Тема 2. Геометрія земного еліпсоїда

Z

r

Із трикутника OQB (рис2.3) для радіуса-вектора re отримаємо наступні вирази

r re cos Ф,

(2.16)

z re sinФ,

а враховуючи (2.13), радіус-вектор еліпсоїда у функції геоцентричної широти буде

2.3. Зв’язки між координатами

2.3.1. Зв'язок між геодезичною, приведеною і геоцентричною широтами

Для того щоб встановити зв'язок геодезичної широти В з приведеною и, розглянемо який-небудь меридіан, наприклад, такий, площиною якого є площина zx (див. рис.2.2). Для цього меридіана L=const і його рівняння в параметричній формі отримаємо із рівнянь (2.10)

dx

Тангенс кута, утвореного нормаллю з віссю х (див. рис.2.4), дорівнює похідній dz , взятій з оберненим

знаком, тобто

dx tgB , dz

Тема 2. Геометрія земного еліпсоїда

2.4. Головні радіуси кривини в даній точці еліпсоїда

В будь-якій точці поверхні еліпсоїда обертання головними нормальними перерізами є:

1)меридіальний переріз, тобто нормальний переріз, що проходять через задану точку Q і полюси

еліпсоїда PP1 ;

2)переріз першого вертикалу, що проходить через точку Q і перпендикулярний до

меридіального перерізу точки Q .

Радіус кривини меридіального перерізу буде радіусом кривини плоскої кривої, від обертання якої утворилась дана поверхня обертання. У сфероїдній геодезії він позначається буквою М. Радіус кривини другого

головного перерізу - N. Вказані радіуси аналогічні радіусам R1 та R2 (див. розділ 1, п.1.4).

Згідно теореми Меньє (1.6), радіус кривини першого вертикалу N буде дорівнювати радіусу паралелі r ,

поділеному на косинус кута між площиною паралелі та нормаллю до поверхні

r

N . (2.37)

cosB

Це означає, що радіус кривини головного перерізу, перпендикулярного до меридіонального, дорівнює відрізку нормалі до поверхні від поверхні до осі обертання (рис 2.5).

Радіуси кривини M та N , як функції широти В даної точки, застосовуються в багатьох теоретичних і практичних розрахунках. У функції широти радіус кривини меридіана М може бути виражений через формули

(1.2) або через коефіцієнти першої та другої квадратичних форм поверхні (1.7).

На основі другої групи формул (1.2) та з врахуванням рівняння (2.10) в редакції (2.13) для радіуса кривини меридіана запишемо

3

(dx2 dz2 ) 2 M dxd 2 z dzd 2 x .

Рис. 2.5. Головні радіуси кривини точки на поверхні еліпсоїда

Підставивши у вищенаведену формулу значення похідних, отримаємо вираз для радіуса кривини M

M (a2 sin2 udu 2 b2 cos2 udu 2 )32 , abdu

або

Тема 2. Геометрія земного еліпсоїда

Величини М та N характеризують форму поверхні еліпсоїда в околицях даної точки і в подальшому постійно будуть нами використовуватися. Графічно, залежність радіусів кривини M і N від широти B ,

показана на рис. 2.6 а) і б) відповідно.

Відношення різниці головних радіусів кривини до меншого із них може бути виражений формулою

Тема 2. Геометрія земного еліпсоїда

Диференціал дуги ds довільної кривої на поверхні еліпсоїда називається лінійним елементом поверхні еліпсоїда.

На поверхні еліпсоїда координатні лінії мають своє позначення: Х – довжина дуги меридіана від екватора

(в сторону полюса) до даної точки; Y – довжина дуги паралелі від середнього (початкового) меридіана до даної точки.

Відомо, що для будь-якої кривої радіус її кривини в даній точці дорівнює відношенню диференціала дуги кривої до до диференціалу кута між дотичними до кривої в крайніх точках цієї дуги. Якщо позначити диференціал дуги меридіана через dX , а паралелі через dY , диференціал кута між дотичними до крайніх точок елемента дуги меридіана через dB , а паралелі через dL , то, згідно вище зазначеного, для диференціалів дуг меридіана та паралелі отримаємо відповідно

Спроектувавши лінійний елемент на координатні лінії (лінії меридіанів та паралелей), отримаємо (див.

рис 2.8)

Рис. 2.8. Лінійний елемент поверхні еліпсоїда

ds cos A dX MdB,

(2.45)

ds sin A dY N cosBdL.

Звідки,

Отримане рівняння (2.46) є аналогом рівняння (1.4) для поверхні еліпсоїда обертання, тобто є першою квадратичною формою поверхні еліпсоїда.

Характер зміни довготи та широти при переміщенні вздовж будь-якої лінії на поверхні еліпсоїда, може бути виражений наступними диференціальними рівняннями, що випливають із (2.45)

Серед цих формул відсутній вираз, що характеризує зміну азимута А в залежності від переміщення вздовж лінії на величину ds. Справа в тому, що ця залежність не буде однаковою для всіх ліній, тоді як приведенні вище формули відносяться до будь-якої лінії на поверхні.