- •Введение
- •1. Статика
- •1.1. Основные понятия статики
- •1.1.1. Момент силы Алгебраический момент силы относительно точки
- •Векторный момент силы относительно точки
- •Момент силы относительно оси
- •1.1.2. Пара сил Пара сил и алгебраический момент пары сил
- •1.2. Аксиомы статики
- •1.3. Простейшие теоремы статики
- •1.4. Приведение системы сил к простейшей системе. Условия равновесия
- •Равновесие пар сил
- •Условия равновесия произвольной системы сил в векторной форме
- •Условия равновесия пространственной системы сил в аналитической форме
- •Условия равновесия пространственной системы сходящихся сил
- •Условия равновесия пространственной системы параллельных сил
- •Условия равновесия плоской системы сил
- •1.5. Центр тяжести твердого тела Центр параллельных сил
- •Способы нахождения центра тяжести
- •1.6. Распределенные силы
- •1.7. Трение Трение скольжения
- •Трение качения
- •1.8. Решение задач статики
- •2. Кинематика
- •2.1. Кинематика точки
- •2.1.1. Скорость и ускорение точки
- •2 .1.2. Векторный способ задания движения точки
- •2.1.3. Координатный способ задания движения точки
- •2.1.4. Естественный способ задания движения точки
- •Частные случаи движения точки
- •2.2. Кинематика твердого тела
- •2.2.1. Поступательное движение твердого тела
- •2.2.2. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси
- •Частные случаи вращения твердого тела
- •Скорости и ускорения точек тела при вращении вокруг неподвижной оси
- •Векторы угловой скорости и углового ускорения
- •Векторные формулы для скоростей и ускорений точек тела
- •2.3. Сложное движение точки
- •Ускорение Кориолиса
- •2.4. Плоское (плоскопараллельное) движение твердого тела
- •2.4.1. Скорости точек плоской фигуры
- •2.4.2. Мгновенный центр скоростей
- •2.4.3. Ускорения точек плоской фигуры
- •2.4.4. Мгновенный центр ускорений
- •2.5. Решение задач кинематики
- •3. Динамика
- •3.1. Аксиомы динамики
- •3.2. Динамика материальной точки
- •3.2.1. Дифференциальные уравнения движения материальной точки
- •3.2.2. Две основные задачи динамики точки
- •Первая задача
- •Вторая задача
- •3.2.3. Дифференциальные уравнения относительного движения материальной точки
- •3.3. Геометрия масс
- •3.3.1. Центр масс
- •3.3.2. Моменты инерции Моменты инерции относительно точки и оси
- •М оменты инерции относительно осей координат
- •3.3.3. Теорема Штейнера
- •3.3.4. Моменты инерции однородных тел
- •3.4. Теоремы динамики
- •3.4.1. Теорема о движении центра масс
- •3.4.2. Теорема об изменении количества движения Количество движения точки и системы
- •Теорема об изменении количества движения точки
- •Теорема об изменении количества движения системы
- •Законы сохранения количества движения
- •3.4.3. Теорема об изменении кинетического момента
- •Теорема об изменении кинетического момента точки
- •Теорема об изменении кинетического момента системы
- •Законы сохранения кинетических моментов
- •Дифференциальное уравнение вращения твердого тела вокруг неподвижной оси
- •Теорема об изменении кинетического момента системы в относительном движении по отношению к центру масс
- •Дифференциальные уравнения плоского движения твердого тела
- •3.4.4. Теорема об изменении кинетической энергии Работа силы
- •Примеры вычисления работы силы
- •Кинетическая энергия
- •Теорема об изменении кинетической энергии точки
- •Теорема об изменении кинетической энергии системы
- •3.5. Принцип Даламбера Принцип Даламбера для материальной точки
- •Принцип Даламбера для системы материальных точек
- •Силы инерции твердого тела в частных случаях его движения
- •3.6. Элементы аналитической механики
- •3.6.1. Классификация механических связей
- •3.6.2. Возможные перемещения
- •3.6.3. Элементарная работа силы на возможном перемещении. Идеальные связи
- •3.6.4. Принцип возможных перемещений
- •3.6.5. Обобщенные координаты системы
- •3.6.6. Обобщенные силы
- •Вычисление обобщенной силы
- •Условия равновесия системы сил в терминах обобщенных сил
- •3.6.7. Общее уравнение динамики
- •3.6.8. Уравнения Лагранжа второго рода
- •3.7. Решение задач динамики
- •Контрольные Вопросы
- •Заключение
- •Библиографический список
- •Оглавление
- •Контрольные вопросы…….………………………………….. 151 Заключение……………………………………………………. 154 Библиографический список………………………………….. 155
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
2.5. Решение задач кинематики
Пример 3.
Даны уравнения движения точки в плоскости :
,
( , – в сантиметрах, – в секундах).
Определить: уравнение траектории точки; для момента времени с найти скорость и ускорение точки, а также ее касательное и нормальное ускорения и радиус кривизны в соответствующей точке траектории.
Решение:
1. Для определения уравнения траектории точки исключим из заданных уравнений движения время . Поскольку входит в аргументы тригонометрических функций, где один аргумент вдвое больше другого, используем формулу
:
. (102)
Из уравнений движения находим выражения соответствующих функций и подставляем в равенство (102). Получим
,
,
следовательно,
.
О
Рис. 41
. (103)
2. Скорость точки найдем по ее проекциям на координатные оси:
, ,
.
Для момента времени с: , , . (104)
3. Аналогично найдем ускорение точки:
, ,
.
Для момента времени с: , , . (105)
4. Касательное ускорение найдем, дифференцируя по времени равенство:
Получим
,
откуда
. (106)
Числовые значения всех величин, входящих в правую часть (106), определены и даются в (104) и (105). Подставив в (106) эти числа, найдем сразу, что при с: .
5. Нормальное ускорение точки . Подставляя сюда найденные при с числовые значения и , получим, что .
6. Радиус кривизны траектории .
Подставляя сюда числовые значения и при с, найдем, что см.
Ответ: , , , , см.
П
Рис. 42
Определить: скорость и ускорение точки в момент времени с.
Решение:
Определяем скорость точки:
.
При с получим .
Ускорение находим по его касательной и нормальной составляющим:
, , .
При с получим , , .
Изобразим на рис. 42 векторы и , учитывая знаки и считая положительным направление от к .
Ответ: , .
П ример 5. Механизм (рис. 43) состоит из стержней 1, 2, 3, 4 и ползуна , соединенных друг с другом и с неподвижными опорами и шарнирами.
Д
Рис. К2,а.
Рис. 43
О пределить: , , , , .
Решение:
1. Строим положение механизма в соответствии с заданными углами и выбранным масштабом длин (рис. 44; на этом рисунке изображаем все векторы скоростей).
2
Рис. 44
м/с,
. (107)
Направление найдем, учтя, что точка принадлежит одновременно ползуну, движущемуся вдоль направляющих поступательно. Теперь, зная и направление , воспользуемся теоремой о проекциях скоростей двух точек тела (стержня ) на прямую, соединяющую эти точки (прямая ). Сначала по этой теореме устанавливаем, в какую сторону направлен вектор (проекции скоростей должны иметь одинаковые знаки). Затем, вычисляя эти проекции, находим
, м/с. (108)
3. Определяем . Точка принадлежит стержню . Следовательно, по аналогии с предыдущим, чтобы определить , надо сначала найти скорость точки , принадлежащей одновременно стержню . Для этого, зная и , строим мгновенный центр скоростей (МЦС) стержня . Это точка , лежащая на пересечении перпендикуляров к и , восставленных из точек и (к перпендикулярен стержень 1). По направлению вектора определяем направление поворота стержня вокруг МЦС . Вектор перпендикулярен отрезку , соединяющему точки и , и направлен в сторону поворота. Величину найдем из пропорции:
. (109)
Чтобы вычислить и , заметим, что – прямоугольный, так как острые углы в нем равны 30° и 60°, и что . Тогда является равносторонним и . В результате равенство (3) дает
м/с, . (110)
Так как точка принадлежит одновременно стержню , вращающемуся вокруг , то . Тогда, восставляя из точек и перпендикуляры к скоростям и , построим МЦС стержня . По направлению вектора определяем направление поворота стержня вокруг центра . Вектор направлен в сторону поворота этого стержня. Из рис. 44 видно, что , откуда . Составив теперь пропорцию, найдем, что
, м/с. (110)
4. Определяем . Так как МЦС стержня 2 известен (точка ) и м, то
с–1. (111)
5
Рис. 45
м/с2,
м/с2. (112)
Вектор направлен вдоль , а – перпендикулярно . Изображаем эти векторы на чертеже (см. рис. 45). Так как точка одновременно принадлежит ползуну, то вектор параллелен направляющим ползуна. Изображаем вектор на чертеже, полагая, что он направлен в ту же сторону, что и .
Для определения воспользуемся равенством
. (113)
Изображаем на чертеже векторы (вдоль от к ) и (в любую сторону перпендикулярно ). Численно Найдя с помощью построенного МЦС стержня 3, получим
с–1, м/с2. (114)
Таким образом, у величин, входящих в равенство (113), неизвестны только числовые значения и . Их можно найти, спроектировав обе части равенства (113) на какие-нибудь две оси.
Чтобы определить , спроектируем обе части равенства (113) на направление (ось ). Тогда получим
. (115)
Подставив в равенство (10) числовые значения всех величин из (112) и (114), найдем, что
м/с2. (116)
Так как получилось , то, следовательно, вектор направлен как показано на рис. 45.
6. Определяем . Чтобы найти , сначала определим . Для этого обе части равенства (113) спроектируем на направление, перпендикулярное (ось ). Тогда получим:
. (117)
Подставив в равенство (12) числовые значения всех величин из (116) и (112), найдем, что м/с2. Знак минус указывает, что направление противоположно показанному на рис. 45.
Теперь из равенства получим:
с–2.
Ответ: м/с, м/с, с–1, м/с2, с–2.
П
Рис. 46
Дано: м, , ( – в радианах, – в метрах, – в секундах).
Определить: и в момент времени с.
Решение:
Рассмотрим движение точки как сложное, считая ее движение по дуге окружности относительным, а вращение пластины – переносным движением. Тогда абсолютная скорость и абсолютное ускорение точки найдутся по формулам:
, , (118)
где, в свою очередь,
, .
Определим все, входящие в равенства (118) величины.
1. Относительное движение. Это движение происходит по закону
. (119)
Сначала установим, где будет находиться точка на дуге окружности в момент времени . Полагая в уравнении (119) с, получим
.
Тогда
.
Знак минус свидетельствует о том, что точка в момент с находится справа от точки . Изображаем ее на рис. 46 в этом положении (точка )).
Теперь находим числовые значения , и :
,
, ,
где – радиус кривизны относительной траектории, равный радиусу окружности . Для момента с, учитывая, что м, получим
м/с,
м/с2,
м/с2.
Знаки показывают, что вектор направлен в сторону положительного отсчета расстояния , а вектор — в противоположную сторону; вектор , направлен к центру окружности. Изображаем все эти векторы на рис. 46.
2. Переносное движение. Это движение (вращение) происходит по закону . Найдем сначала угловую скорость и угловое ускорение переносного вращения:
,
и при с
с–1 , с–2. (120)
Знаки указывают, что в момент с направления и противоположны направлению положительного отсчета угла ; отметим это на рис. 46.
Для определения и находим сначала расстояние точки от оси вращения . Из рисунка видно, что м. Тогда в момент времени с, учитывая равенства (4), получим
м/с,
м/с2,
м/с2. (121)
Изображаем на рис. 46 векторы и с учетом направлений и и вектор (направлен к оси вращения).
3. Кориолисово ускорение. Модуль кориолисова ускорения определяем по формуле
,
где – угол между вектором и осью вращения (вектором ). В нашем случае этот угол равен 90°, так как ось вращения перпендикулярна плоскости пластины, в которой расположен вектор . Численно в момент времени с, так как в этот момент м/с, с–1, получим
м/с2. (122)
Направление найдем по правилу Н.Е. Жуковского: так как вектор лежит в плоскости, перпендикулярной оси вращения, то повернем его на 90° в направлении , т.е. по ходу часовой стрелки. Изображаем на рис. 46. (Иначе направление можно найти, учтя, что .)
Таким образом, значения всех входящих в правые части равенств (118) векторов найдены и для определения и остается только сложить эти векторы. Произведем это сложение аналитически.
4. Абсолютная скорость. Проведем координатные оси (см. рис. 46) и спроектируем почленно обе части равенства на эти оси. Получим для момента времени с:
м/с,
м/с.
После этого находим
м/с.
Учитывая, что в данном случае угол между и равен 45°, значение можно еще определить по формуле
м/с.
5. Абсолютное ускорение. По теореме о сложении ускорений
. (123)
Для определения спроектируем обе части равенства (7) на проведенные оси . Получим для момента времени с:
м/с2,
м/с2,
После этого находим
м/с2.
Ответ: м/с, м/с2.