Добавил:

Way_J Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный университет

Предмет:

Алгебра (общая)

Файл:

Konspekt_po_algebre

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

28.05.2022

Размер:

1.11 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 102 3 4 5 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

ниваемтопредыдущимåãîåñòüпредыдущимэлемент,. Призаканчиваинверсии(пузырекíà-òðåòýòîìñÿ,

éместе,перехàíîâäèìíèæòüñÿ. Íêåñòîвторым)îìóÿùèìпузырек. ÅñëèПотом, гдеперестаетинверсия,сравниваемдилсбытьпузырекòî пузырек. Ñðàâñ-

стано итсявсплытиениж стоящий. Н

инверсиитранспозицияпускается нижместу. Процесс заканч вается,пузырькогда

последний пузырек всплываåò до своего ур вня, и он рожден либо следнèì

элементом,

либо все нижерасположенные относительн

åãî ìåñò

рождения не образуют

инверсий.

Этому алгоритму соответствуют рагмент

программы на С:

float a[n ; /*массив,

который следует упорядочить по возрастанию*/

swap (float

, float

) /*обмен значениями*/

loat s; s

= ; i>0=d;

d=s; }

{flotationor

i--)

(a,

nt k) /*процедура всплытия*/

if (a[i <a[i-1 swap (a[i ,a[i-1 )

}

else break;

)

main

{for (int k=1; k<n; k++) flotation (a, k);}

Определение§7.5. Аксиоматич7.9.Опрзадаваеделителское ввåмдениеn-го порядкаопределителейквадратной. матрицы

ется ункция от нее,

мая ормулой

kai,j kn называ-

всех перестан вок чисе p = (p1, p2, ..., pn), I(p) числоP

, здесь p

перестан вка изльзуетсячисе

det A =

p π(−1)I(p)a1p1

...anpn

такое{1, .., nобозначение}.

инверсий в p;

множество

Часто испо

определителя:

Определитель матрицы 3-го порядк вычисляется согласно|A|определению= det A.

7.9 òàê:

a11

a12

a13

−

тыхматрицыЭто.можно.Левыйзапомнитьрисунокпомощьюдляполодвухжительныхс ем, в слагаемыхкоторыхв.тройкиПравыйобъединеныдля отрицательэлемен-

a21

a22

a23

= a11a22a33

+ a12a23a31 + a13a21a32

a13a22a31

a11a23a32

a12a21a33.

11 12.06.2012

индексу,

не изменится:

a1p1 ..anpn

сомножители упорядочим по

aq11...aqnn(−1)I(q)

|A| =

q = (q1, ..., qn)

q π

произв дении

Следовательно,второмуСвойствоДк обратнаяз е л ьэтойс онов{1.очевидно, ...Åñëè, n}

.anpn =aq11...aqnn, ãäå

q1...qn òð íñ-

позиция,

по тношению к

p1...pn.

a1p1

По теореме 7.6 четности p и q совпадают.

Íà îñíî àíèè1.

теоремыI(pполучаем)

важнейшееI(q)

свойство.

a1p1 ...anpn (−1)

= aq11...aqnn(−1) .

ðîизвольныечиеможносвойства.2 Еслизаменитьопределители,следуютднаTсловоизи стровоямоакстрокстрокивсехизAопределениязаданныенулевая,другихна столбцысвойствахтопосредством7.9.,Наиопределинаобороихнекосноторогове.елей,Строкиможноправилагдевычислять,говоритсясто.бцы

кроакстрокахвноправныП

|A|

3 От перестанов

|A|= 0.

íåò.

две строки рав

, тоdet его знак меняется, а абсолютная величина

пропорциональнымистрокумножаетсянаdetчисло,=0.Прочието

det

множается на число.

Свойство 7. detÅñëè

дна строк

есть суммастрокамистрокравен нóëþ.

, òî

det = det1 + det2

совпадают, где

det1

на месте a стоит

det2

местеa стоит

сроки в другие,

det1 det2

со строками

Свойство= 0.

det8. Если. одна из строк есть линейная комбинация других, т. .

òî

ai =

λj ai,

j=6i

det

на некоторые

ñëàdet. не меняется, если к одной строке прибавляются

умноженные

Вычислениематрицытреугольннек. îйторыхматрицыопределителей.

§ТреугольныеОпределитель7.6.

квадратной матрицы

Если все элементы над главной диагональю

0 0 . . 0

0 .....0

...

нулевые, то

íà

диагональюнижняя. треугольквадратнойая матрицаматрицы. нулевые, то она

называетсяЕсливсеверхнейэлементреугольнойыподлавнматрицей

−

определения:элеТеоремаментовД к а7з..а8т.

. помощьюроизведениюаксиоматическогодиагональных

. .

0 .....

еОпределительл ь с т в о. ассчитаемтреугольнойэтот матрицыопределительавенс

0 0 ...

12.06.2012.

|A| =

I{p1,. .,pn}

a1p1 ...anpn (−1)

(1,...,n)

p πX

p1 6= 1

Здесь сумма	\|A\| = a11	X
Здесь сумма	\|A\| = a11	a2p2 ...anpn (−1)I{1,p2,...,pn}.
		(p2,...,pn) π(2,...,n)

êïìíîтораядматрицаобразуетсят−акжсиоматическтреугольнаяиз исх дн й определениекаквычеркиваниемисх дная;определителяпервого столбцаподм трицыпер порядкай строки(n.−Ýò1),

жества

{2,. . . ,n}. Ò

åñòü

π(2, ..., n) − множестâî перестановок

уже вычлененавторяем.действие:

выносим за знакнесуммымогутпринимать значение

, так как единица

, ..., pn

Ïî индукцииэлементов:получим, что

a22

диагональных

определитель треугольной. И .дматрицы. равен произведению

Если транспон

|A| = (a11

(a22(...(ann)...))) = a11a22

...ann

матрицамметрическиеравняется исходнойматрицысо знаком.

рованнаяКосос

ется кососимметрèческой.

− , то она называ-

матрица кососимметрическая,A = −A òî åå

aij = −aij

i, j.

равны

Åñëè

диагонаэлементыьные лементы

Ä é ñ

ë ü

. Пусть

æå âðåìÿ

B := −AT = Aвторого.Тда

B = A

bii = aii, íî â òî

bii

= −aii

. Значит

aii =

−aii

, òî åñòü

aii

под диагональю равны элементам над диагональю со знаком равны нулю, а элементы

Примеры. Кососимметрические матрицы

и третьего− .порядков:

−a

Умножим

;

−

Вычислимвсеопределительстрокиопределителякососимметрическойна

матрицы произвольного порядка.

−1.

Отсюдарема 7.следует9.(Åñëè1)

A =

= det( A) = det(A ) = det A.

−

−a.11 ...

−a.1n

−

· · ·

−

Òå

матрица

an1

ann

åå îПроверимпределительвручнуюавеннулютеорему. A −7.9кососимметричнаяна определителе третьегои ее размерностьпорядка. нечетная, то

a b

− | | − −

− −

−

−b

−c 0

Теорема −7.9a

верна.0 c

= (

1)n A = 13( a)(a0

12(.06.2012cb))

b(ac

0b) = acb

bac = 0.

тикиазмерностьПу§ оченьестьопределительмного.ям угольные матрицы

A и минорыB, можно умнож ть A íà B справа. Это

посчитзна , что размерности

A è B должн выглядеть так: k × n вычисляяn × p, соответственно.

Коши исслеC :=îâàëABслучай,тогдакогдаk × p.

àòü

k = p, тогда C − квадратная ма рица k ×k. Можно

Определение 7.10. Пусть|C| черезв некототорыерой матрице

A è B, íå

его на прямую

ществуетИсх дно матрице

строк

столбцов

A выделеныпересеченияJ L

þò. Ò ñòü

индексы из множеств ˆ ˆ

впада

J , L. При этоматрицымощности J è L

строк и

столбцовˆ

выделенных

J J

L µ(J) = µ(L) =: r

определитель. Его называют минороматрице.Обозна ение:

A, для которой су

наниепорядка.качествеКогдаизаргумконтåнта,кстатоп

естья нопервыйоосткак й

опуска ьминорееупоми-го

речь, будемMJ L(A)

матрицы

MJ L. Если минор з хватываезахватываетвсе строки

, то второй индекс у него опус ается:

MJ ; если минор

(L = L)

все столбцы матрицы

Теорема 7.10. Пусть

òî

èíäåê у него опускается: M,J .

(J = J)

ственно. Тогда, если

A è B матрицы размерностью

(k × n) è

(n × k),

соответ-

k ≤ n,

òî

ãäå

|AB| =

,n)

M,J(A)MJ(B),

(7.5)

J π(1,... X µ(J )=k

J := {i1, . ., ik} − подмножество индексов, из множества

{1, . . . , n}.

Причем

i1 < i2 < ... < ik

, ãäå

ai′ = (ai1...ain);

è èç bi

состоит матрица

Д о к а з а т е.л ь с т в о. Пусть

′

b.1i

ak′

bni

B = (b1...bk ).

Здесь

i = 1, k.

a1i1 bi1

1 ...

a′ b ...

a′ b

... ... ...

...

a′

b ...

a′ b

aki1 bi1

1 ...

akik bik k

· · ·

i 1

k k

же множЗдесьествавсеиндексы

1 b 1

a1i2 bi22

a1i bi k

зрованиидного и того

суммирования пробегают независимые значения

· · ·

aki2 bi22

akik bik k

X aki1 bi11

столбцами:общ й множи.Далее-

знакостальнымиопределителяâ ñóìì

простоТворческэлементовпроизводятсяятель {силапервого1, ...,Коширутинныеn}.столбцапроявиласьвыкладкиделаем14расстановк.тоВыносимже12.06самое.2012 индексации

стхавитьябы

a1i1

a1i2 bi22 · · ·

a1ik bik k

a1i1

... a1ik

| |

· · ·

i1,...,ik

... a

bi1

...bik k

... ...

...

лю.Поэтомури совпадающихследнейвторыхсуммеиндексахможно

лишьвдвухопределителиакиестолбцахнаборыопределитель равен ну-

aki2 bi22

akik bik k

ki1

kik

aki1

того,емотслагпослдругаемыедниетолькпо знакомдинаковымзависимостинаборамдним , новжествомкоторыхтпоряд-

кавтонетðдвухасположенияыхининакеквыхмогутиндексовиндексовотличаться.Сгруппи.Блеедруг

(i1, ..., ik )

и вынесем

каждой

акой группе оп еделитель за знак суммирования.

(i1, ..., ik )

|AB| =

idem =

} i16=...6=i

i {1, ..,nX

a1i1 . .

a1i

... . .

...k

bj11...bjk k(

1)I(j),

πлемопределению

bj11...bjk k (−1)I(j) по аксиоматическому

−

i1<i2

определителя есть

aki1 . .

aki

<...<ik {i1,...,ik} {1,...,n}

j π(i1,...,ik) j=j1,...,jk

−

сперестановкидинаковыминаиндексамиспискеаргументов. Сумма всех коэ ициентов перед определите-

j π(i1,...,ik) j=j1,...,j

В итоге:

MJ (B), ãäå

J = {i1, ..., ik }.

|AB| =

PJ M,J (A)MJ (B) − ормула Áèíå-Êîøè.

Ç ì ÷ í è 1. Åñëè

Тогда полагается

k > n,

то матрицы A, B

имеют миноров k-го порядка.

M,J (A) = MKJ (A) = 0 = MJ (B) = MJ K (B).

Теорема§7.8. 7Следствия.11.Если из ормулы Бине-Коши

няетсяД к а з а

ь ждествоA . BИзсуммесловияквадратныеэтойматрицытеоремыоднойследует,размернчтîсти,в теоремето |AB7.|10= выпол|A||B|-.

= n.

Тогда в (7.5) будет J

= {1, ..., n},

M,J(A) = |A|, MJ(B) = |B|,

πТеорема(1,(Этот..., n) =же7.(112резуль, ...(то, n), а . можно.вКоши)получить(7. .Пусть5) извсего

дно слагаемоеЛапласа..См. далее.)

						a′	,
						a′	B = (c, d), ãäå
		c1			d1	A = b′	B = (c, d), ãäå
		c1			d1		X
		.			.			ai1	ai2
		cn			dn
′
тождествоД к а з а,Кошит е л ь.с т в			î.	помощью15.ормулТогдаБине12.06.2012-Коши.				bi1	bi2
b = (b1	...bn) c =		î.	,Cd =		\|AB\| =	1≤i1<i2≤n	bi1	bi2

a′ = (a1...an),

ci2	di2	−
ci1	di1

ТеоремаНа этом7.13основыв(неравенствоется |AB | =

b′c

b′d

= a cb d − a db c.

a′c

a′d

′

′ ′

Êîøè).

≥ |(cTd)|, ãäå c è d − столбцы

одной высоты. Иными

ловами

(cTc)(dTd)

еКошил ь с т вво.

diîðìå≥ |.

cidi| −

X X

неравенствоД к з

координатнойПусть

(a′)T = c,

(b′)T = d. Тогда из (7.6) следует

С другой стороны:

|AB| =

|AB| = cTcdTd − cTddTc.

(7.7)

Заметим, что

1≤i1

<i2≤n di1

di2

ci2

di2

ci1

ci2

di1

ci1

cèçi2

äðóã ê äðó-

гу матриц. По теоремеi1

определителейi1 лители

транспонированных

M T

= M . Применяя ее, получаем

−

теории

1857

di1

di2

ci2

|(7AB.7),|

≤n

di1

di2

≥ 0

Отсюда |AB| ≥ 0

≤i1<i2

ci1

ci2

имеем

. Принимая во вниман

разложение

−

≥

матрица размерностиTcdTd

cTdd c

Èç

социативно ти умножения матрèцэквивалентго,что

служенноАН

(1804

−

îñòü

1) не меняется при транñпонировании, следует

(1844, 1849)

еравенствоВгодуКошиБуняковский. езультатобобщил1821 годаэтонеравенство. для. интегралов:Извлекаякорень, получаем

(cTc)(dTd)

≥

(cTd)(dTc)

cTc)(dTd

≥

(cTd)

(t)

t Za

t)-1889)dt ≥ ñZa

f (t)g(t)

t .

1830

иктор Яковлевич Буняковскийd

лазападнымиКошиБине. Вероятность,-Бунякакадемик,ученымиовскоготеория.. потомЕгоимячисел,вицеиног-президентанàлизнеза.-

Â. 1884Написалупотребляетсямоугольныегоду2ШварцучебникапереоткрылвдляназванииОбщаяшколыормулы

(CLJ

= (Cij )i L,j J ).

А она, очевидно, является произведением по

Пусть имеютс

ïð

матрицы

−Êîøè

матрицы

A (n × m),

B (m Ч k). Тогда любой минор

C = AB можно вычислить по ормуле

обычную,

Ä å é ñ ò â è ò å ë üMí îLJ.(C) =

MLP(A)MP J (C).

µ(P )=µ(L)=µ(J )

P {1,...,m} X

2012

MLJ (C)

ðèöû

есть определитель квадратной подматрицыдматрицыCLJ -

AL = (αij )

на подматрицу

BiJ

= (bij )

получаем общую ор-

мулуПрименяяБинеi-ÊîøèL, jê{ýòèì1,...,m}подматрицам ормулу16

Áèíå12.06i.-Êîøè{ ,..,m} j J

летали,§но749чтопришел-1827все открытоЛаплас. Великий. Лагранж даже бросил занятия математикстойчивостьнавысочайшемнескольк

1812 − Pierre Simon Lapla e (Пьер Симон Лаплас)

рия вероятности− появилась). 1799книга-1825 Theorie analytique des probabilites ( Анал тическая т

Определендвижóнойскорровневесовсистемы,ения.этогоБлагодарЛуныдвижндексытрудадоказал,7ения.).11Лапласему.говорит,Луны,Пустьчтовнедрялисьразвилкольцовыяснилматрицанапр− Вышлитеориюмер,Сатурнаметруровеньстрокпятьто,иапчтодолжноèëприплюснутостиограммлярности,мовЛапласНебеснойбыть.обосновалбылразрывпредседателеммеханикиземногоым,у шараоткрыл(Опалапричиныскоростисолнечмер-

жество

вадратная; инд ксы ее строк образуют мно-

ˆ, è

ее столбцов

множество

ˆ. Пусть их мощности одинаковы:

−

вованных

миноре

Тогда мощности

и столбцов, не задейс

µ ) = µ(L) =: n

MJL(A)вычеркивания, тожеобудут

равны. Т

åñ ü

− r

, ãäå

r := µ(J) = µ(L)

µ(J\J) = µ(L\L) = n

(Напомним,ñÿ îò

\ − тео етик -множественное вычитание.) Значит то, что станет

òåëü

азываетсядополнительныйст стоминоромлбцов

тоже квадратная матрица. Ее определи-

ðминоруокльнымL

−

′

дополнительный минор к

MJL.

(к исходному минору). Обозначение: MJL −

′

определениюминор. к дополнительному минору равняется исхименно,д-

му миноруПонятно,JL ибо:что

−

M = MJˆ\ ;Lˆ\L

Будем рассматриватьJ\(J\J) =далееJ,множестваL\тольк(L\L) =простыеL.

варианты множеств

ˆ è ˆ

. À

Определение 7.12. Пусть

{1, ..., m} .

J = {1, ..., n} ,

L =

. Тогда

J, L

имеют одну мощность: J = {j1, ..., jr } ,

для минораическим

S(J, L) := j1 + ... + jr + l1 + ... + lr

называ тся ункцией четн сти

L = {l1

... lr

}

минор

MJL. П сть матрица A

квадратная (n n),

åй выде яется нек торый

Алгебр

дополне ие

называется число

JL.

−

′

MJ L. умноженныйЭтомиору соответствует некоторый дополнит ëüíûé ìèíî

ныйТеорема 7.14. Алг браич наскоетотдополнениежезнак,кчетноститодополнительномувопре′ дополнительноголенииS(J,Lминору). åñòü

исход-

AJL := MJL(−1)

7.12

A ˆ

J \J ;L\L

Ä êSà(J,Lç à).ò

л ь с т в . Вычислим ункцию

äëÿ

минора:

MJL(−1)

минор,

какассмотримдно из чисел

ÒàêS(J

\J, L\L) = 1 + ... + n − j1 − ... − jr + 1 + ... + n − l1 − ... − lr = n(n + 1) − S(J, L).

n èëè (n + 1)

ч тное,алгебраическтоn(n + 1)- четное. Следовательно,

ˆ ˆднойелителя. матрицыминораестьсумма−Внасо

ниямиопределителяS(J,Lэлементов) обапроизведениеS(исхопреJ \J,L\L)

егознакихом-то+слагаилиоемых,дополнение-+. Следовательно,являющихся.Поопределениюпроизведе

(−1)

= (−1)

Обозначим мно-

жествоесть суммаак произведенийхэлеменсучеòîв матрицызнакчерезВ со знаком

èëè - .

MJ LAJ L

на суммирование элементов множества, имеемσJL. асширяя операцию суммирования

12.06.2012MJLAJL = P σJL.

тиебудетОпрсовпадаетинверсияий,Понинверсииделениеудобноли передно, .чтосузить7ниманьше.

≡ det B =

P σ .

î13бщее.стоитадрВ мычислосериис считали,kинверсииинверсииэлементовчто. перестановкеинверсиябоудемльшихсчитать,егоотносится. согласночтокэпоследнемупарементэлементовимеетопределению.k Теперьинвер-

÷èñë

èíâ ðñèé îïð

ранее. Однак

теперь каждая к

кретная

приписана к конкретному элементу. Наибольший элемент, где бы он

стоял,

не имеет инверсий, наименьший элементделенных, г бы он ни стоял, никому не создает инверсий.

высотыЛемма

Ï ре естим столбец

на первое место

столбцов

{ai}

7n.1Пусть. Пусть A = (a1, ..., an) − матрица (n × n), состоящая из I(J ),

ãäå

число инверсийинверсJ := (j1, ..., jn) π(1, ..., n). Тогда |aj1 ...ajn | = |A| (−1)

I(J)

Д ановкз а

л ьлевымJò. î.

усть индекс

ак далееq − 2äîðàçà,индексаинверсий. . столько раз, сколько

было у индекса 2.

индекс ми

= 1,

тогда он образует

p − 1

инверсию

j1, ... jp−1

ajp

ерест

àìè

зменятьсñîñ äîì. Знак определителя измениться

последовательными

раз, сколько

й было у индекса

jp.

p − 1

раз, . . стольк

ïрочихПустьиндексов не è

ÿ.

Инверсия индекса 1 станет 0

инверсии

= 2

. Т гда у индекса 2 будет

q − 2

инверсийрсии. Переставили столбец

ajq

íà

изменитьсвторое местоя последîвательными пе естановками

левым соседом. Знак определителя

Теоремараз, сколько7.15

n − 1

Суммарно, знак определителя изменитьс

всего.

áûëî

. .

B = (bij )1n.

стольк

Минор,Дслучайкдополнительныйз σJLñ âσ ., БудемJ, Lдоказыва{1, ..., nü}.теорему для матрицы

J = {1, ..., r}к=главному,L. (МинорырасположенM

типа JLвсправомтаки

нижнемJ, L называютсяуглуматрицыглавными.)

Согласно определениям

MJL

JL′ .

p πX

b1p1 ...brpr (−1)I(

)

b(r+1)q1 ...bnqn−r (−1)I(

)(−1)S(J,L),

ãäå

MJLAJL =

(1,...,r)

π(r+1,...,n)

I(p¯), I(q¯) − количество инверсий в p¯ è q¯, соответственно.

ВыполнимS(J, L) =перемножение:1 + ... + (r + 1) + ... + n = n(n + 1) − четное число, поэтому (−1)S(J,L) = 1.

)

полагде

MJLAJL =

b1p1 ...brpr b(r+1)q1 ...bnqn−r (−1)I(

)(−1)I(

π(1,...,r

π(1+r,...,n)

(p,¯ q¯) π(1, ..., n) − какая-то перестановксправедливиндекс в

1, ..., n. Так как индексы из

p¯ не образуютаем,что инверсий с индексами из q¯,

I(p¯) + I(q¯) = I((p,¯ q¯)) (здесь

(p,¯ q¯) = (

p, q) = (p1...pr18, qr ...qn−r )12)..06.2012

ñû,

строк,

индекановкиак

. ., lr }òàê

его столбцов,

порядо-

÷åíныСогласнопо возропределениюстрокианию: минора,J =

{j1, ... jr

} ,

L åãî= {l1

лучаю 1. В мàтрице

1 ≤ j1

< j2 < ... < jr ,

< l2

< ... < lr . Приведем случай 2 к

ñòтрокой

B строку с

ñîì j1

переставим со строкой

j1 − 1

потом со

j1 − 2. È

ак далее, до перест

вой стр кой. Придется переставлять

определителяановкиТ разм.ж спос бом

j1 − 1

ÿ j2 − 2 ïåðå

. Äëÿ

j2 поставим на вт рое мест . Потребу

меняетсиндексяj3

− 3

нут строками

минанужноизпротивоположныйперестан.Окîвкинчательно,. .. От каждойстроки перестановкиндсамистольJзнак

Т ж самое проделàем со столбцамиR := {1, . . . , r}.

lr }. Знак определителя изменится

ê ðàç:

{l1, ...,

Заметим,Столбцы счтоиндексами из L станут столбц ми с индексами из R, с сохранением порядка.

j1 − 1 + j2 − 2 + j3 − 3 + ... + jr − r + l1 −

1 + l2 − 2 + ... + lr

− r = S(J, L) − r(r + 1).

пре бразов ний матрицы

матрицу, которая получится п сле

r(r + 1)

− Вчетноечерез число′

и обозначим′

S(J,L

σ (B)

если при каждой

перестановк

соответствB . Тог σ (B ) = (−1)

да нно меняютспроизведениямножества. Синдексовдругойстороны,

которым строится минор (первое измен ние

J, L

ïî

меняются, значит, не меняются и слагаемые J

:= {1} (

\j1)

то миноры MJL è MJL′

íå

′

JL′ , òî åñòü

èõ

MJLM

σJL(B) = (−1)S(J,L)σRR(B′) (−1)S(J,L)σ (B′) = σ (B).

(7.8)

Теорема§7.10. 7.Частный16.Определительслучай матрицтеоремы Лапласа

B может быть разложен по строке

и по столбцу

det B =

bij Bij

(7.9)

j=1

Здесь

det B =

bij Bij

(7.10)

i=1

для любогоi означает,столбца,чтоа разложение ве но для любой строки, j определению− азложение верно

Ä	ê	à	Используем.	предыдущий резуль ат. По					минора
Ä		à	ü ñ â B. ij = Aij (B)
bij = Mij (B). Обозначим через σij множество слагаемых в произведении
			i+j ýòî		′
			i+j ýòî
соответствующимиБыло доказано теореме 7(15,−1)÷òîMij (B)Mij (B) = bij Aij (B).
Пусть			знаками.		− набор произведений элементов матрицы B с
1)	σij		σij − разновидность σJL ïðè		J = {i},	L = {i}. Тогда	i	j
	σij		σik = = j 6= k (общих		S	σij	i	j
2 σij		σ = σij σ = σU := j σij σ ;
		T
			19элементов12.06в.2012 при одном				и разных		íåò).

				bij Bij	bik Bik				bij Bij
	bij	bik						bik Bik
3) àç èõbikпересечениеэлементов:пусто,bij		â						.
4 П считаем количество слагаемыхµ(σU ) ≡			µ(	j σij ) =	j µ(σij )				наборе σij
подноиндекто же количество		σU .	Sетрудно заметить,оличествочтолюбомP						наборе σij
ñàì		(n −1)!.	Íî (n −1)! − ýòî ê					перестановок
1, .., n} \ {j}. Тогда		µ(σU ) =	j	µ(σij ) = n(n			1)! = n!. Очевидно, что
Ç ì ÷ í{и 14. У ормул			P			−		(7.9)
σU σ	µ(σU ) = µ(σ ) < +∞ = σU = σ =

понированномОпределениепо строке попорядке,7столбцу,. . Матрицаназываетсясоответствиз алг,взаимнойåбраическихнно. есть.Тоназванияесть,дополнений,еслиразложениерасположенныхопределителявтранс-

(7.9)

(7.10)

−

взаимная матрица

B :=

b11. ....

b1.n , òî

bn1 . . .

bnn

...

B11

B1n

˜ определяется ормулой

диагональюПосколькуатнойисходной.речьизопределителейидетматрицыобалгебраическихивзаимнойисходнойвматрицы:любодополнениях,порядке. тоестьматрицадиаго-

нальнаяЛеммаподрЗазумевается7матрица.ч1. Произведениеква2с. B

B :=

Bn1

. . . Bnn

· · ·

(7.9)

(7.10)

ремыД й с. тПокажем,в и теоремул ь нчто.

Значениерочие элементыдиагональныхравныэлементов0,напри получаемер,элементизспредыдущейиндексами тео-

· · ·

·..·.·

AA.

· · ·

Применяя

Ëàïласа (частный случай)

обратноì направлении имеем

2, 1.

a21

·· ·· ··

a2n

Íî ýòî

a21

a2n

−

результат умножения 2-й строки

на первую строку .

c21 = det

a31

· · ·

a3n

a· · ·

· · ·

a· · ·

· · ·

Определениекоторой,акак7.15две. Единичнойстрокидинаковыматрицей. Аналогично,

i 6= j

гонали

стоят единицы.

I называется квадратная матрица, по диа-

· · ·

200

12.06.

I =

0· · ·

· · ·

0· · · · · · · ·

· · · 2012

<<< < Предыдущая 12 / 102 3 4 5 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Алгебра (общая)

#
28.05.20221.11 Mб5Konspekt_po_algebre.pdf
#
28.05.202239.42 Кб3Билеты по высшей алгебре.doc