РОЗДІЛ 4

РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ГЕОДЕЗИЧНИХ ЗАДАЧ

розв'язуванні різноманітних геодезичних задач. Основними і найбільш типовими задачами вищої геодезії є:

розв'язування трикутників і обчислення координат пунктів та азимутів напрямів, що дозволяють визначати

взаємне положення різних точок на еліпсоїді і на фізичній поверхні Землі. Це , переважно, і є кінцевою метою всіх геодезичних робіт.

Остання задача носить назву головної задачі вищої геодезії або головної геодезичної задачі. Отже,

головна геодезична задача, в її класичній постановці, безпосередньо зв'язана з методом тріангуляції і розв'язується вона в геодезичних координатах B,L на поверхні прийнятого для опрацювання геодезичних вимірювань еліпсоїда, і на яку пункти фізичної поверхні Землі проектуються нормалями. Суть поняття, що визначається словами "головна геодезична задача" зводиться до наступного. На поверхні земного еліпсоїда маємо точки Q1 i Q2. Положення точки Q1 задано її геодезичними координатами: широтою B1 і довготою L1.

Крім того відома довжина s геодезичної лінії, що з'єднує точки Q1 i Q2, а також азимут A1 цієї лінії в точці Q1

(прямий азимут). Вимагається визначити широту B2 і довготу L2 точки Q2, а також азимут A2 геодезичної лінії

Q2 Q1 в точці Q2 (обернений азимут).

Описана задача називається прямою геодезичною задачею.

Якщо заданими величинами є координати B1,L1 i B2,,L2 точок Q1 i Q2, а величинами, що визначаються -

азимути A1, A2 і довжина s геодезичної лінії, то таку задачу називають оберненою геодезичною задачею.

Рисунок 3.1 іллюструє сказане вище. На ньому: Р - полюс еліпсоїда, лінії Q1 P i Q2 P - меридіани точок

Q1 i Q2.

P

L=L2-L1

A 2

A1

s

Рис. 4.1. Великий геодезичний трикутник на поверхні еліпсоїда

Розв’язування вказаних задач ускладнюється тим, що виконувати їх потрібно на поверхні, для якої неможна привести кінцевих формул, аналогічних формулам, що використовуються при розв'язуванні подібних задач на поверхні сфери або на площині. При розв’язуванні головних геодезичних задач на поверхні еліпсоїда необхідно враховувати кривину цієї поверхні, що змінюється і залежність її від широти, а також досить високі вимоги, щодо точності результатів обчислень. Хоча математичні методи забезпечують виконання

Тема 4. Розв'язування геодезичних задач

обчислень з будь-якою практично необхідною точністю, проте висока точність, як правило, вимагає досить

мати нерівні відповідно розташовані кути; аналогічно, трикутники, що мають рівні кути і по одній одинаковій стороні, будуть мати нерівні дві інші сторони, якщо вони розташовані не на одній широті.

Проте розв’язування задач на еліпсоїді полегшується тим, що земний еліпсоїд мало відрізняється від сфери, тому трикутники на його поверхні можуть з незначними для практики похибками замінюватись сферичними і їх розв'язування виконуєтьсяться за формулами сферичної тригонометрії.

Використання сфери є дуже вигідним для наближеного розв'язування головної геодезичної задачі,

коли задана точність не викликає необхідності введення поправок за перехід з поверхні еліпсоїда. Така задача може виникнути при використанні радіогеодезичних методів вимірюваннь, в навігації, при інженерно-

геодезичних вишукуваннях і інших аналогічних задачах. Радіус сфери в таких випадках приймається рівним або середньому радіусу кривини еліпсоїда для області робіт або радіусу такої сфери, площа поверхні якої рівна площі поверхні земного еліпсоїда.

Розв’язування геодезичних задач на сфері, яке базується на методах і формулах сферичної тригонометрії,

може використовуватись і як перше наближення при їх розв'язування на поверхні еліпсоїда ( про це буде мова у підрозділі 4.6.) або як проміжний етап при зображенні за певним законом еліпсоїда на сфері і використання останнього для розв’язування геодезичних задач на еліпсоїді.

При опрацюванні просторових геодезичних мереж (без проектування їх на поверхню еліпсоїда) може виникнути потреба в розв’язуванні головної геодезичної задачі між точками в просторі, особливо часто такі задачі розв’язуються при застосуванні супутникових методів визначення положення пунктів.

Відзначимо, що крім головної геодезичної задачі, класична геодезія має в своєму арсеналі також і інші види геодезичних задач: азимутальна і лінійна засічки, гіперболічна засічка тощо. Конкретний тип засічок визначається в залежності від виду кутових (прямі азимути, різниці прямих азимутів з двох пунктів, обернені азимути, різниці обернених азимутів) чи лінійних (відстані, різниці відстаней, сума відстаней, відношення відстаней) вимірювань. Проте в даний час для визначення координат пунктів кутові і лінійні засічки дуже рідко використовуються, тому основна увага буде зосереджена на розв’язуванні головної геодезичної задачі.

4.2. Короткі історичні відомості

Виникнення головної геодезичної задачі у вище наведеній постановці слід віднести до першої половини ХVII століття, коли Снелліус розробив і запропонував метод тріангуляції, коли в результаті теоретичних вишукувань та практичних робіт цілого ряду вчених було правильно встановлено вид і розміри Землі і, коли, нарешті, були в достатній мірі розроблені математичні методи розв'язування цієї задачі.

Природньо, що успіхи в розв’язуванні головної геодезичної задачі обумовлювались широким розмахом геодезичних робіт, як в плані виробництва, так і в плані наукових досліджень.

Першість в науково обгрунтованій постановці і розв’язуванні головної геодезичної задачі належать французам. Франція відігравала керівну роль в цьому питанні протягом всього XVIII ст.. Однією з перших обставин, що заставила вчених зайнятися розв’язком цієї задачі, були роботи Ж.Кассіні (1734) із складання топографічної карти Франції. А перший крок до розв’язування головної геодезичної задачі з врахуванням сфероїдного виду Землі був зроблений А.Клеро (1735), котрий встановив наступне положення, справедливе для всіх поверхонь обертання: для кожної точки найкоротшої лінії на подібній поверхні добуток відстані від осі обертання на синус азимута є сталим. Це положення Клеро, котре носить назву тепер теореми Клеро, створило основу сфероїдної тригонометрії. Л.Ейлер (1753), як засновник сфероїдної тригонометрії, вказав на застосування останньої для трикутників на будь-яких поверхнях, якщо сторони трикутників є найкоротшими лініями. При розв'язування головної геодезичної задачі має застосування теорема А.Лежандра (1787), котра значно спрощує розв’язування трикутників тріангуляції. Лежандр дав три розв’язки головної геодезичної задачі

Тема 4. Розв'язування геодезичних задач

різної точності. Третій розв'язування, в якому використовується геодезична лінія, можна вважати першим прямим розв’язком головної геодезичної задачі.

З двадцятих років XIX ст. першість в даному питанні переходить до німецьких вчених, які дали дуже багато цінного в багатьох теоретичних і прикладних питаннях геодезії взагалі і грали провідну роль протягом

XIX ст.

Розв'язування головної геодезичної задачі з застосуванням достатньо зручних формул і з забезпеченням необхідної в той час точності дав в своїх роботах Зольднер (1810). Замість прямого шляху розв'язування К.Гаусс вперше, застосувавши ряд Тейлора, дав непрямий (побічний) шлях, в якому обчислювались не безпосередньо шукані координати і азимути, а лише поправки до вихідних даних. Він же, на основі своєї теорії конформного зображення одної поверхні на другій, дає вивід формул розв'язування головної геодезичної задачі.

Оригінальний підхід до розв'язування цієї задачі запропонував О.Шрейбер (1878), що в подальшому дістав назву “спосіб допоміжної точки”. Відомі також формули розв'язування головної геодезичної задачі Ф.Гельмерта (1875), В.Йордана (1883), Л.Крюгера (1919).

Остання чверть XIX ст. і початок XX ст. пов’язана із значними успіхами геодезичних робіт на американському континенті і ця обставина, знову таки, відбилась там і на питанні розв’язування головної геодезичної задачі (А.Кларк, Л.Пюіссан, Тобі, А.Роббінс).

Подальші дослідження цього питання не внесли суттєвих змін. На перший план вийшли чисельні методи розв'язування головної геодезичної задачі з допомогою ЕОМ. Особливістю цих методів є простота програмування, висока точність розв'язування, універсальність і однотипність обчислювальної процедури при будь-яких відстанях (Ф.Харамза (1961), Н.Беспалов (1980)).

Методи розв'язування головної геодезичної задачі між точками в просторі були досліджені в роботах М.

Молоденського (1954), М.Хотіна (1957), Н.Дюфура (1959), В.Єремеєва і М. Юркіної (1966).

Треба відзначити і внесок українських вчених у проблему розв'язування геодезичних задач: розв'язок на великі відстані (М.І.Русин), розв'язок в системі просторових координат (А.Є.Філіпов, В.І.Рудський) тощо.

4.3. Точність розв'язування головної геодезичної задачі на поверхні еліпсоїда.

При розгляді питання про точність обчислень при розв'язуванні прямої та оберненої геодезичних задач виходять з того, що похибки обчислень ніколи не повинні збільшувати похибки самих вимірювань. В зв'язку з цим всі обчислення виконують з точністю, що в 5-10 раз перевищує досягнуту точність вимірювань. У

відповідності з цією точністю повинні підбиратися формули та розроблятися алгоритми обчислень.

Вихідними даними, крім постійних величин (параметрів еліпсоїда, швидкості розповсюдження електромагнітних хвиль у вакуумі тощо), є результати вимірювань довжин ліній та напрямів (кутів).

Враховуючи, що напрями в високоточній тріангуляції отримуються із спостережень з точністю до 0.01",

всі обчислення, пов’язані з визначенням геодезичних азимутів виконують з точністю 0.001".

В першокласних мережах довжини сторін вимірюються з похибкою 1:500 000 – 1:000 000, а кути – з

похибкою 0.7". Довжини сторін повинні бути не меншими 20 км.

Похибка взаємного визначення положення пунктів (лінійний зсув кінцевої точки лінії довжиною 20 км),

яка викликана похибкою виміряної сторони або похибкою виміряного кута, складе

20000

dp 0.04 0.02 м, 500000 1000000

dp 0.7" 20000 0.07 м. 206265"

Проекції лінійного зсуву на меридіан і паралель будуть відповідно