1.2 Графики h1(t), h(t).
Рисунок 5. График h1(t)
Рисунок 6. График h(t)
1.3 Реакция цепи на аналитически заданное воздействие
Весовая характеристика находится следующим образом:
h2(t)=
=
=
(8)
При
воздействии f1
= i1
= 6
и t
> 0:
с помощью интеграла Дюамеля:
f2
= f1(0+)h1(t)
+
(9)
U5
= f2
= 6(
)+
=
= 3 - +3 -3 = 2 (10)
Расчет был произведен в WolframAlpha, и доступен по ссылке: https://bit.ly/3mlR9aX
Рисунок
7. График реакции цепи
1.4 Реакция цепи на графически заданный одиночный импульс
Воздействие задано кусочно-линейной функцией, требуется найти реакцию U5(t) при i1(2) = 4 A, i1(3) = 0 A (рис.1.2)
Найдем производную прямой:
4 = k*2+b 0 = k*3+b k = -4 (11)
Рисунок
8. Первая производная
Рисунок
9. Вторая производная
Запишем i1(t):
i1(t) = -4δ2(t-2) + 4δ2(t-3) + 4 δ1(t-2) (12)
Запишем весовую характеристику h2(t) и переходную характеристику h1(t): h1(t) = ( + ) δ1(t) (13) h2(t)= = = ( ) δ1(t) (14)
Запишем искомую реакцию U5(t):
U5(t)
= -4h2(t-2)
+ 4h2(t-3)
+ 4 h1(t-2)
=
= -4(
)
δ1(t-2)+
4(
)
δ1(t-3)+
+4(
+
)
δ1(t-2)
=
= (-2t
+ 7 –
)
δ1(t-2)+
(
+ 2t
- 7)
δ1(t-3)
(15)
2. Расчет переходного процесса с применением преобразования Лапласа.
2.1 Передаточная функция цепи
Для нахождения передаточной функции преобразуем схему на рис.1 в операторную схему замещения (рис.10):
Рисунок
10. Операторная схема замещения
Для емкостного элемента появляется сопротивление Zc = 1/sC = 1/s, а источник тока преобразуется по Лапласу:
i1(t) ÷ I1(s) = 6/(s+1) (16)
Так как напряжение на параллельных ветвях равно, то:
U5(s) = Ic*Zc + Ic*R4 = Ic + Ic/s (17)
Зная R25 = 1*1/(1+1) = ½ Ом - сумма сопротивлений R2 и R5, найдем Ic по формуле делителя тока:
Ic
= I1 * R25/(R25 + Zc + R4) =
*
=
(18)
Находим U5:
U5(s)
=
+
=
(19)
Исходя из формулы H(s) = U5(s)/I1(s), где передаточная функция является отношением изображения реакции к изображению единственного в цепи воздействия, используем формулы (16) и (19) получаем:
H(s) = (s+1)/(3s+2) (20)
Произведем контроль передаточной функции. При s = 0: H(0) = ½ и С-элемент заменяется на холостой ход:
Рисунок
11. Схема замещения при s=0+
Находим U5(s) по ФДТ:
U5=I5R5
= I
R5 =
* ½ =
(21)
H(0)
= U5/I1
=
*
= ½ - верно (22)
При s = ∞: H(∞) = 1/3 и С-элемент заменяется на короткое замыкание:
Рисунок
12. Схема замещения при s
= ∞
Зная R24 = ½ Ом- сумму сопротивлений R2 и R4, находим U5 по формуле делителя тока:
U5=I5R5
= I
R5 =
* 1/3 =
(23)
H(∞) = U5/I1 = * = 1/3 – верно (24)
2.2 Переходная и импульсная характеристики цепи
Раскладываем передаточную функцию на простейшие для ее дальнейшего преобразования по Лапласу в переходную и импульсную характеристики:
H(s)
= (s+1)/(3s+2) =
+
/
(s+2/3) ÷
δ1(t)+
δ(t)
= h(t) (25)
H1(s)
= H(s)/s = (s+1)/3s(s+2/3) =
/ s +
/(s+2/3)
÷ (
-
)δ1(t)
= h1(t) (26)
2.3 Карта нулей и полюсов
Ссылаясь на формулу (20), получаем:
Нуль: s = -1
Полюс: s = -2/3
Рисунок
13. Карта нулей и полюсов
2.4 Изображение воздействия, заданного аналитически
Из определения передаточной функции найдем изображение воздействия:
I1(s) = U5(s) / H(s) = 2/(s+2/3) * (3s+2)/(s+1) = 6/(s+1) ÷ 6 δ1(t) – верно (27)
2.5 Реакция цепи на воздействие, заданное аналитически
Исходя из определения передаточной функции, находим реакцию цепи:
U5(s) = H(s)I1(s) = (s+1)/(3s+2) * 6/(s+1) = 6/(3s+2) = 2/(s+2/3) ÷ 2 - верно (28)
2.6 Реакция цепи на воздействие, заданное графически
Ссылаясь на рисунки 8 и 9, изображение реакции будет иметь следующий вид:
F1(s)
=
-
+
(29)
Реакция
F2(s) = F1(s)H(s) = (
+
)(s+1)/(3s+2)
(30)
Окончательно получаем реакцию, раскладывая дробно-рациональные
части изображения на простейшие и применяя теорему разложения по Лапласу:
F2(s)
=
÷
(-2t
+ 7 –
)
δ1(t-2)
+ (
+ 2t - 7)*
*δ1(t-3)
= f2(t) = U5(t) (31)
Расчет воспроизводился в WolframAlpha, и его можно посмотреть по ссылке: https://bit.ly/33pxzTS