§ 3. Момент силы относительно оси

М

Рис. 18

оментом силы относительно оси называют алгебраический момент проекции этой силы на плоскость, перпендикулярную оси, относительно точки пересечения оси с этой плоскостью (рис. 18). Момент силы относительно оси считается положительным, если проекция силы на плоскость, перпендикулярную оси (проекция силы на плоскость является вектором), стремится вращать тело вокруг положительного направления оси против часовой стрелки, и отрицательным, если она стремится вращать тело по часовой стрелке. Момент силы, например, относительно оси Оz обозначим . По определению,

, (13)

где – вектор проекции силы на плоскость , перпендикулярную оси Оz, а точка О – точка пересечения оси Оz с плоскостью .

Из определения момента силы относительно оси следует, что введенный выше алгебраический момент силы относительно точки можно считать моментом силы относительно оси, проходящей через эту точку, перпендикулярно плоскости, в которой лежат сила и моментная точка. Момент силы относительно оси можно выразить через площадь треугольника, построенного на проекции силы и точке пересечения О оси с плоскостью:

. (14)

Из формулы (14) можно получить следующие важные свойства момента силы относительно оси:

1. Момент силы относительно оси равен нулю, если сила параллельна оси. В этом случае равна нулю проекция силы на плоскость, перпендикулярную оси.

2. Момент силы относительно оси равен нулю, если линия действия силы пересекает эту ось. В этом случае линия действия проекции силы на плоскость, перпендикулярную оси, проходит через точку пересечения оси с плоскостью, соответственно, равно нулю плечо силы относительно точки О.

В обоих этих случаях ось и сила лежат в одной плоскости. Т.о. можно сказать, что момент силы относительно оси равен нулю, если сила и ось лежат в одной плоскости.

§ 4. Связь момента силы относительно оси с векторным моментом силы относительно точки на оси

И спользуя формулу (14), имеем (рис. 19):

. (14’)

В

Рис. 19

екторный момент силы относительно точки О, взятой на пересечении оси Оz с перпендикулярной плоскостью , выражается в виде:

. (15)

Векторный момент направлен перпендикулярно плоскости треугольника ОАВ. Аналогично, для другой точки О₁ оси Оz:

, (16)

причем векторный момент направлен перпендикулярно плоскости треугольника О₁АВ. Треугольник ОА₁В₁ является проекцией треугольников ОАВ и О₁АВ на плоскость . Из геометрии известно, что площадь проекции плоской фигуры равна площади проецируемой фигуры, умноженной на косинус угла между плоскостями, в которых расположены эти фигуры. Угол между плоскостями измеряется углом между перпендикулярами к этим плоскостям. Перпендикуляром к плоскости треугольника ОА₁В₁ является ось Оz, а перпендикулярами к плоскостям треугольников ОАВ и О₁АВ – соответственно векторные моменты и . Таким образом, , где – угол между вектором и осью Оz. Отсюда по формулам (14') и (15) имеем:

, (17)

причем знак полностью определяется знаком . Аналогично,

,

т. е.

, (18)

где О₁ – любая точка на оси Оz.

Формулы (17) и (18) отражают искомую связь между моментом силы относительно оси и векторными моментами силы относительно точек, лежащих на этой оси: момент силы относительно оси равен проекции на эту ось векторного момента силы относительно любой точки на оси.

Эту зависимость между моментом силы относительно оси и векторным моментом силы относительно точки на оси можно принять за определение момента силы относительно оси.