Алгебра
.docБ1 1.Системы линейных алгебраических уравнений (СЛУ). Теорема Кроникера-Капелли. Общее решение СЛУ.
Систему уравнений вида (*)
будем наз-ть сист-ой m-линейных ур-й с n неизвестными . Коэф-ты этих ур-ий будем записывать в виде матрицы
, назыв матрицей системы.
Числа, стоящие в пр частях уравнений, обр-т столбец , наз столб своб членов.Матр сист, дополненная спр столбцом свободны членов, наз расшир матрицей системы и обозн .Опред матрицы – число, соотв-ее квадратичной матрице и полученные путем ее преобр-ия по определ правилу обозн Опред матр, в кот вычеркнуты произвольная строка и произвольный столбец, наз минором. Он имеет порядок на 1 меньше, чем исходный опред.Ранг матр - наивысший из порядков отличных от 0 миноров этой матрицы. Ранг неизменен при простых преобразованиях матрицы.
Т.Кронекера-Капелли. Сист совместна (имеет хотя бы одно решение) тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы.
Сост СЛУ (*) однор систему с той же матрицей коэф-ов . По отношению к (*) она наз приведенной. Матрица , сост из столбцов высоты наз фундаментальной матрицей для однородной системы с матрицей А, если а) ; б)столбцы линейно независимы; в) ранг максимален среди рангов матрицы, удовл усл а). столбцы - ФСР.
Если - некоторое решение системы (*), а - фундаментальная матрица ее приведенной системы, то столбец (**) при любом является решением (*). Наоборот, для любого ее решения существует такой столбец , что оно будет представлено (**). Выражение - общее решение СЛУ
Б1 2. Линейный оператор в конечномероном пространстве, его матрица. Характеристический многочлен линейного оператора. Собственные числа и собств векторы.
Пусть и - лин пр-ва с размерностями и соотв. Будем наз опер-ом , действующим из в отображение вида, сопоставляющее каждому элементу пространства некоторый элемент пространства . При этом используют обозначения или .
Опер , действующий из в , наз линейным если для любых эл-ов , и для любого компл числа выполняется соотн:1) - аддитивность опер;2) - однородность опер.
В мн-ве лин операторв, действующих из в , определены операции суммы и умножения опер-ра на скаляр.
Квадр матрицу с элементами . Это матрица наз матрицей лин опер-ра в заданном базисе .
Пусть - лин опер-р, - тождеств опер-р из . Тогда мн-н относительно назыв характеристич мн-ом опер-ра . Ур-ие назыв характеристич ур-ем опер-ра .
Число наз собственным значением опер-ра , если сущ-т некоторый ненулевой вектор такой, что . При этом вектор наз собств вектором опер-ра , отвечающий собств значению . Для того, чтобы число было собств значением опер-ра н.и д., чтобы это число было корнем хар-ого ур-ия опер-ра .
Б2 3.Билинейные и квадратичные формы. Приведение их к каноническому виду. акон инерции.
Билинейной ф-ей или бил-ой формой на лин пространстве наз ф-ия от 2-х векторов из , линейная по каждому из своих аргументов, т.е.удовлетворяющая рав-ам:
,
,
Квадратичной формой или квадратичной ф-ей на лин пр-ве наз функция , значение которой на любом векторе определяется рав-ом , где - симметричная билинейная форма.
Паре векторов на пл-ти сопоставим скаляр пр-ние. В силу известных св-в скаляр-го произв это – билинейная форма. Пусть - базис в . Если и - координаты векторов и , то значение БФ на этой паре векторов может быть вычислено так
или .
Здесь чисел называется ее коэффициентами в базисе. Их запис в в квадр матрицы порядка
, .
Эта матрица наз матрицей билинейной формы в данном базисе. Матрицей квадратич формы наз матрица соответ БФ.
Квадр форма , , , не имеющую попарных произведений переменных наз квадратич формой канонич вида. Переменные , в которых квадр форма имеет канонич вид, наз канонич переменными.
Один из методов преобразования квадр формы к канонич виду путем замены переменных состоит в последоват-м выделении полных квадратов. Такой м-д наз м-дом Лагранжа.
Квадр форму можно привести к канонич виду ортогонал преобразованием. При этом коэф-ты квадр формы канонич вида будут соотв знач матрицы исход квадр формы.
Закон инерции.
Теорема. Число отрицат и число положит коэф-ов в канонич виде квадр формы не завис от базиса, в котор она приведена к канонич виду.
Доказательство:
Докажем, что если в каком-либо базисе форма приведена к канонич виду, то число коэф-ов =-1 равно отрацат индексу формы . Пусть в базисе форма ранга с индексом имеет канонич вид :
.
Обозн через линейную оболочку векторов , а через лин оболочку остальных базисных векторов. Для любого имеем:
, и , если только . Значит, отрицательно определена на и .
На форма положит-но полуопределенная, потому что для любого и . (форма может быть =0 на ненулевом векторе, если ).
. Пусть сущ-т подпр-во размерности , на которм отриц определена. Тогда, т.к.сумма размерностей и больше , эти подпр-ва имеют ненулевой вектор в пересечении. Имеем т.к. и , т.к. . Получ противоречие, показывает, что . Число коэф-ов, равных -1, равно отрицат индексу и поэтому не зависит от базиса. Число коэф-ов , = +1, также не зависит от базиса, т.к.оно равно а ранг и индекс от базиса не зависят. Ч.т.д.
Следствие: число положит и число отрицат коэф-ов в любом диагонал виде квадр формы не зависят от базиса.
Б2 1.1 Решим систему методом Гаусса
Решение.
====
Имеем ранг матрицы -число ненулевых строк 2 ур-ия исходной системы линейно независ.
Ответ: ,
Б2 1.2 Решить систему, пользуясь формулами Крамера.
Итак, , ,
, , .
Ответ:
Б2 1.3 Решить систему лин однор ур-ий
Решаем с помощью метода Гаусса
======
- любое действительное число
Ответ :
Б2 2.1 Лин преобразование лин пр-ва имеет в базисе , , матрицу . Найти матрицу того же преобраз в базисе , ,
, -матрица перехода от1 базиса ко 2-ому
,
Т.к. , - базисы, то их матрицы -невырожденные, , поэтому , т.е. -матрица перехода от базиса к базису . Отсюда
и решим ур-ие . .
Б2 2.2 найти ядро и дефект линейного преобразования пространства , если в некот базисе задано матрицей
Т.е. соответствует пр-ву решений системы:
-треугол.вида
, ,
система имеет единств решение
, , где -дефект ядра
Ответ: , .
Б2 2.3 Найдите действительные собственные значения и собственные векторы линейного преобраования
При делении столбиком многочлена на многочлен получим.
()()=0
, , . Согласно определению комплексные числа не яв-ся собств.значения лин.оператора. только
1)
===
,
ранг .
Поэтому размерность лин пр-ва решений = 3-2=1.
Фундаментальная система решений содержит одно решение, например, .
Все множество собственных векторов лин оп-ра с собств.значениями в корд форме имеет вид , где любое число
Ответ: , , .
Б2 3.1 привести к каноническому виду данную бином форму
Проверим на симметричность
,
билинейная форма явл симметричной
По определению : квадратичная форма - численная ф-ия одного векторного аргумента , полученная из билинейной формы при . В нашем случае , .
Имеем
Заменим ,