5. Предельный переход в неравенствах. Теорема о пределе двух последовательностей. Теорема "о двух милиционерах".

Неравенства, которым удовлетворяют элементы сходящихся последовательностей, в пределе переходят в соответствующие неравенства для пределов этих последовательностей.

Имеют место теоремы.

Теорема 1

Если элементы сходящейся последовательности   , начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству   , то и предел а этой последовательности удовлетворяет неравенству 

Следствие 1

Если элементы сходящихся последовательностей   и   , начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству   , то       .

Следствие 2

Если элементы сходящейся последовательности   находятся на сегменте [a,b], то и 

Теорема 2

Пусть   и   . Пусть также начиная с некоторого номера элементы последовательности   удовлетворяют неравенству   , тогда 

6. Теорема о монотонной и ограниченной последовательности. Число "e".

Теорема Вейерштрасса об ограниченной сверху возрастающей последовательности (или ограниченной снизу убывающей последовательности) утверждает, что любая ограниченная сверху монотонно возрастающая (или ограниченная снизу монотонно убывающая) последовательность имеет предел, причём этот предел равен её точной верхней (или нижней) грани. 

Число Эйлера (e)

Число e (или, как его еще называют, число Эйлера) – это основание натурального логарифма; математическая константа, являющаяся иррациональным числом.

e = 2.718281828459…

7. Подпоследовательности. Свойства. Верхний и нижний предел. Примеры.

Подпоследовательность последовательности  – это последовательность  , полученная из  ,удалением ряда ее членов без изменения порядка следования членов.

1. Свойство подпоследовательностей сходящейся последовательности Если последовательность   сходится к числу a∈R , то и любая ее подпоследовательность сходится к этому же числу. 2. Свойство последовательности, все подпоследовательности которой сходятся к одному числу Если любая подпоследовательность последовательности   содержит подпоследовательность, сходящуюся к одному и тому же числу a∈R  , то и сама последовательность   сходится к этому числу:

3. Свойство эквивалентности сходимости последовательности и всех ее подпоследовательностей Последовательность   сходится тогда и только тогда, когда любая ее подпоследовательность сходится к одному числу a∈R   .

Верхний предел последовательности — это точная верхняя грань множества частичных пределов последовательности. Иногда нижним пределом последовательности называют наименьшую из её предельных точек, а верхним — наибольшую. Эти определения эквивалентны, так как точная грань множества предельных точек обязательно принадлежит этому множеству.

8. Теорема Больцано - Вейерштрасса. Следствия.

Теорема Больцано – Вейерштрасса

Из любой ограниченной последовательности действительных чисел можно выделить подпоследовательность, сходящуюся к конечному числу. А из любой неограниченной последовательности – бесконечно большую подпоследовательность, сходящуюся к +∞ или к -∞ .

Следствие (Теорема Больцано-Вейерштрасса). Из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

9. Критерий Коши сходимости последовательности.

Для рядов, как и для последовательностей, имеет место критерий Коши. По сути это критерий сходимости Коши последовательности частичных сумм ряда. Критерий Коши сходимости рядов. Ряд сходится тогда и только тогда когда для любого существует такое натуральное число, что для всех и таких, что выполняется неравенство. На практике часто применяется критерий равносильный этому, но доказывающий расходимость исходного ряда.