- •Числовые ряды. Признаки сходимости.
- •Необходимый признак сходимости
- •Необходимый признак следует понимать
- •Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов
- •Признак
- •Эталонные ряды
- •Например, сходящимися рядами будут являться следующие ряды
- •Признак
- •Таблица эквивалентных бесконечно малых величин
- •Признак Даламбера
- •Признак Даламбера применяется для решения вопроса о сходимости таких рядов, общие члены которых
- •При применении признака Даламбераожет встретиться необходимост
- •Радикальный признак Коши
- •Интегральный признак Коши
- •Интегральный признак Коши применяется для решения
Интегральный признак Коши
Если f (x) при x 1 |
непрерывная, положительная и |
монотонно убывающая |
непрерывная, положительная и монотонно убывающая
функция такая, что при натуральных значениях |
|||||
аргумента значения функции совпадают со значениями |
|||||
членов |
ряда |
u1 = |
f (1), u2 = f (2), |
, un = f (n), |
|
n=1un , |
т.е. |
||||
то ряд |
|
u , |
сходится, если сходится несобственный |
||
n=1 n |
интеграл |
этот интеграл |
|||
|
|
|
и |
расходится, если |
|
f (x) dx, расходится. |
|
1
Чтобы составить подынтегральную функцию достаточно заменить в выражении общегоnчленаxряда
Несобственный интеграл сходится, если он равен конечному числу и расходится, если равен бесконечности или не
существует.
Интегральный признак Коши применяется для решения
вопроса о сходимости рядов типа
|
1 |
lnk n |
|
e |
n |
|
sin(1/n) |
|
|||
n=2 |
|
, n=1 |
|
, n=1 |
|
|
|
|
, n=1 |
n2 |
. |
n lnk n |
n |
|
|
|
|
||||||
|
n |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
1. |
|
|
ln2 (3n 2) |
. |
|
|||||
n=1 |
3n |
2 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
ln2 (3x 2) dx |
= |
1 |
|
|
2 |
(3x 2) d(ln(3x 2))= |
||||
|
3x 2 |
|
3 |
ln |
|
|||||
1 |
|
|
1 |
|
|
интеграл и вместе с ним |
||||
1 |
ln |
3 |
(3x |
2) |
| = |
|
|
|||
|
исходный |
|||||||||
3 |
|
|
3 |
|
1 |
|
|
|
|
ряд расходятся. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2. |
n=1 |
|
|
5 |
(n 2) |
||
|
|
(n 2) ln |
|
|
|
|
dx |
|
|
d (ln(x 2)) |
|
|
|
1 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
= |
|
|
|
|1 = |
|
|
|
5 |
(x 2) |
5 |
(x 2) |
4 ln |
4 |
(x 2) |
|||||
1 (x |
2) ln |
1 |
ln |
|
|
|
||||||||
|
1 |
|
|
1 |
= const |
|
|
|
|
|
|
|||
|
4 ln4 3 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-- ряд сходится, так как сходится несобственный интеграл
|
|
|
1 |
|
|
|
3. |
n=1 |
|
|
|
|
. |
(2n 1) |
|
|
|
|||
3 |
|
|||||
|
|
ln |
(2n 1) |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
(ln(2 |
x 1) |
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
= |
d |
= |
|
|
|
= |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
3 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
ln(2x |
1) |
||||||||||||||||
1 (2x 1) |
|
ln |
(2x 1) |
1 |
|
ln (2x 1) |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
= |
|
1 |
|
|
|
|
| = |
1 |
|
|
|
1 |
|
|
= 0 |
|
1 |
|
|
const |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
ln(2x 1) |
|
ln 3 |
ln 3 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-- ряд сходится, так как сходится несобственный интеграл
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
4. |
n=1 |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
2 |
2 |
||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
dx = 2 |
|
e |
|
|
|
|
d ( |
x) = |
|
|
|
| = |
|
= |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e x |
1 |
|
e |
e |
|||||||
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-- ряд сходится, так как сходится несобственный интеграл