Калашников Руководство к решению задач по физике 2012

где п – концентрация носителей заряда.

3.2.2. Методические рекомендации по решению задач

Пример 3.2.1. Литий (37 Li) имеет плотность ρ = 534 10−3 кг/м3.

Определить значение граничной энергии Ферми в электрон-вольтах у электронов проводимости лития.

Решение. Атом лития имеет лишь один внешний (валентный) электрон; следовательно, концентрация электронов п равна числу атомов в единице объема лития. Поскольку атомная масса лития

6,94, то

n = NA = NA ρ = 6,022 1023 534 103 / 6,94 = 4,63 1028 м−3 . vm μ

Используя соотношение (3.2.5), получаем

EF = 2m2 (3π2n)2/3 = 7,55 10−19 Дж = 4,7 эВ.

Пример 3.2.2. Оценить энергию Ферми для кристалла серебра.

Решение. Энергию Ферми мы найдем по формуле (3.2.5), но нам надо знать концентрацию свободных электронов. Поскольку серебро – одновалентный металл, то каждый атом отдает в зону проводимости по одному электрону, так что концентрация последних равна концентрации атомов:

n= 6,022 1023 ×10,5 103 /107,87 10−3 = 5,86 1028 м-3.

Подставляя это значение в (3.1.20), находим

151

электронов, импульсы которых отличаются от максимального импульса pF не более, чем на 0,1pF . Энергия ФермиEF = 5 эВ.

Решение. Воспользуемся выражением (3.2.2) для распределения электронов в металле по энергиям, и перепишем его в виде

152

Пример 3.2.4. Кусок меди объемом V =1 см3 находится при температуре, очень близкой к абсолютному нулю. Предположим, что электроны в нем ведут себя подобно вырожденному газу Ферми. Определить характерные особенности распределения

электронов по энергиям dNdE и Emax .

Решение. При температуре абсолютного нуля все электроны занимают нижние энергетические уровни. В этом случае

dN ~ p2dp ~ EdE .

В результате интегрирования в пределах от 0 до Emax , где Emax –

энергияФерми, находим

N ~ Emax3/2 или Emax ~ N2/3 .

Энергия Ферми определяется выражением

Пример 3.2.5. Определить выражение средней кинетической энергии < E > в зависимости от энергии Ферми EF .

Решение. Если dn – число электронов, импульсы которых dp , то по определению средняя

Полное число электронов (удвоенное полное число состояний)

n = 8πVpF3 ,

3(n)3

где V = L3 – объем ящика.

Следовательно, dn = 8πVp2dp . h3

Таким образом,

153

Пример 3.2.6. Оценить давление электронного газа в металлическом натрии при T = 0 , если концентрация свободных

электронов в нем n = 2,5 1028 м-3. Воспользоваться уравнением для идеального газа.

Решение. Под уравнением идеального газа в этой задаче

пропорционально их числу, а здесь мы получили более сильную зависимость. Здесь проявился принцип Паули: ферми-частицы «мешают» друг другу, они вынуждены занимать всё более высокие энергетические состояния, что повышает их среднюю кинетическую энергию и, как следствие, давление.

Пример 3.2.7. Вычислить температуру идеального газа, у которого средняя кинетическая энергия частиц равна средней

154

кинетической энергии серебра (Ag) при абсолютном нуле

температуры. Предполагая, что на каждый атом серебра приходится один свободный электрон и эффективная масса

электрона m = m0 .

Решение. Средняя энергия электронов проводимости в металле при T = OK , согласно соотношениям (3.2.4) – (3.2.5) равна:

< E >кл = 32 kБT , где kБ – постоянная Больцмана. Тогда согласно условию задачи для T получим:

T = 2 < E > = 25 кК.

3 kБ

Пример 3.2.8. В идеальном электронном газе среднее число частиц в квантовом состоянии с энергией Ei равно

1)Получить выражение для μ в зависимости от плотности частиц n = VN , температуры Т и других параметров.

2)Показать, что эта формула в предельном случае nλ3 <<1 (где λ – дебройлевская длина волны для теплового движения частиц) сводится к распределению Максвелла–Больцмана.

3)Показать, что электронный газ в металле при комнатной температуре не соответствует предельному случаю и не описывается статистикой Максвелла–Больцмана.

Решение:

1.Параметр μ можно найти из условия

155

∑< ni >= n .

i

Используя выражение для < ni >, получаем

здесь множитель «2» в числителе обусловлен тем, что электроны обладают спином ½. Так как E = p2 / 2m , имеем

μ

Отсюда можно найти μ. В случае ekT <<1 подынтегральное

выражение можно разложить в ряд и получить следующее соотношение:

2. Дебройлевская длина волны для теплового движения частицы с массой т и энергией kT определяется выражением

λ= 2π 2 . mkT

При nλ3 <<1 в разложении для μ можно пренебречь членами высокого порядка малости и записать

156

Максвелла–Больцмана к электронному газу не применима.

Пример 3.2.9. Определить концентрацию свободных электронов в металле при температуре T = 0 К, если известно, что их средняя

энергияравна1,5 эВ.

Решение. Концентрацию свободных электронов определим с помощью формулы

EF = 2m2 (2π2n)2/3

для энергии Ферми, которая связана со средней энергией свободных электронов соотношением

вырождения) много меньше, чем для газа, состоящего из классических частиц. Чему приблизительно равняется отношение β = CV(e) / Cкл для натрия (Na ) при T = 300 К?

Решение. В тепловом движении из-за принципа Паули принимают участие только те электроны, которые находятся в состояниях с энергией, отличающейся от энергии Ферми на kБT .

157

Чтобы найти теплоемкость электронного газа, воспользуемся термодинамическим соотношением

Теплоемкость идеального газа классических частиц

Для натрия Na EF ≈ 3, 2 эВ. Поэтому при T = 300 К β ≈ 0,03.

Пример 3.2.11. Образец из германия n-типа в виде пластины длиной L = 10 см и шириной l = 6 мм помещен в однородное магнитное поле (В = 0,1 Тл) перпендикулярно линиям магнитной индукции. При напряжении U = 250 В, приложенном к концам

пластины, возникает холловская разность потенциалов UН = 8,8 мВ. Определить: 1) постоянную Холла Rн ; 2) концентрацию nn носителей тока. Удельнуюпроводимость γ германияпринять равной 80 См/м.

Решение:

1. При помещении полупроводника в магнитное поле (рис. 11) носители тока (в полупроводнике п-типа это электроны),

158

2. Концентрацию п носителей тока в полупроводнике одного типа (в нашем случае п-типа) можно найти из соотношения

RН = 38π en1 ,

где е – элементарный заряд. Отсюда

n = 3π . 8RНe

Произведя вычисления, получим п = 1023 электронов/м3.

Пример 3.2.12. Кремниевый образец нагревают от 0 до 10° С. Во сколько раз возрастает его электропроводность?

Решение. Отношение

Пример 3.2.13. Образец из чистого полупроводника нагревают от температуры Т1 = 250 К до Т2 = 375 К. При этом его удельная проводимость увеличивается в п = 800 раз. Как она изменится при последующем нагревании еще на T =125 К?

160