Ермолаева Физика разделы Колебания и волны Оптика 2015

Амплитуда результирующего колебания зависит от разности фаз (φ1 – φ2) складываемых колебаний.

Траектория точки, участвующей в двух взаимно перпендику- лярных колебаниях (x = A1cos(ωt), y = A2cos(ωt + ϕ)), определяется уравнениями:

1.1.2. Затухающие и вынужденные колебания. Переменный ток

Дифференциальное уравнение затухающих колебаний

где β – коэффициент затухания.

Уравнение смещения в затухающих колебаниях при наличии си-

лы сопротивления, пропорциональной скорости (Fсопр = –rV, где r – коэффициент сопротивления)

где А0е−βt − убывающая во времени амплитуда смещения; β – ко-

эффициент затухания; А0, ϕ0 - начальные амплитуда и фаза.

Связь между величинами β, ω и параметрами колебательной си-

11

Логарифмический декремент затухания Θ (характеризует быст-

где N – число колебаний.

Дифференциальное уравнение затухающих электромагнитных

где R – активное сопротивление.

Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний, возни-

кающих под действием внешней периодически изменяющейся си-

лы Fвн = F0sinωt:

где ω0 – собственная циклическая частота, ω – циклическая частота вынуждающей силы.

12

Дифференциальное уравнение вынужденных электрических ко-

лебаний

называются реактивным индуктивным сопротивлением (или ин- дуктивным сопротивлением) и реактивным емкостным сопротив- лением (или емкостным сопротивлением) соответственно.

Резонансная частота электромагнитных колебаний

Действующие (или эффективные) значения тока и напряжения

где Im и Um – максимальные значения тока и напряжения.

1.1.3. Упругие волны, электромагнитные волны

Уравнение плоской бегущей волны, распространяющейся вдоль координатной оси x, имеет вид

13

где у – смещение любой из точек среды с координатой х в момент t; V – скорость распространения колебаний в среде.

Для характеристики волн используется волновое число, которое показывает, сколько длин волн укладывается на отрезке длиной 2π:

ками среды, отсчитанным в направлении распространения коле- баний, определяется по формуле

В результате интерференции волн амплитуда достигает макси- мального значения при условии

Фазовая скорость (скорость распространения гармонической

Групповая скорость (скорость движения группы волн, образу- ющих в каждый момент времени локализованный в пространстве волновой пакет)

Связь между групповой и фазовой скоростью выражается в виде

14

Явление Доплера: если источник и приемник звука перемещают- ся относительно среды, в которой распространяется звук, то часто- та звуковых колебаний ν′, регистрируемая приемником звука, свя- зана с частотой колебаний источника звука ν соотношением

где с, u, V – скорости соответственно звука, его источника и при- емника.

Формула (1.52) относится к случаю, если источник и приемник движутся по одной прямой.

Уравнение электромагнитной волны:

где ε – диэлектрическая проницаемость среды; µ – магнитная про-

ных волн в вакууме.

Уравнениям (1.53) удовлетворяют плоские монохроматические волны, описываемые уравнениями:

где Е0 и Н0 –амплитуды напряженностей соответственно электри- ческого и магнитного полей волны, ω – круговая частота волны, k – волновое число, ϕ – начальные фазы колебаний в точках с коорди- натой х = 0.

Связь между мгновенными значениями векторов напряженно- стей электрического Е и магнитного Н полей волны в любой точке определяется по формуле

15

Вектор плотности потока электромагнитной волны (вектор

Интенсивность плоской монохроматической бегущей электро- магнитной волны прямо пропорциональна квадрату амплитуды ко- лебаний вектора Е ее поля:

1.1.4. Геометрическая оптика

Закон отражения света: угол падения α равен углу отражения β, причем падающий и отраженный лучи лежат в одной плоскости с перпендикуляром, восстановленным в точке падения, т.е. α = β.

Закон преломления света: луч падающий, луч преломленный и перпендикуляр, проведенный к границе раздела в точке падения, лежат в одной плоскости, отношение синуса угла падения к синусу угла преломления есть величина постоянная для данных сред:

где α – угол падения; γ – угол преломления; n21 – относительный показатель преломления среды.

Если требуется определить ход светового луча при наличии не- скольких преломляющих плоскостей, то закон преломления (1.61) применяется поочередно к каждому случаю преломления на грани- це двух сред с использованием геометрических соотношений, вы- текающих из условия задачи.

Если свет падает из среды оптически более плотной в среду оп- тически менее плотную (при условии, что угол падения превосхо- дит некоторый предельный угол αпр), то луч не преломляется, а

16

полностью отражается в первую среду, т.е. наблюдается явление

где f – расстояние от предмета до линзы; d – расстояние от линзы до изображения; F – фокусное расстояние.

Фокусное расстояние сферического зеркала

F = R/2, (1.64)

где R – радиус кривизны зеркала.

Формула сферического зеркала:

a1 a2 F

где а1 и а2 – расстояния от полюса зеркала соответственно до пред- мета и изображения.

Если изображение мнимое, то величина а2 берется со знаком минус. Если зеркало выпуклое, то величина F берется со знаком минус.

1.1.5. Интерференция света

17

где k = 0, 1, 2,...

Оптическая разность хода лучей, возникающая при отражении монохроматического света от верхней и нижней поверхностей тон- кой пленки, находящейся в воздухе, равна

где d – толщина пленки; n – показатель преломления пленки; i1, i2 – угол падения и угол преломления света в пленке; λ/2 учитывает изменение оптической длины пути при отражении от оптически более плотной среды.

Формула (1.72) выведена для случая, когда пленка (пластинка) окружена одинаковыми средами. При этом один из двух лучей от- ражается от границы с оптически менее плотной средой, другой – от границы с оптически более плотной средой. В последнем случае фаза светового колебания при отражении скачкообразно изменяет- ся на противоположную. Это изменение фазы соответствует изме- нению оптической разности хода лучей на λ/2.

Если тонкая пластинка окружена различными средами, то в за- висимости от соотношения между показателями преломления сред n1, n2 и пластинки n возможны следующие случаи:

а) n > n1, n > n2, при этом только луч 1 (падающий), отраженный от границы с оптически более плотной средой, «теряет» полуволну; б) n < n1, n < n2 – «теряет» полуволну только луч 2 (проходя-

щий);

в) n1 < n < n2 – оба луча «теряют» полуволну;

г) n1 > n >n2 – ни один луч не «теряет» полуволны.

Таким образом, формула (1.72) остается в силе для случаев а и б. В случаях в и г оба луча «теряют» полуволну, поэтому слагаемое λ/2 в (1.72) следует отбросить.

18

Радиус светлых колец Ньютона в отраженном свете равен

При интерференции света, известной под названием колец Ньютона, роль тонкой пленки играет воздушная прослойка между пластинкой и выпуклой поверхностью прижатой к ней линзы. Формулы (1.73) и (1.74) для радиусов колец выведены в предполо- жении, что эта прослойка окружена одинаковыми средами, т.е. пла- стинка и линза должны иметь одинаковые показатели преломле- ния. Если прослойка окружена различными средами, то следует применять те же рассуждения, что и при рассмотрении формулы (1.72). В частности, формулы для радиусов колец (1.73)–(1.74) остаются верными в случаях а и б. Если же выполняется условие в или г, то величина будет отличаться от той, что была в случаях а и б, на λ/2. Это вызовет обращение интерференционной картины: светлые и темные кольца поменяются местами. Теперь формула (1.74) будет определять радиусы светлых колец, а (1.73) – темных.

1.1.6. Дифракция света

Угол φ отклонения лучей, соответствующий максимуму (светлая полоса) при дифракции на одной щели, определяется из условия

где а – ширина щели; k – порядковый номер максимума. Дифракционный минимум от одной щели наблюдается, если

Условие главных максимумов для дифракционной решетки

Главные минимумы интенсивности для дифракционной решетки будут наблюдаться в направлениях, определяемых условием:

19

Условие дополнительных минимумов для дифракционной ре-

где m – порядковый номер минимума, m = 0, 1, 2, 3,…; d – пери-

где Δλ – наименьшая разность длин волн двух соседних спект- ральных линий (λ и λ+Δλ), при которой эти линии могут быть видны раздельно в спектре, полученном посредством данной ре- шетки; N – полное число щелей решетки; k – порядковый номер дифракционного максимума.

Формула Вульфа–Брэгга имеет вид

где θ – угол скольжения, т.е. угол между направлением пучка па- раллельных рентгеновских лучей, падающих на кристалл, и гранью кристалла; d – расстояние между атомными плоскостями кри- сталла.

Формула Вульфа–Брэгга определяет направление лучей, при которых возникает дифракционный максимум при дифракции на

где εВ – угол падения, при котором отразившийся от диэлектрика луч полностью поляризован; п21 – относительный показатель пре- ломления второй среды относительно первой.

где I0 – интенсивность плоскополяризованного света, падающего на анализатор; I – интенсивность этого света после прохождения ана-

20