Тема 4. Розв'язування геодезичних задач |
|
|
|||||||||||
dB2 |
|
m |
|
sin A2 dA1 , |
|
|
|
|
|
||||
M 2 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
dL2 |
dL1 |
|
|
|
cos A2 dA1 , |
|
(4.43) |
||||||
N 2 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
cosB2 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
s |
m |
|
|
|
|
|
|||||
dA |
cos |
|
|
|
|
|
sin B |
|
cos A |
dA . |
|||
|
|
N 2 cosB2 |
|
||||||||||
2 |
|
R |
|
2 |
2 |
1 |
|||||||
Геометричне представлення про величини, що входять в диференційні формули (4.38)- (4.43)
представлено на рис. 4.5.
L1 |
L2 |
L2+dL2 |
L1+dL1 |
|
|
A1+dA1 |
s+ds |
2 |
|
|
|
B1+dB1 |
|
A+dA2 |
B2+dB2 |
||
A1 |
s |
|
B1 
B2 
A2
Рис. 4.5. До диференційних формул.
Всі наведені вище формули є наближеними, поскільки в них не прийняті до уваги диференціали другого і більш вищих порядків. Тому вони тим точніші, чим менші величини диференціалів незалежних змінних.
3.5.2. Диференційні формули для довільної точки простору
Встановимо залежності між малими змінами просторових декартових і геодезичних координат довільної точки в просторі. В загальному вигляді ці залежності можна записати
|
|
X |
|
X |
|
X |
|
||||||
dX |
|
|
|
dB |
|
|
|
dL |
|
|
dH, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
B |
|
L |
|
H |
|
||||||
|
Y |
Y |
Y |
|
|||||||||
dY |
|
dB |
|
dL |
|
dH, |
(4.44) |
||||||
B |
L |
H |
|||||||||||
|
Z |
Z |
Z |
|
|||||||||
dZ B dB L dL H dH.
Часткові похідні в цих залежностях можна знайти із рівнянь (2.32)
X (N H) cosB cos L,
Y (N H) cosB sin L, |
(4.45) |
Z (N H e2 N ) sin B.
Для цього попередньо визначимо похідні двох функцій
d (N cos B) dN cos B N sin B, dB dB
d (N sin B) dN sin B N cos B. dB dB
Враховуючи, що
Тема 4. Розв'язування геодезичних задач
|
|
|
dN d |
|
|
a |
|
|
|
|
|
e2 N cosB sin B |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
, |
|
||||
|
|
|
dB |
dB |
|
|
|
|
|
|
1 e2 sin2 |
B |
||||||||||||
|
|
|
|
1 e2 sin2 |
B |
|||||||||||||||||||
а радіус кривини меридіана M можна записати у вигляді |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M |
(1 e2 ) |
|
N , |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1 e2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin2 B) |
|
|
|
||||||||
то для наведених функцій матимемо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
M cos B |
|||||||||||
|
|
(N cos B) M sin B; |
|
|
|
|
(N sin B) |
|
; |
|||||||||||||||
|
dB |
|
|
dB |
1 e2 |
|||||||||||||||||||
Після цього можна легко знайти часткові похідні, наприклад |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
X |
(M H )sin B cos L; |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
B |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
(N H )cos B sin L, |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
(4.46) |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
..., |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
sin B. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
H |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Після підстановки похідних в попередні залежності, отримаємо
dX |
( M H)dB |
|
|
|
dY |
|
P (N H)cos BdL , |
(4.47) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dZ |
|
dH |
|
|
де матриця перетворення P має елементи
|
sin Bcos L |
sin L |
cos Bcos L |
|
||||
P |
sin Bsin L |
|
cos L |
cos Bsin L . |
(4.47 ) |
|||
|
|
cos B |
|
|
|
sin B |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|||
Звідси можна знайти і обернені залежності |
|
|
|
|
|
|||
|
|
( M H)dB |
|
dX |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( N H) cos BdL |
P' dY . |
|
(4.48) |
|||
|
|
dH |
|
|
dZ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
де P' - транспонована матриця Р.
3.5.3. Диференційні формули для референцної системи координат
Зміна розмірів еліпсоїда і його орієнтування відносно фізичної поверхні Землі викликає зміну геодезичних координат всіх точок навколишнього простору.
Формули, за якими визначаються малі зміни геодезичних координат B, L, H точок земної поверхні або навколоземного простору, що викликані малими змінами розмірів еліпсоїда і його паралельним зсувом в просторі носять назву диференційних формул референцної системи координат.
Нехай деякий еліпсоїд заданих розмірів (a, ) встановлений відносно земної поверхні так, що вісь обертання його паралельна до осі обертання Землі, а центр еліпсоїда незначно віддалений від центра інерції Землі.
Якщо тепер змінимо форму і розміри еліпсоїда: велику (екваторіальну) піввісь на величину da, а
стиснення на величину d , то, відповідно, зміняться при цьому і геодезичні координати B,L,H всіх точок простору, проте прямокутні координати X,Y,Z цих точок залишаться попередніми, поскільки не змінилося положення осей координат.