Учебники 80376

поддерживать постоянной (рис. 5.18). Для того, чтобы поддерживать деформацию неизменной, т.е. иметь = соnst, в процессе опыта необходимо снижать напряжение. Скорость уменьшения напряжения будет тем больше, чем больше приложенное напряжение отличается от равновесного значения к. Этот процесс можно записать следующим образом:

Посмотрим, какие изменения происходят с напряжением и деформацией в процессе достижения равновесного значения, т.е. релаксации.

Здесь , имеющая размерность времени, называется временем релаксации напряжения при постоянной деформации. Зависимость между напряжением и деформацией дается диаграммой на рис. 5.19. Видно, что и в данном случае следует различать два модуля упругости – релаксированный и нерелаксированный.

Учитывая, что конечные значения напряжения и деформации пропорциональны друг другу, можно записать обычный закон Гука

Из уравнения (5.31) и (5.32) выражаем к и к:

Подставляя значения к и к в уравнение (5.33), получаем уравнение релаксации

261

кривой напряжения (см. рис.5.20, а). За период колебания кривая напряжение-деформация описывает некоторую петлю

(рис. 5.20, б).

t

Рис. 5.20. а - графическое изображение кривых напряжения и деформации в зависимости от времени при наличии релаксационного процесса;

б - петля гистерезиса, возникающая при циклическом нагружении твердого тела

Поведение материала при действии переменной нагрузки характеризуют две величины: угол сдвига фаз между напряжением и деформацией и средний наклон оси петли - , отвечающий динамическому модулю упругости (Мд). Угол сдвига фаз непосредственно связан с потерей энергии при деформировании за цикл, т.е. с площадью петли

-.

263

В зависимости от частоты деформирования угол сдвига фаз между напряжением и деформацией будет меняться. При малой частоте релаксационный процесс успевает пройти (изотермический случай) и потери энергии за цикл окажутся незначительными. Динамический модуль в этом случае приближается к релаксированному.

При высоких частотах приложенных колебаний, когда времена релаксации значительно больше, чем период колебания циклического напряжения (адиабатический случай), дополнительная деформация не успевает возникнуть и динамический модуль стремится к нерелаксированному. При совпадении периода колебаний со временем протекания релаксационного процесса наблюдается максимальная площадь петли механического гистерезиса и возникают наибольшие потери.

Аналогичные закономерности можно получить аналитически. Будем считать, что напряжение и деформация являются периодическими функциями времени, т.е.

находим комплексный модуль Мк

264

Внутреннее трение и динамический модуль можно найти следующим образом. Тангенс угла сдвига фаз между напряжением и деформацией определяется отношением мнимой и вещественной частей комплексного модуля. Для этого комплексный модуль нужно выразить таким образом, чтобы выделить вещественную и мнимую часть. С этой целью выражение для комплексного модуля умножим и разделим на

Динамический модуль Мд можно получить путем умножения и деления величины комплексного модуля на сопряженное число (1-i ):

Уравнение (5.41) дает теоретическую кривую внутреннего трения, определяемую одним релаксационным процессом и единственным временем релаксации . Для реального твердого тела, даже при наличии одного релаксационного процесса, форма максимума может существенно отличаться от теоретической вследствие флуктуаций времени релаксации в различных точках исследуемого объекта Эти флуктуации определяются конкретным движением атомов и связаны с неоднородностью структуры, состава, дефектностью и т.д. Поэтому при данной температуре и частоте колебаний максимум внутреннего трения будет складываться из ряда максимумов, смещенных друг относительно друга по оси абсцисс. Кроме того, в определенной области частот (или температур) могут действовать одновременно два релаксационных процесса или несколько, которые характеризуются различными механизмами поглощения энергии колебаний. В этом случае значительно меняется не только ширина, но и форма максимумов.

Таким образом, в реальных твердых телах частотная зависимость внутреннего трения характеризуется наложением

266

. Возможен и более сложный случай, когда один механизм релаксации влияет на другой. Взаимодействие релаксационных процессов может вызвать значительно более сильное искажение формы кривой внутреннего трения, чем простое наложение релаксаций. Например, при изучении внутреннего трения сильно деформированного металла или сплава с большим количеством выделений второй фазы наблюдается весьма сложная форма кривых затухания, свидетельствующая о взаимодействии релаксационных процессов.

На рис. 5.22 представлен рассчитанный Зинером релаксационный спектр затухания механический колебаний в металлах при 20 0С. Различные механизмы дают свой вклад в общий спектр затухания. Если изменить, например, температуру опыта, то, следовательно, и изменится вид спектра затухания. Один вид затухания может исчезнуть, а другой возникнуть. Сложная форма механического спектра затухания обуславливает трудности при интерпретации полученных результатов. Картина спектра усложняется также за счет воз-

267

действия других видов полей: магнитного, электромагнитного, гравитационного, температурного и т.д.

Частота, Гц

Рис. 5.22. Релаксационный спектр затухания металлов при 20 0С, обусловленный различными видами механизмов затухания

К сожалению, экспериментальное получение механических спектров затухания очень трудно, и до сих пор полной картины мы не имеем даже для чистых металлов. Однако развитие методов внутреннего трения позволяет надеяться на успех в этом деле.

5.4.2. Определение энергии активации релаксационных процессов

Релаксационные явления в твердых телах вызываются различного рода процессами, которые проявляются под действием знакопеременных напряжений. Времена релаксации связаны с природой материала и его состоянием. Зинер теоретически рассчитал времена релаксации для ряда

268

согласно уравнению (5.43). Проходя весь интервал температур на одной и той же частоте, можно обнаружить ряд релаксационных максимумов, которые удовлетворяют условию (5.42). Затем изменяют частоту колебаний образца в 5-10 или более раз и вновь измеряют температурную зависимость внутреннего трения. Экспериментально получают две кривые Q-1(T), которые расположены так, как показано на рис. 5.23. Вследствие изменения частоты максимум смещается по шкале температур на интервал T = T2- T1, где T1 и T2 температурное положение максимумов, соответствующее частотам 1 и 2. Соотношение (5.44) для двух разных частот можно записать следующим образом:

1 0 ехр(Н/RT1) = 1,

2 0 ехр(Н/RT2) = 1,

или

1ехр(Н/RT1) = 2ехр(Н/RT2) , Н(1/RT1 – 1/RT2) = ln2/1.

Отсюда

Если известны T1 , T2 , 1 и 2 можно легко определить и 0 по формуле

270