Уравнение моментов всех сил относительно точки в

.

Откуда

Обе реакции получились положительными. Это означает, что их действительное направление совпадает с выбранным. Для проверки правильности определения реакций опор спроектируем все внешние силы на вертикальную ось Y:

.

Уравнение удовлетворяется тождественно. Значит реакции опор определены верно.

2. Построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов.

Разбиваем балку на два участка (см. рис. 4.6 а). Границами участков являются сечения А, С, В. Положения произвольных поперечных сечений на участках характеризуются соответствующими координатами и . Записываем выражения для поперечных сил и изгибающих моментов по участкам, используя (4.1, 4.2) и правила знаков.

Участок I:

Координата входит в выражение в первой степени ( - линейная функция ). Поэтому для построения эпюры достаточно определить значения ординат на границах участков:

, ; , кНм .

Участок 2: , ,

( - линейная функция ).

= 0, = R₁=10 кН;

=а, = R_А-qа₁ = 10-30 = -20 кН .

Так как поперечная сила на втором участке, меняя знак в одном из сечений (обозначим его координаты через ), обращается в нуль (см. рис. 4.6 а), то в соответствии с дифференциальными зависимостями (4.3) изгибающий момент в этом сечении будет иметь экстремум. Приравнивая выражение для на втором участке нулю, определим координату сечения :

м.

Строим эпюру , располагая ее строго под схемой балки (см. рис. 4.6, а). Положительные значения откладываем выше нулевой линии , (она проводится параллельно оси балки), а отрицательные – ниже . Уравнение на втором участке

.

Изгибающий момент является квадратичной функ-

цией . Для построения параболы необходимо определить как минимум три значения изгибающего момента, два из которых определяем на границах участка:

кН·м;

, кНм.

Подставляя значение м в выражении на втором участке, определим экстремальное (в нашем случае максимальное) значение изгибающего момента на этом участке:

кНм.

Найденное значение изгибающего момента будет третьим значением ординаты эпюры для построения параболы.

Строим эпюру изгибающих моментов, располагая ее строго под схемой балки (см. рис. 4.6 а). Положительные значения откладываем выше нулевой линии, отрицательные –ниже. Используя дифференциальные зависимости (4.3) и следствия из них, проводим проверку правильности построения эпюр. Устанавливаем изгибающий момент в опасном сечении кНм.

3. Подбор размеров поперечного сечения балки.

Подбор сечения балки ведем из условия прочности (4.4). В соответствии с этим условием расчетный осевой момент сопротивления

Для круглого сечения

Площадь и момент сопротивления круглого сечения

,

Коэффициент экономичности круглого сечения

Для прямоугольного сечения осевой момент сопротивления

. Учитывая, что h=1.5b, получим

, откуда

.

Принимаем b=8см, тогда h=1,5 b=1,5 8=12 cм. Площадь и осевой момент сопротивления прямоугольного сечения

.

Коэффициент экономичности прямоугольного сечения

.

Если сечение состоит из двух швеллеров, то расчетный осевой момент сопротивления для одного швеллера

см .

Из таблиц сортамента (Гост 8240-89) по расчетному значению осевого момента сопротивления выбираем швеллер №16, для которого

Коэффициент экономичности для составного сечения

.

Т ак как > > , то рациональным является сечение, состоящее из двух швеллеров.

4.2.3. Задача. Расчет на прочность статически определимой консольной балки

Для заданной консольной балки (4.7 а) построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов. Вычислить все характерные ординаты этих эпюр. Принять а = 1 м, q = 10 кН/м, Р = qа, m = qа , =2a, =a.

Из условия прочности подобрать номер прокатного двутавра и в качестве варианта – сечение в виде двух одинаковых, не связанных между собою двутавров, поставленных вплотную друг к другу (см. рис.4.7 б). Установить какое сечение рациональнее, сравнив для них коэффициенты экономичности k= Материал балки – сталь Ст. 3, предел текучести МПа, а коэффициент запаса прочности n = 1,5.