- •Часть 3
- •Занятие №14. Элементы математической статистики
- •14.1. Основные определения
- •14.2. Графическое представление выборки
- •14.3. Эмпирическая функция распределения (эфр)
- •Занятие №15. Статистическая оценка неизвестных параметров распределения. Точечные оценки
- •15.1. Постановка задачи
- •15.2. Основные свойства точечных статистических оценок распределения
- •15.3. Статистическая оценка мо
- •15.4. Статистическая оценка дисперсии
- •Исправленная дисперсия
- •15.5. Метод моментов
- •15.6. Метод максимального правдоподобия
- •Из первого уравнения находим . Подставив это значение во второе уравнение, получим . Заметим, что оценка совпадает с оценкой, полученной по методу моментов, а оценка не совпадает.
- •16.2. Доверительный интервал для математического ожидания св X, распределенной по закону n(m, σ) при известном σ
- •16.3. Доверительный интервал для мо св X, распределенной по нормальному закону при неизвестном σ
- •16.4. Доверительный интервал для σ2 св X, распределенной по нормальному закону
- •Примеры для самостоятельного решения
- •Ответы:
- •Занятие № 17. Проверка статистических гипотез
- •Занятие № 18. Проверка гипотезы о виде распределения случайной величины. Критерий
- •Дополнение. Распределение
- •Библиографический список
- •Библиографический список……………...............53
- •Часть 3
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
16.2. Доверительный интервал для математического ожидания св X, распределенной по закону n(m, σ) при известном σ
Пусть CB X имеет нормальное распределение N(m,σ). Тогда доверительный интервал для параметра m по результатам выборки x1,x2,...,xn объемом п при условии, что дисперсия σ2 известна, а доверительная вероятность равна 1-α, имеет вид
. (16.3)
Здесь u1-α/2, квантиль стандартизованного нормального распределения, определяется как решение уравнения
.
Для u1-α/2 имеется таблица
-
1-α
0,90
0,95
0,99
0,997
0,999
u1-α/2
1,64
1,96
2,58
3,00
3,37
Из анализа полученных соотношений можно сделать следующие выводы.
1. Увеличение объема п выборки приводит к уменьшению длины доверительного интервала.
2. Увеличение доверительной вероятности (1-α) приводит к увеличению длины доверительного интервала, то есть к уменьшению точности δ.
3. Если задать точность δ, то есть предельную погрешность интервальной оценки, по формуле (2) и доверительную вероятность 1-α, то из соотношения можно найти минимальный объем выборки, который обеспечивает заданную точность:
.
16.3. Доверительный интервал для мо св X, распределенной по нормальному закону при неизвестном σ
Если генеральная совокупность и неизвестно, то с вероятностью
, , (16.4)
,
где , – квантиль распределения Стьюдента (Пирсона) с степенью свободы уровня , – объем выборки .
Для нахождения квантилей распределения Стьюдента tp имеется таблица. Приведем ее для двух значений доверительной вероятности.
-
1-α n
5
10
20
30
∞
0,95
2,571
2,228
2,086
2,042
1,960
0,99
4,032
3,169
2,845
2,750
2,576
16.4. Доверительный интервал для σ2 св X, распределенной по нормальному закону
Пусть СВ X имеет нормальное распределение N(m,σ), причем m и σ неизвестны. Тогда доверительный интервал для параметра σ2 по выборке х1х2,..,xn объемом п с доверительной вероятностью 1-α имеет вид
(16.5)
Для квантилей имеются таблицы.
Замечание. Так как при п→∞ распределение приближается к нормальному, то при достаточно большом объеме выборки (п≥50) доверительный интервал можно найти по формуле
,
где u1-α/2 квантиль стандартизованного нормального распределения, соответствующая доверительной вероятности 1-α.
Пример 16.1. Измерения сопротивления резистора дали следующие результаты (в омах): , , , , , , , . Известно, что ошибки измерения имеют нормальный закон распределения. Систематическая ошибка отсутствует. Построить доверительный интервал для истинного сопротивления резистора с надежностью 0,99 в предположении: а) дисперсия ошибки измерения известна и равна 4; б) дисперсия ошибки измерения неизвестна.
Решение. В данной серии из девяти наблюдений
.
Если дисперсия ошибки измерения известна, то можно воспользоваться формулой (16.3). Для этого из таблицы функции Лапласа (см. приложение) находим, что , т.е. уровню надежности 0,99 соответствует значение . Тогда по формуле (16.3)
или с вероятностью 0,99.
В случае неизвестной дисперсии ее можно оценить на основе тех же опытных данных:
, .По таблице распределения Стьюдента (см. приложение, табл. 3) для степеней свободы и заданной вероятности находим . Тогда по формуле (16.4)
или с вероятностью .
Пример 16.2. В таблице приведены сгруппированные данные измерений роста у 50 наугад выбранных студентов:
-
Рост
166 – 170
170 – 174
174 – 178
178 – 182
182 – 186
186 – 190
Число
Студентов
3
7
15
13
11
1
Оценить средний рост и дисперсию роста студентов. Построить доверительный интервал для среднего роста студентов с надежностью 0,9.
Решение. Так как данные сгруппированы, то в качестве представителя каждого интервала можно взять середину этого интервала. Тогда
,
,
Так как , то по формуле (16.4) имеем
или с вероятностью 0,9.►
Пример 16.3. По результатам девяти измерений емкости конденсатора получена оценка мкФ. Среднеквадратическая ошибка измерения известна и равна 0,04 мкФ. Построить доверительный интервал для емкости конденсатора с надежностью 0,95.
Решение. В предположении, что ошибки измерения имеют нормальный закон распределения можно воспользоваться формулой (16.3). Так как , то
или с вероятностью 0,95.
вероятности 1-α.