гидродинамики для электронов и ионов соответственно:
mi ni (Vi , )Vi =- Pi + Zeni [Vi ,H]+Fi ;
|
c |
(1.1.1) |
||
mene (Ve , )Ve =- Pe - |
ene |
[Ve ,H]-Fe . |
||
|
||||
|
|
|||
|
c |
|
Здесь F – сила трения между электронами и ионами. Если скорость макроскопического движения плазмы V мала по сравнению с тепловой скоростью VT, то инерционными членами в левых частях (1.1.1) можно пренебречь. Действительно, градиент давления в правых частях можно представить как nmVT2/2a, где a – характерный масштаб профиля давления. Если масштаб изменения профиля скорости имеет тот же порядок, что и профиль давления, то инерционный член в левых частях (1.1.1) мал по сравнению с градиентом давления. В противном случае инерционный член следует‒ учитывать. Сложив два уравнения, c учётом ji = Ze Vi, je= enVe, j=je+ji, P=Pe+Pi, получаем условие равновесия при дозвуковых скоростях вращения плазмы:
P = |
1 |
[j,H]. |
(1.1.2) |
|
c |
|
|
Заметим, что мы пренебрегли вязкостью плазмы.
5
В случае околозвуковых или сверхзвуковых течений член mi ni(Vi. )Vi также следует сохранять.
К уравнению (1.1.2) следует добавить стационарные уравнения
Максвелла |
|
rotH = (4πc )j, |
(1.1.3) |
divH = 0. |
|
Умножая скалярно (1.1.2) на H, получаем |
|
(H, P)= 0. |
(1.1.4) |
Таким образом, давление постоянно вдоль силовых линий. Умножая то же уравнение на j скалярно, находим, что давление
постоянно вдоль линий тока
(j, P)= 0 . |
(1.1.5) |
В замагниченной плазме можно ввести магнитное давление H 2(8π). Тогда, используя уравнение (1.1.3) и равенство
[rotH,H]= − H 22+(H, )H ,
условие равновесия (1.1.2) можно переписать через полное давление Ptot = P+ H2(8π)
|
H |
2 |
|
|
1 |
(H, )H . |
|
|
P+ |
|
|
= |
(1.1.6) |
||||
8π |
4π |
|||||||
|
|
|
|
|
В качестве примера рассмотрим простейшую цилиндрически симметричную плазменную конфигурацию, ось которой совпадает с осью z. Пусть ток в такой конфигурации течёт вдоль этой оси. Магнитное поле имеет две составляющие, осевую Hz(r), направленную вдоль оси z, и азимутальную Hθ = Hθ (r,z) . Тогда r и
z-компоненты уравнения (1.1.6) имеют вид
∂ |
|
H |
2 |
|
|
2 |
|
P + |
|
|
= − |
Hθ |
; |
||
|
8π |
4πr |
|||||
∂r |
|
|
|
||||
∂ |
|
H |
2 |
|
|
|
|
P+ |
|
|
= 0 . |
|
|||
|
8π |
|
|||||
∂z |
|
|
|
|
(1.1.7)
(1.1.8)
Уравнение (1.1.8) означает лишь однородность конфигурации вдоль оси z. Уравнение (1.1.7) должно быть дополнено уравнения-
6
ми Максвелла. Полученные уравнения выражают давление через магнитное поле, но не могут служить для определения того и другого по отдельности. Эту задачу можно решить только с использованием уравнений переноса.
Для рассмотрения реальных плазменных конфигураций, например, токамака, используется так называемое уравнение Шафрано- ва–Грэда. Оно было получено сначала В.Д. Шафрановым, а затем, независимо от него, Грэдом. Тороидально симметричная конфигурация описывается с помощью системы координат, в которой координатными являются поверхности, параллельные магнитному полю и перпендикулярные ему. В простейшем случае, описанном
выше, такими поверхностями являются поверхности |
r = const и |
θ = const соответственно. |
z , ось сим- |
Введем цилиндрическую систему координат r, ζ, |
|
метрии z которой совпадает с осью тора (рис. 1). |
|
Рис. 1. Тороидальная плазменная конфигурация
Магнитное поле в такой системе может быть описано с помощью двух компонент векторного потенциала Aζ (r,z) и Az (r, z).
7
Компоненты магнитного поля выражаются через них следующим образом:
1 |
∂ |
1 ∂ |
1 ∂ |
(1.1.9) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
||
Hr = − r |
∂z rAz , Hζ = − r ∂z rAζ , Hz = r |
∂r rAζ . |
||||||
|
Здесь мы для удобства правые части разделили и умножили на r.
Введем функцию ψ = rAζ . Тогда равенства (1.1.9) перепишутся
следующим образом: |
|
|
|||
Hr = − |
1 ∂ψ |
; |
Hz = |
1 ∂ψ . |
(1.1.10) |
|
r ∂z |
|
|
r ∂r |
|
В силу цилиндрической симметрии давление плазмы не зависит от угла ζ. Поэтому условие (1.1.5) можно записать в виде
H |
∂P |
+ H |
∂P |
= 0. |
|
(1.1.11) |
|
|
r ∂r |
|
z ∂z |
|
∂P |
= dP ∂ψ |
|
Подставляя (1.1.10) в (1.1.11) и учитывая, что |
и |
||||||
|
|
|
|
|
∂r |
dψ ∂r |
|
∂∂Pz = ddPψ ∂ψ∂z , видим, что это условие выполняется, если давление
P зависит только от ψ .
Используя (1.1.10), легко видеть, что (H, ψ) = 0. Это означает, что силовые линии магнитного поля лежат на поверхностях
ψ= const .
Встационарном случае сумма уравнений непрерывности для электронов и ионов дает
div j = 0. |
(1.1.12) |
Таким образом, для тока можно проделать те же операции, что и
для H. Аналогично функции |
ψ можно ввести функцию I, через |
||||
которую выражаются компоненты тока: |
|||||
j = −1 ∂I ; |
j |
z |
= 1 ∂I . |
(1.1.13) |
|
r |
r ∂z |
|
r ∂r |
|
|
|
|
|
|
Из условия (j, P ) = 0 получаем, что давление плазмы является функцией I.
Тороидальная составляющая магнитного поля легко выражается через функцию I. Действительно, радиальная и осевая составляющие уравнения
8
rotH = |
|
4π |
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.1.14) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
принимают вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
∂Hζ |
+ |
4π |
j |
r |
= 0; |
1 ∂ |
rH |
|
− |
4π |
j |
z |
= 0. |
(1.1.15) |
||||||||
|
∂z |
|
c |
|
r |
|
∂r |
|
ζ |
c |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Выражая ток через I, получаем |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
∂ |
|
|
|
4π |
|
1 |
|
∂ |
|
|
|
4π |
|
|
|
|
||||||
|
|
Hζ − |
|
c |
I = |
|
|
|
|
rHζ − |
c |
I |
|
= 0 , |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
∂z |
|
|
|
|
|
r ∂r |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
то есть |
|
4π I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
rHζ = |
+ const , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.1.16) |
||||||||||
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
причём без ограничения общности константу можно положить равной нулю.
Рассмотрим теперь z-ю составляющую уравнения (1.1.14).
∂Hr |
− |
∂Hz |
= |
4π jζ . |
(1.1.17) |
∂z |
|
∂r |
|
c |
|
Выражая магнитные поля через ψ , это уравнение можно приве-
сти к виду |
|
|
|
|
|
|
||
∂2ψ |
+ r |
∂ 1 ∂ψ |
= − |
4π |
rjζ . |
(1.1.18) |
||
∂z2 |
|
|
|
|||||
∂r r ∂r |
c |
|||||||
|
|
|
|
Воспользуемся радиальной составляющей уравнения равновесия (1.1.2) и подставим в неё Hz из (1.1.10) и jz из (1.13). Кроме
того, учтём, что давление Р зависит только от ψ . В результате, сократив левую и правую части уравнения на ∂ψ / ∂r , получаем следующее выражение для азимутальной составляющей тока:
jζ |
= r |
dP |
+ |
4π |
I |
dI |
. |
(1.1.19) |
|
c |
dψ |
rc2 |
dψ |
||||||
|
|
|
|
|
Окончательно, подставив теперь это выражение в (1.1.18), получим уравнение Шафранова–Грэда
∂2ψ |
|
∂ 1 ∂ψ |
|
2 dP |
|
4π 2 |
dI |
. |
(1.1.20) |
|||||
|
2 |
+ r |
|
|
= −4πr |
|
− |
|
|
I |
|
|||
∂z |
∂r r ∂r |
dψ |
c |
dψ |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Если задать давление и ток как функции магнитных поверхностей, то есть P = P(ψ) , I = I (ψ) (напомним, что ток выражается
9
через производные от функции I), можно найти форму этих поверхностей. Если задать форму магнитных поверхностей
ψ= ψ(r,z), можно найти связь между током и давлением.
Вкачестве примера рассмотрим тороидально симметричную конфигурацию «сферомак». Его можно представить себе как кольцо с током радиуса R, помещенное во внешнее однородное магнитное поле. Ось симметрии кольца по направлению совпадает с направлением этого поля (рис. 2).
Втакой конфигурации полоидальная составляющая тока равна
нулю, то есть можно положить I = 0. Профиль давления зададим как
P(ψ) = a +bψ. |
(1.1.21) |
||
Уравнение Шафранова–Грэда в этом случае принимает вид |
|||
∂2ψ |
+ ∂2ψ |
− 1 ∂ψ = −4πr2b. |
(1.1.22) |
∂z2 |
∂r2 |
r ∂r |
|
Решение этого уравнения можно представить в виде |
|
||
ψ = Ar2 (B − r2 −Cz2 ), |
(1.1.23) |
если константы A и C связаны соотношением 2A(4+ C) = 4πb.
Переопределив константы, выражение (1.1.23) можно переписать в виде
|
|
|
r2 |
|
r2 |
|
|
|
|
|
2 |
z2 |
|
|
|
|
|||||
ψ = ψ0 |
|
|
|
|
2− |
|
|
|
|
− 4α |
|
|
|
. |
(1.1.24) |
||||||
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
R |
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
||
Введем |
|
|
|
безразмерные |
|
|
переменные |
r '= r / R, z '= z / R и |
|||||||||||||
ψ'= ψ / ψ0 . |
|
Уравнение магнитных поверхностей ψ'= const в но- |
|||||||||||||||||||
вых переменных принимает вид |
|
||||||||||||||||||||
r '4 |
− 2r '2 |
( |
|
|
|
'2 |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
1− 2α2z |
|
+ ψ'= |
0 |
|
|
|
(1.1.25) |
|||||||||||||
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
|
|
) |
2 −ψ' . |
(1.1.26) |
|||
r '2 |
=1− 2α2z '2 ± |
|
|
|
1− 2α2z |
'2 |
|
Рассмотрим форму магнитных поверхностей при различных значениях ψ' :
а) ψ'< 0. В этом случае для r '2 имеется одно положительное решение при всех z′ . Геометрическим местом точек, соответству-
10