Калашников Руководство к решению задач по физике 2012
.pdfЗадача 2.4.2. Электрон движется со скоростью v = 200 Мм/с. Определить длину волны де Бройля. (2,71 пм)
Задача 2.4.3. Электрон, начальной скоростью которого можно пренебречь, прошел ускоряющую разность потенциалов
U. Найти длину волны де Бройля для двух случаев: 1) U =51В;
2)U = 510 кВ. (1 – 172 пм; 2 – 1,40 пм)
Задача 2.4.4. Какую ускоряющую разность потенциалов U должен пройти электрон, чтобы длина волны де Бройля была равна
0,1 нм? (150 В)
Задача 2.4.5. Определить длину волны де Бройля электрона, если его кинетическая энергия T =1кэВ. (38,8 пм)
Задача 2.4.6. Найти длину волны де Бройля протона, прошедшего ускоряющую разность потенциалов U : 1) 1 кВ; 2) 1 МВ. (1 – 905 фм; 2 − 28,6 фм)
Задача 2.4.7. С какой скоростью движется электрон, если длина волны де Бройля электрона равна его комптоновской длине? Как изменится ответ для протона? (212 Мм/с)
Задача 2.4.8. Вычислите отношение кинетической энергии электрона к кинетической энергии протона с одинаковой длиной волны. Предполагается, что скорости обеих частиц гораздо меньше
скорости света. (Ek(e) / Ek(p) =1836)
Задача 2.4.9. Типичное значение концентрации электронов проводимости в металле n 5 1028 м−3 . Оценить температуры, при которых электронный газ можно рассматривать как газ классических частиц. (T >160 000К)
Задача 2.4.10. Типичное значение концентрации электронов
проводимости в металле n 5 1028 м−3 |
Найти длину волны де |
Бройля λ электронов при T =300 К |
и среднее расстояние l |
между ними. (λ = 6, 2 нм, l = 270 пм) |
|
71
Задача 2.4.11. Плотность жидкого гелия равна ρ = 0,14 г/см3.
Оценить температуру T , при которой становятся важны квантовые эффекты (см. пример 2.4.4). Сравнить ее с температурой сжижения
гелия (4 К). (T =12 К, т.е. жидкий гелий – заведомо квантовая жидкость.)
Задача 2.4.12. Плотность жидкого азота равна ρ =808 кг/м3.
Оценить температуру T , при которой становятся важны квантовые эффекты (см. пример 2.4.4). Сравнить ее с температурой сжижения
азота (126 К). Массу молекулы азота N2 принять равной массе 28 протонов. (T =1,5 К, т.е. жидкий азот – классическая жидкость)
Задача 2.4.13. Определить длину волны де Бройля λe
электронов, бомбардирующих антикатод рентгеновской трубки, если граница сплошного рентгеновского спектра приходится на
длину волны λγ =3 нм. (Подсказка: рассмотреть случай, когда вся
кинетическая энергия электрона переходит в энергию гаммакванта.) ( λe = 0,06 нм)
Задача 2.4.14. Параллельный пучок электронов, движущихся с одинаковой скоростью v =1Мм/с, падает нормально на
диафрагму с длинной щелью шириной a =1 мкм. Проходя через щель, электроны рассеиваются и образуют дифракционную картину на экране, расположенном на расстоянии l = 50 см от
щели параллельно плоскости диафрагмы. Определить линейное расстояние x между дифракционными минимумами первого порядка. (0,73 мм)
Задача 2.4.15. В примере 2.4.5 найти расстояние между двумя максимумами первого порядка. (60 мкм)
Задача 2.4.16. Постоянная кристаллической решетки d =3Å. Пучок электронов падает на естественную грань монокристалла.
Угол скольжения электронного пучка равен θ = π6 . Наблюдение
отраженных электронов производится под углом, равным углу падения. Пренебрегая преломлением электронных волн,
72
определить энергии электронов, при которых наблюдается два
|
|
|
( En |
|
π |
2 |
1 |
n |
2 |
|
первых |
максимум |
отражения. |
= |
|
|
|
|
, |
||
|
2m0 |
|
||||||||
|
|
|
|
d sin θ |
|
|
|
|||
E1 =1,68 эВ, E2 = 6,7 эВ)
Соотношения неопределенностей
Задача 2.4.17. Скорость протона составляет (8,880±0,012)·105 м/с. С какой максимальной точностью можно измерить его положение?
(5,3 10−11 м)
Задача 2.4.18. Положение электрона можно измерить с точностью 1,6·10-8 м. С какой точностью можно определить его скорость? (7,2 км/с)
Задача 2.4.19. В опытах по дифракции электронов на поликристаллической фольге найдено, что диаметр дифракционного кольца, соответствующего отражению первого порядка от плоскостей с межплоскостным расстоянием d, равен r = = 3 см. Расстояние от фольги до экрана равно l = 15 см. Определить
величину d. Энергия электронов равна 300 эВ. ( d = 2sinλ θ , где θ –
угол скольжения, θ = |
1 arcsin |
r |
; d = 3,1Å ) |
|
r 2 + l 2 |
||||
|
2 |
|
Задача 2.4.20. Пуля массой 12 г вылетает из ружейного ствола со скоростью 450 м/с. а) Какая длина волны де Бройля соответствует пуле? б) Положение пули известно с точностью до 0,55 см (радиус ствола). Чему равна минимальная неопределенность ее импульса? в) Как далеко могла бы отклонится от центра мишени пуля при стрельбе с дистанции 300 м, если бы точность попадания определялась лишь принципом неопределенности (неразумность такого предположения вряд ли
нуждается в комментариях)? (а – 1,2·10-34 м; б – 1,9·10-30кг·м/с; в –
1,1·10-30 м)
73
Задача 2.4.21. Определить неточность x в определении координаты электрона, движущегося в атоме водорода со
скоростью м/с если допустимая неточность v в определении скорости составляет 10 % ее величины. Сравнить полученную неточность с диаметром d атома водорода, вычисленным по теории Бора для основного состояния, и указать, применимо ли понятие траектории в данном случае. ( x 0,77 нм;
d 2aБ = 0,106 нм; неприменимо, таккак |
x |
d ) |
T =15 эВ |
||||
|
Задача 2.4.22. Электрон с кинетической энергией |
||||||
находится в |
металлической |
пылинке |
диаметром |
d =1 мкм. |
|||
Оценить абсолютную ( |
v ) и относительную ( |
v / v ) неточности, |
|||||
с |
которыми |
может |
быть |
определена скорость |
электрона. |
||
( |
v 230 м/с; |
v / v 1 10−4 ) |
|
|
|
|
|
|
Задача 2.4.23. Во сколько раз дебройлевская длина волны λ |
||||||
частицы меньше неопределенности x |
ее координаты, которая |
||||||
соответствует относительной неопределенности импульса в 1 %? (в x / λ ≈16 раз)
Задача 2.4.24. Предполагая, что неопределенность координаты движущейся частицы равна дебройлевской длине волны, определить относительную неточность p / p импульса этой
величины. (16 %)
Задача 2.4.25. С какой точностью можно измерить положение электрона с энергией Ek =1,50 кэВ, если энергия известна с
точностью до 1 %? (1,0 нм)
Задача 2.4.26. Используя соотношение неопределенностей, оценить низший энергетический уровень электрона в атоме водорода. Принять линейные размеры атома l 0,1 нм.
(E0 2,4 10−18 Дж = 15 эВ)
Задача 2.4.27. Частица массой т находится в потенциальной яме, имеющей формулу полусферы радиусом R. Оцените приближенно кинетическую энергию частицы в основном состоянии. (Рассмотрите только нерелятивистский квантовый
74
случай). (В соответствии с принципом неопределенностей p ≈ R :
T = |
p2 |
≈ |
2 |
) |
|
2m |
2mR2 |
||||
кин |
|
|
Задача 2.4.28. Приняв, что минимальная энергия E протона в ядре равна 10 МэВ, оценить, исходя из соотношения неопределенностей, линейные размеры ядра. (2,9 фм)
Задача 2.4.29. Показать, используя соотношение неопределенностей, что в ядре не могут находится электроны. Линейные размеры ядра принять равными 5 фм (Подсказка:
оценить кинетическую энергию Ek электронов в ядре и сравнить с энергией связи Eсв частиц в ядре, равной 10 МэВ) ( Ek 78 МэВ,
т.е. Ek Eсв ).
Задача 2.4.30. Рассмотрим следующий мысленный эксперимент. Пусть моноэнергетический пучок электронов (T =10 эВ) падает на щель шириной a . Можно считать, что если
электрон прошел через щель, то его координата известна с
неточностью |
x = a . Оценить получаемую при |
этом |
относительную |
неточность в определении импульса |
px / p |
электрона в двух случаях: 1) a =10 нм; 2) a = 0,1 нм. (1 – 0,006; 2 – 0,6)
Задача 2.4.31. Предположим, что вы играете в бейсбол в мире,
где значение постоянной Планка = 0,70 |
Дж·с. Мяч массой |
m =140 г летит со скоростью v =(20 ±1,0) |
м/с. Почему трудно |
поймать такой мяч? (Неопределенность положения мяча x = 5 м)
Задача 2.4.32. Предположим, что после игры в бейсбол в мире, где значение постоянной Планка = 0,70 Дж·с, вы положили мяч
в ящик шириной L = 0,5 м. Какой должна быть высота H ящика, чтобы вы могли найти в нем мяч на следующий день? Масса мяча
75
m =140 г, ускорение свободного падения имеет обычное значение. ( H ≥ 20,4 м)
Задача |
2.4.33. Используя |
соотношение неопределенностей |
E t ≥ |
, оценить ширину |
E энергетического уровня в атоме |
водорода, находящегося: 1) в основном состоянии; 2) в возбужденном состоянии (время жизни атома в возбужденном
состоянии равно 10−8 с). (1 – |
E = 0; 2 – E = 0,06 мкэВ) |
|
Задача 2.4.34. Оценить |
относительную ширину |
ω/ ω |
спектральной линии, если известны время жизни атома в |
||
возбужденном состоянии |
(τ =10−8 с) |
и длина волны |
(λ = 0,6 мкм) излучаемого фотона. (3,2·10-8)
Задача 2.4.35. Моноэнергетический пучок электронов высвечивает в центре экрана электронно-лучевой трубки пятно
радиусом r ≈10−3 м. Пользуясь соотношением неопределенностей, определить, во сколько раз неопределенность x координаты на экране в направлении, перпендикулярном от трубки, меньше размера r пятна. Длину L электронно-лучевой трубки принять равной 0,50 м, а ускоряющее электрон напряжение U – равным
20 кВ.
Задача 2.4.36. Пылинки массой m =10−12 г взвешены в воздухе и находятся в тепловом равновесии. Можно ли установить, наблюдая за движением пылинок, отклонение от законов классической механики? (Принять, что воздух находится при нормальных условиях, пылинки имеют сферическую форму.
Плотность |
вещества, |
из |
которого |
состоят |
пылинки, равна |
|||
2 103 кг/м3.) (Нет: Δρ/ ρ ≈ 3 10−11 ) |
|
|
|
|||||
Задача |
2.4.37. |
Используя |
соотношение |
неопределенностей |
||||
x px ≥ , |
найти |
выражение, |
позволяющее |
оценить |
||||
минимальную энергию E электрона, находящегося в одномерном |
||||||||
потенциальном ящике шириной l. ( Emin |
= 2 2 / (ml2 )) |
|
||||||
Задача |
2.4.38. |
Оценить |
относительную |
ширину |
ω/ ω |
|||
спектральной линии, |
если |
известны |
время |
жизни |
атома в |
|||
|
|
|
|
|
76 |
|
|
|
возбужденном состоянии (τ≈10−8 с) и длина волны излучаемого фотона (λ = 0,6 мкм). ( 3 10−8 )
2.5. Простейшие случаи движения микрочастиц. Уравнение Шредингера
2.5.1.Основные понятия, законы и формулы
•Общее уравнение Шредингера:
i ∂∂t ψ(t, r )= − 2m2 Δψ(t, r )+U (r )ψ(t, r ), (2.5.1)
где ψ(t, r ) — полная волновая функция, — оператор Лапласа,
U (r ) — потенциальная энергия частицы.
• |
Оператор Лапласа в декартовых координатах: |
|
||||||||
|
= |
∂2 |
+ |
∂2 |
+ |
∂2 |
. |
(2.5.2) |
||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
∂x2 |
∂y2 |
∂z2 |
|
|||||
• |
Стационарное решение уравнения Шредингера: |
|
||||||||
|
ψ(t, r )= e− |
i |
Et ψ(r ), |
(2.5.3) |
||||||
|
|
|||||||||
где E — полная энергия частицы, ψ(r ) — стационарная волновая функция (координатная часть полной волновой функции).
• Стационарное уравнение Шредингера. Подстановка стационарного решения (2.5.3) в (2.5.2) приводит к уравнению для стационарной волновой функции:
2
− 2m Δψ(r )+U (r )ψ(r )= Eψ(r ). (2.5.4)
Для решения уравнения Шредингера должны удовлетворяться стандартные условия: конечность во всем пространстве,
77
однозначность, непрерывность самой Ψ -функции и ее первой производной. Должно быть выполнено также условие нормировки:
∫ |
|
ψ(r ) |
|
2dV =1, |
(2.5.5) |
|
|
||||
V |
|
||||
где интеграл берется по всему пространству.
• В одномерном случае потенциальная энергия и волновая функция зависят лишь от одной из координат (выберем на ее роль координату x ). Тогда от оператора Лапласа (2.5.2) остается лишь вторая производная по x , и уравнение (2.5.6) упрощается:
− |
2 |
|
d 2ψ(x) |
+U (x)ψ(x)= Eψ(x). |
(2.5.6) |
||||
2m |
|
|
|
||||||
|
|
dx2 |
|
||||||
Условие нормировки в одномерном случае имеет вид |
|
||||||||
|
|
|
∞∫ |
|
ψ(x) |
|
2dx =1. |
(2.5.7) |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
−∞ |
|
|||||
•Физический смысл волновой функции. В одномерном
случае вероятность dW обнаружить частицу в интервале от x до x +dx выражается соотношением
|
|
dW = |
|
ψ(x) |
|
2 dx , |
(2.5.8) |
||
|
|
||||||||
где квадрат модуля |
|
Ψ(x) |
|
2 волновой |
функции определяет |
||||
|
|
||||||||
плотность вероятности найти частицу в точке x .
Вероятность W обнаружить частицу в интервале от x = x1 до
x = x2 следует тогда из сложения вероятностей |
как сумма |
||||
(интеграл) dW по всем точкам отрезка: |
|
||||
x |
|
|
|
|
|
W = ∫2 |
|
ψ(x) |
|
2dx . |
(2.5.9) |
|
|
||||
x1 |
|
|
|
|
|
78
•Собственное значение энергии En частицы, находящейся
на энергетическом уровне с номером n в бесконечно глубокой одномерной прямоугольной потенциальной яме, определяется выражением
E |
|
= |
π2 2 |
n2 |
, n =1, 2, 3,..., |
(2.5.10) |
|
n |
|
||||||
2ml2 |
|||||||
|
|
|
|
|
где m — масса частицы, а l — ширина потенциальной ямы.
Формула (2.5.10) может быть записана в виде безразмерного отношения комптоновской длины волны частицы λC к ширине ямы:
En = |
mc2 |
|
λ |
|
2 |
, n =1, 2, 3,.... |
(2.5.11) |
|
8 |
|
|
C |
n2 |
||||
|
|
l |
|
|
|
|
||
Соответствующая уровню n собственная волновая функция имеет вид
0, если x ≤ |
0 или |
x ≥ l, |
||||||
|
2 |
|
|
|
x |
|
(2.5.12) |
|
ψ(x)= |
|
|
|
|||||
|
l |
sin |
πn |
|
|
|
, если 0 ≤ x ≤ l. |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
l |
|
|
||
•Энергетические уровни частицы, заключенной в
трехмерную прямоугольную потенциальную яму с |
размерами |
||||||||||
l1, l2 , l3 вдоль координатных осей: |
|
|
|
||||||||
|
|
2 2 |
|
2 |
2 |
2 |
|
|
|
||
En ,n ,n |
= π |
|
|
n1 |
+ |
n2 |
+ |
n3 |
, |
n =1, 2, 3,.... |
(2.5.13) |
|
l2 |
l2 |
l2 |
||||||||
1 2 3 |
2m |
|
|
|
|
i |
|
||||
|
|
|
1 |
2 |
3 |
|
|
||||
Соответствующая уровню (n1, n2 , n3 ) волновая функция является произведением одномерных волновых функций:
ψn , n , n (x, y, z)= |
8 |
|
πn1 |
x |
|
|
πn2 |
y |
|
|
πn3 |
z |
|
|
|||
sin |
sin |
sin |
|
. (2.5.14) |
|||||||||||||
l1l2l3 |
|
|
|
||||||||||||||
1 |
2 |
3 |
|
|
l1 |
|
|
l2 |
|
|
l3 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
79
• Энергетические уровни одномерного осциллятора (потенциальная энергия имеет вид U (x) = mω2 x2 / 2 ) даются выражением
|
1 |
|
n = 0,1, 2,.... |
(2.5.15) |
||
En = ω n + |
2 |
, |
||||
|
|
|
|
|
||
Волновая функция основного состояния (n = 0, E0 = |
ω/ 2): |
|||||
ψ0 (x)= |
4 |
mω |
e−m2 |
ωx2 . |
(2.5.16) |
|
π |
||||||
|
|
|
|
|
||
•Коэффициенты отражения ρ и прохождения τ частиц
(волн де Бройля) через низкий |
(U < E) потенциальный барьер |
||||||
бесконечный ширины (потенциальная ступенька): |
|
||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
ρ = |
k1 − k2 |
, |
τ = |
4k1k2 |
|
, |
(2.5.17) |
|
(k1 + k2 ) |
2 |
|||||
k1 + k2 |
|
|
|
|
|||
где k1 и k2 — волновые числа волн де Бройля областях U (x)=0
и U (x)=U :
k1 = 1 2mE , k2 = 1 2m(E −U ) . |
(2.5.18) |
Как и для фотонов, волновой вектор частицы связан с ее импульсом: k = p . Сумма коэффициентов отражения и прохождения равна единице: ρ+τ =1.
•Коэффициент прозрачности потенциального барьера U (x)
|
|
2 |
x2 |
|
|
|
D ≈ exp − |
∫dx 2m (U (x)− E ) , |
(2.5.19) |
||
|
|
||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
где x1 и |
x2 — координаты точек, между которыми потенциальная |
||||
энергия |
превышает |
энергию |
частицы: U (x)≥ E . Для |
||
80