Интегрируя затем зависимость (15), получаем

EIxv (M xdz)dz Cz D (16)

Подставив сюда уравнение изгибающего момента, выполнив интегрирование и найдя постоянные интегрирования С и D найдем в развернутом виде выражение функции (11), а следовательно, получим возможность определить прогиб любого поперечного сечения балки. Аналогично из (15) можем определить угол поворота произвольного поперечного сечения. Постоянные интегрирования определяют из так называемых граничных условий, зависящих от способов закрепления (вида и расположения опор) балки.

РАЦИОНАЛЬНОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ УПРУГОЙ ЛИНИИ

В случаях, когда балка имеет несколько участков нагружения, уравнение (14) должно быть составлено для каждого участка в отдельности. В результате двукратного интегрирования этих уравнений каждое из полученных выражений будет содержать две постоянных интегрирования, т. е. общее число

постоянных интегрирования будет равно удвоенному числу участков.

Для определения этих постоянных, помимо граничных условий, вытекающих из характера опорных закреплений балки, используется условие плавности и непрерывности упругой линии.

Применяя некоторые специальные приемы интегрирования» можно обеспечить равенство постоянных интегрирования для всех участков, fi результате независимо от числа участков общее количество постоянных интегрирования получается равным двум. Эти постоянные (С и D) представляют собой соответственно угол поворота и прогиб сечения, совпадающего с началом координат, умноженные на жесткость сечения (EJX), т.е.

Условимся принимать начало координат всегда в центре тяжести крайнего левого сечения балки.

Взависимости от способа з-акрепления начального сечения может быть один из следующих трех вариантов значений С и D:

а) левый конец балки защемлен: С=0; D = 0;

б) левый конец балки закреплен шарнирно: С≠0, D=0; в) левый конец балки свободен: С≠0, D≠0.

Вслучае, если постоянные (одна или обе) не равны нулю, их значения определяются из условий закрепления балки.

Для того чтобы обеспечить получение лишь двух постоянных интегрирования независимо от числа участков, при интегрировании дифференциального уравнения упругой линии нужно применять следующие три приема (на обоснованиях и доказательствах не останавливаемся).

1. Слагаемое от сосредоточенного момента т в выражении для Мх записывать в виде m(z—а)0, где а

— абсцисса сечения, совпадающего с местом приложения момента m.

2. Интегрирование вести без раскрытия скобок.

3. Если на балке имеется равномерно распределенная нагрузка, не доходящая до сечения, прогиб (или угол поворота) которого определяется, то ее следует продлить до этого сечения и приложить противоположно направленную компенсирующую нагрузку той же интенсивности.

Если записывать уравнение изгибающих моментов для последнего (считая слева) участка балки, то оно будет содержать уравнения и для любого предыдущего участка. Эти уравнения получаются из уравнения для последнего участка путем исключения из него слагаемых, соответствующих нагрузкам, приложенным к балке правее рассматриваемого участка.

Пример

ЭНЕРГИЯ ДЕФОРМАЦИИ ПРИ ИЗГИБЕ

Наиболее общий метод определения перемещений в упругих системах—энергетический. В основу этого метода положено условие равенства работы внешних сил, приложенных к линейно деформируемой упругой системе, и энергии деформации системы.

Работа статически приложенной внешней силы, как известно, равна половине произведения конечного значения силы на конечное значение соответствующего перемещения (теорема Клапейрона).